Here, ~z ¼ z=R0 and r~ ¼ ~z=R0 are

Here, ~z ¼ z=R0 and r~ ¼ ~z=R0 are the reduced jet length and
jet radius, respectively, and the key dimensionless group parameters
in the problem are the Froude number ðFrÞ, the
Weber number ðWeÞ and the Reynolds number ðReÞ, given
by
Fr ¼ t2
0
2R0g
; We ¼ 2R0qt2
0
c ; Re ¼ 2R0qt0
g : (2)
These quantities represent, respectively, the relative effects
of gravity ðgÞ, surface tension ðcÞ, and viscosity ðgÞ in comparison
to inertia, with each defined to be large when inertial
effects are comparatively large.
Neglecting the surface tension effect, Clarke9 derived an
analytical JSF for viscous fluids in terms of the Airy function.
However, his JSF is valid only for high Re because at
low Re the effect of the surface tension becomes more significant
than the viscosity10 and cannot be ignored.11 Adachi12
analyzed the effects of the fluid viscosity and surface tension
in the asymptotic regions of high and low Reynolds number.
No analytical equation for the JSF over a wide range of all
three dimensionless group numbers is known. For inviscidfluids (the limit of large Re but still laminar flow), an analytical
form of JSF proposed by many authors can be summarized
as13
~z ¼ Fr
1
r~4 m
n
Bo
1
r~ 1
; (3)
where the first term is due to gravity while the second is the
surface tension term due to the curvature of the liquid-air jet
surface. Here Bo ¼ We=Fr ¼ 4R2
0qg=c is the Bond number,
characterizing the relative effect of gravity with respect to
surface tension, while m and n are parameters of the model.
According to Kurabayashi,5 n ¼ 8, whereas the slenderness
approximation used by Anno6 yelds n ¼ 4. For n ¼ 0 and
large Bond numbers, Eq. (3) reduces to the well-known
Weisbach equation14
~z ¼ Fr
1
r~4 1
: (4)
The effects of surface tension and viscosity on the form of
the stationary jet are active research topics15–17 and not yet
fully understood. In this paper, we develop an analytical
approach based on energy considerations to derive the governing
differential equation for the jet radius as a function of
axial position. We formulate a modified Bernoulli equation18
for a free-falling jet that includes the jet interfacial energy
density and losses due to the fluid viscosity. An analytical
equation for the JSF derived in terms of the dimensionless
group numbers is compared with experimental observations,
and good agreement is obtained.
II. FORMULATION OF THE PROBLEM
Consider isothermal, laminar flow of an incompressible
Newtonian fluid with viscosity g, surface tension c, and density
q, issuing downward from a circular orifice of radius R0
into the air with initial velocity t0 and falling in a gravitational
field g^z (z being measured vertically downward) in the form
of an axisymmetric jet narrowing downward (see Fig. 1).
For this jet flow, a modifed Bernoulli-type equation18 along
the streamline, including energy losses due to fluid viscosity19
and free surface energy of the jet, can be written in the form
733 Am.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ที่นี่, ~ z z ¼ = R0 และ r ~ ¼ ~ z = R0 มีเจ็ทลดความยาว และเจ็ทรัศมี ตามลำดับ และพารามิเตอร์คีย์กลุ่ม dimensionlessðFrÞ หมายเลข Froude มีปัญหาการเวเบอร์หมายเลข ðWeÞ และเรย์โนลด์สหมายเลข ðReÞ ได้รับโดยFr ¼ t202R0g; เรา¼ 2R0qt20c รี¼ 2R0qt0g: (2)ปริมาณเหล่านี้แสดงถึง ตามลำดับ ผลกระทบสัมพันธ์ðgÞ แรงโน้มถ่วง แรงตึงผิว ðcÞ และ ðgÞ ความหนืดในการเปรียบเทียบเพื่อความเฉื่อย ด้วยกำหนดให้มีขนาดใหญ่เมื่อ inertialผลมีขนาดใหญ่ดีอย่างหนึ่งผิวผล neglecting, Clarke9 ได้รับการJSF วิเคราะห์สำหรับของเหลวความหนืดในการทำงานโปร่งอย่างไรก็ตาม JSF ของเขาถูกต้องเฉพาะสำหรับ Re สูงเนื่องจากที่ต่ำอีกครั้งผลของแรงตึงผิวจะยิ่งกว่า viscosity10 สามารถ ignored.11 Adachi12วิเคราะห์ผลกระทบของของเหลวความหนืดและแรงตึงผิวในภูมิภาค asymptotic เลขเรย์โนลด์สสูง และต่ำไม่วิเคราะห์สมการ JSF ช่วงกว้างของทั้งหมดหมายเลขกลุ่มสาม dimensionless มีชื่อเสียง สำหรับ inviscidfluids (ขีดจำกัดของ Re ขนาดใหญ่แต่ยังคงไหล laminar), การวิเคราะห์ทางสามารถสรุปรูปแบบของ JSF ซึ่งเสนอ โดยผู้เขียนหลายas13~ z ¼ Fr1r ~ 4 เมตร nบ่อ1r ~ 1 ; (3)คำแรกเนื่องจากแรงโน้มถ่วงขณะที่สองคำว่าแรงตึงผิวเนื่องจากขนาดของ jet อากาศเหลวพื้นผิว ที่นี่บ่อ¼เรา = Fr ¼ 4R20qg = c คือ จำนวนพันธะกำหนดลักษณะของผลของแรงโน้มถ่วงกับ respect ให้ญาติแรงตึงผิว m และ n มี พารามิเตอร์ของแบบจำลองตาม Kurabayashi, 5 n ¼ 8 ขณะที่ slendernessประมาณที่ใช้ Anno6 yelds n ¼ 4 สำหรับ n ¼ 0 และตราสารหนี้แบบจำนวนมาก Eq. (3) ลดให้รู้จักWeisbach equation14~ z ¼ Fr1r ~ 4 1 : (4)ผลกระทบของความหนืดและแรงตึงผิวในรูปแบบของเจ็ทเครื่องเขียนเป็นงานวิจัย topics15 – 17 และยังไม่ได้อย่างเข้าใจ ในเอกสารนี้ เราพัฒนาการวิเคราะห์วิธีใช้พลังงานที่ควรได้รับการควบคุมสมการเชิงอนุพันธ์สำหรับรัศมีเจ็ทเป็นฟังก์ชันของตำแหน่งแกน เรากำหนด equation18 Bernoulli ปรับเปลี่ยนสำหรับ jet ล้มฟรีที่มีพลังงาน interfacial เจ็ทความหนาแน่นและความสูญเสียเนื่องจากความหนืดของเหลว การวิเคราะห์ทางสมการของ JSF ที่มาในการ dimensionlessกลุ่มตัวเลขเปรียบเทียบกับการสังเกตทดลองและได้ข้อตกลงที่ดีII. กำหนดปัญหาพิจารณากระแส isothermal, laminar ของการ incompressibleทฤษฎีของไหล มีความหนืด g, c แรงตึงผิว ความหนาแน่นq ออกลงจาก orifice กลมของรัศมี R0ไปในอากาศด้วยความเร็วเริ่มต้น t0 และล้มในที่ความโน้มถ่วงฟิลด์ g ^ z (z วัดลงในแนวตั้ง) ในแบบฟอร์มของเจ็ท axisymmetric ที่จำกัดให้แคบลงล่าง (ดู Fig. 1)สำหรับกระแสนี้ jet, equation18 modifed Bernoulli ชนิดตามการปรับปรุง รวมถึงการสูญเสียพลังงานเนื่องจากของเหลว viscosity19และฟรีพลังงานผิวของเจ็ท สามารถเขียนในแบบฟอร์ม733 เป็น

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ที่นี่ ~ Z ¼ซี = R0 และอา ~ ¼ ~ Z = R0
มีความยาวเจ็ทลดลงและรัศมีเจ็ทตามลำดับและพารามิเตอร์กลุ่มมิติที่สำคัญในปัญหาที่เกิดขึ้นเป็นจำนวน
Froude
ðFrÞที่จำนวนWeber ðWeÞและจำนวน Reynolds
ðReÞให้โดย
Fr ¼ t2
0 2R0g; เรา¼ 2R0qt2 0 ค; Re ¼ 2R0qt0 g: (2) ปริมาณเหล่านี้เป็นตัวแทนตามลำดับผลกระทบญาติของแรงโน้มถ่วงðgÞแรงตึงผิวðcÞและðgÞความหนืดในการเปรียบเทียบความเฉื่อยกับแต่ละที่กำหนดไว้จะมีขนาดใหญ่เมื่อเฉื่อยผลกระทบที่มีขนาดใหญ่เมื่อเทียบกับ. ละเลยแรงตึงผิว ผล Clarke9 มาJSF วิเคราะห์ของเหลวหนืดในแง่ของฟังก์ชั่น Airy. แต่ JSF เขาจะใช้ได้เฉพาะสำหรับเรื่องที่สูงเนื่องจากต่ำRe ผลกระทบของแรงตึงผิวจะกลายเป็นความสำคัญมากขึ้นกว่าviscosity10 และไม่สามารถ ignored.11 Adachi12 การวิเคราะห์ผลกระทบของความหนืดของของเหลวและแรงตึงผิวในภูมิภาค asymptotic จำนวน Reynolds สูงและต่ำ. ไม่สมการวิเคราะห์สำหรับ JSF ในช่วงที่กว้างของทุกหมายเลขสามมิติกลุ่มเป็นที่รู้จักกัน สำหรับ inviscidfluids (ขีด จำกัด ของเรื่องใหญ่ แต่ไหลยังคงเป็น) การวิเคราะห์รูปแบบของJSF เสนอโดยผู้เขียนหลายสามารถสรุปas13 ~ Z ¼ Fr 1 อา ~ 4 มn บ่อ1 อา ~ 1; (3) ที่ระยะแรกคือเนื่องจากแรงโน้มถ่วงในขณะที่สองเป็นระยะแรงตึงผิวอันเนื่องมาจากความโค้งของเจ็ทของเหลวอากาศพื้นผิว นี่บ่อ¼เรา = Fr ¼ 4R2 0qg = c เป็นจำนวนบอนด์พัฒนาการผลกระทบความสัมพันธ์ของแรงโน้มถ่วงที่เกี่ยวกับพื้นผิวความตึงเครียดในขณะที่ม. และ n พารามิเตอร์ของรูปแบบ. ตาม Kurabayashi 5 n ¼ 8 ในขณะที่เรียวประมาณที่ใช้โดย Anno6 yelds n ¼ 4. สำหรับ n ¼ 0 และตัวเลขบอนด์ขนาดใหญ่สมการ (3) ลดที่รู้จักกันดีWeisbach equation14 ~ Z ¼ Fr 1 อา ~ 4 1: (4) ผลกระทบของแรงตึงผิวและความหนืดในรูปแบบของเจ็ทนิ่ง topics15-17 มีการวิจัยที่ใช้งานและยังไม่เข้าใจอย่างเต็มที่ ในบทความนี้เราพัฒนาการวิเคราะห์วิธีการขึ้นอยู่กับการพิจารณาของพลังงานที่ได้รับมาว่าสมการเชิงอนุพันธ์รัศมีเจ็ทเป็นหน้าที่ของตำแหน่งในแนวแกน เรากำหนด equation18 Bernoulli การปรับเปลี่ยนสำหรับเจ็ทลดลงฟรีที่มีเจ็ทพลังงานเฟสความหนาแน่นและความสูญเสียเนื่องจากความหนืดของของเหลว วิเคราะห์สมการสำหรับ JSF มาในแง่ของมิติจำนวนกลุ่มเมื่อเทียบกับการสังเกตการทดลองและข้อตกลงที่ดีจะได้รับ. ครั้งที่สอง การพัฒนาสูตรปัญหาพิจารณา isothermal ไหลราบเรียบของอัดของเหลวนิวตันกับกรัมความหนืดแรงตึงผิวคและความหนาแน่นคิวออกลดลงจากปากกลมR0 รัศมีไปในอากาศด้วยt0 ความเร็วเริ่มต้นและลดลงในแรงโน้มถ่วงสนามกรัม^ ซี (ซีถูกวัดในแนวตั้งลง) ในรูปแบบของการลดเจ็ทaxisymmetric ลง (ดูรูปที่ 1).. สำหรับการไหลของเจ็ทนี้ modifed equation18 Bernoulli ชนิดพร้อมปรับปรุงรวมทั้งการสูญเสียพลังงานเนื่องจากการviscosity19 ของเหลวและพลังงานพื้นผิวฟรีของเจ็ทที่สามารถเขียนในรูปแบบ733 Am

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

在这里，R0 ~ z = z r¼¼~和~ z = R0是射流的长度和减少桡骨，respectively射流参数和组密钥，dimensionless在的问题是，FroudeÞ- Fr数韦伯数和雷诺数E -ÞÞ- RE，因为由Fr¼T202R0g我们2R0qt2¼；02R0qt0 C¼；稀土G：（2）一个quantities，respectively，These相对效果的表面张力，重力- g -ÞÞ- G和C，黏度比较Þ随着每一个定义的惯性，惯性大，当要效果是比较大。表面张力效应，Neglecting Clarke9衍生的一个从分析流体在viscous JSF，通风的功能。然而，他不仅是有效JSF，因为在高Re低的表面张力的效果，重新becomes最小显著更多。是ignored.11不能高于viscosity10和Adachi12分析了影响流体的黏度和表面张力的在asymptotic -高和低的雷诺数。在联立方程的分析，不JSF a range of all宽三组。为dimensionless numbers是已知的inviscidfluids（limit），但仍然在一个层流）分析许多形式的不JSF proposed是由summarized authorsas13Fr¼~ z14 M r ~n博。1R ~ 1（3）；第一是由于在长期的重力，而第二个是由于曲率表面张力到长期的liquid-air射流我们这里的情况。4R2¼¼= Fr博。0qg Bond number = C、是相对重力效应的特征与尊重到的表面张力，当m和n是参数的模型。According¼到Kurabayashi，5 8，whereas的slenderness n通过用Anno6逼近yelds¼¼4 n n为0和。large numbers，Eq债券。（）reduces 3到well-knownWeisbach equation14Fr¼~ z14 r ~ 14）：（表面张力和黏度的影响：在Form of射流的研究——活性topics15是固定和不17呢在这understood。为充分开发一个分析，我们基于能量方法的governing derive considerations to差示扫描量热法，和作为一个功能的桡骨的射流。我们formulate轴向位置equation18 a modified伯努利。这包括为一个free-falling射流的射流interfacial…由于流体密度和黏度losses到一个分析。的方式，在JSF衍生方程的dimensionless与实验组相比，是observations numbers和良好的协议是obtained。FORMULATION的渠PROBLEM II。一个Consider isothermal incompressible，层流Newtonian流体表面张力、黏度与G C，和密度。从一个圆形downward Q，issuing桡骨R0 orifice of与T0为初始速度和空气在一个gravitational下降。它是测量G ^ Z（z）在vertically downward形式一个axisymmetric narrowing downward（见Fig射流。1）。这一修改，为equation18喷气流在Bernoulli-type由于能源的流线，包括losses viscosity19到流体能源和自由表面射流的形式可以是书面的，在733是。