Here, ~z ¼ z=R0 and r~ ¼ ~z=R0 are the reduced jet length and
jet radius, respectively, and the key dimensionless group parameters
in the problem are the Froude number ðFrÞ, the
Weber number ðWeÞ and the Reynolds number ðReÞ, given
by
Fr ¼ t2
0
2R0g
; We ¼ 2R0qt2
0
c ; Re ¼ 2R0qt0
g : (2)
These quantities represent, respectively, the relative effects
of gravity ðgÞ, surface tension ðcÞ, and viscosity ðgÞ in comparison
to inertia, with each defined to be large when inertial
effects are comparatively large.
Neglecting the surface tension effect, Clarke9 derived an
analytical JSF for viscous fluids in terms of the Airy function.
However, his JSF is valid only for high Re because at
low Re the effect of the surface tension becomes more significant
than the viscosity10 and cannot be ignored.11 Adachi12
analyzed the effects of the fluid viscosity and surface tension
in the asymptotic regions of high and low Reynolds number.
No analytical equation for the JSF over a wide range of all
three dimensionless group numbers is known. For inviscidfluids (the limit of large Re but still laminar flow), an analytical
form of JSF proposed by many authors can be summarized
as13
~z ¼ Fr
1
r~4 m
n
Bo
1
r~ 1
; (3)
where the first term is due to gravity while the second is the
surface tension term due to the curvature of the liquid-air jet
surface. Here Bo ¼ We=Fr ¼ 4R2
0qg=c is the Bond number,
characterizing the relative effect of gravity with respect to
surface tension, while m and n are parameters of the model.
According to Kurabayashi,5 n ¼ 8, whereas the slenderness
approximation used by Anno6 yelds n ¼ 4. For n ¼ 0 and
large Bond numbers, Eq. (3) reduces to the well-known
Weisbach equation14
~z ¼ Fr
1
r~4 1
: (4)
The effects of surface tension and viscosity on the form of
the stationary jet are active research topics15–17 and not yet
fully understood. In this paper, we develop an analytical
approach based on energy considerations to derive the governing
differential equation for the jet radius as a function of
axial position. We formulate a modified Bernoulli equation18
for a free-falling jet that includes the jet interfacial energy
density and losses due to the fluid viscosity. An analytical
equation for the JSF derived in terms of the dimensionless
group numbers is compared with experimental observations,
and good agreement is obtained.
II. FORMULATION OF THE PROBLEM
Consider isothermal, laminar flow of an incompressible
Newtonian fluid with viscosity g, surface tension c, and density
q, issuing downward from a circular orifice of radius R0
into the air with initial velocity t0 and falling in a gravitational
field g^z (z being measured vertically downward) in the form
of an axisymmetric jet narrowing downward (see Fig. 1).
For this jet flow, a modifed Bernoulli-type equation18 along
the streamline, including energy losses due to fluid viscosity19
and free surface energy of the jet, can be written in the form
733 Am.
ที่นี่, ~ z z ¼ = R0 และ r ~ ¼ ~ z = R0 มีเจ็ทลดความยาว และเจ็ทรัศมี ตามลำดับ และพารามิเตอร์คีย์กลุ่ม dimensionlessðFrÞ หมายเลข Froude มีปัญหาการเวเบอร์หมายเลข ðWeÞ และเรย์โนลด์สหมายเลข ðReÞ ได้รับโดยFr ¼ t202R0g; เรา¼ 2R0qt20c รี¼ 2R0qt0g: (2)ปริมาณเหล่านี้แสดงถึง ตามลำดับ ผลกระทบสัมพันธ์ðgÞ แรงโน้มถ่วง แรงตึงผิว ðcÞ และ ðgÞ ความหนืดในการเปรียบเทียบเพื่อความเฉื่อย ด้วยกำหนดให้มีขนาดใหญ่เมื่อ inertialผลมีขนาดใหญ่ดีอย่างหนึ่งผิวผล neglecting, Clarke9 ได้รับการJSF วิเคราะห์สำหรับของเหลวความหนืดในการทำงานโปร่งอย่างไรก็ตาม JSF ของเขาถูกต้องเฉพาะสำหรับ Re สูงเนื่องจากที่ต่ำอีกครั้งผลของแรงตึงผิวจะยิ่งกว่า viscosity10 สามารถ ignored.11 Adachi12วิเคราะห์ผลกระทบของของเหลวความหนืดและแรงตึงผิวในภูมิภาค asymptotic เลขเรย์โนลด์สสูง และต่ำไม่วิเคราะห์สมการ JSF ช่วงกว้างของทั้งหมดหมายเลขกลุ่มสาม dimensionless มีชื่อเสียง สำหรับ inviscidfluids (ขีดจำกัดของ Re ขนาดใหญ่แต่ยังคงไหล laminar), การวิเคราะห์ทางสามารถสรุปรูปแบบของ JSF ซึ่งเสนอ โดยผู้เขียนหลายas13~ z ¼ Fr1r ~ 4 เมตร nบ่อ1r ~ 1 ; (3)คำแรกเนื่องจากแรงโน้มถ่วงขณะที่สองคำว่าแรงตึงผิวเนื่องจากขนาดของ jet อากาศเหลวพื้นผิว ที่นี่บ่อ¼เรา = Fr ¼ 4R20qg = c คือ จำนวนพันธะกำหนดลักษณะของผลของแรงโน้มถ่วงกับ respect ให้ญาติแรงตึงผิว m และ n มี พารามิเตอร์ของแบบจำลองตาม Kurabayashi, 5 n ¼ 8 ขณะที่ slendernessประมาณที่ใช้ Anno6 yelds n ¼ 4 สำหรับ n ¼ 0 และตราสารหนี้แบบจำนวนมาก Eq. (3) ลดให้รู้จักWeisbach equation14~ z ¼ Fr1r ~ 4 1 : (4)ผลกระทบของความหนืดและแรงตึงผิวในรูปแบบของเจ็ทเครื่องเขียนเป็นงานวิจัย topics15 – 17 และยังไม่ได้อย่างเข้าใจ ในเอกสารนี้ เราพัฒนาการวิเคราะห์วิธีใช้พลังงานที่ควรได้รับการควบคุมสมการเชิงอนุพันธ์สำหรับรัศมีเจ็ทเป็นฟังก์ชันของตำแหน่งแกน เรากำหนด equation18 Bernoulli ปรับเปลี่ยนสำหรับ jet ล้มฟรีที่มีพลังงาน interfacial เจ็ทความหนาแน่นและความสูญเสียเนื่องจากความหนืดของเหลว การวิเคราะห์ทางสมการของ JSF ที่มาในการ dimensionlessกลุ่มตัวเลขเปรียบเทียบกับการสังเกตทดลองและได้ข้อตกลงที่ดีII. กำหนดปัญหาพิจารณากระแส isothermal, laminar ของการ incompressibleทฤษฎีของไหล มีความหนืด g, c แรงตึงผิว ความหนาแน่นq ออกลงจาก orifice กลมของรัศมี R0ไปในอากาศด้วยความเร็วเริ่มต้น t0 และล้มในที่ความโน้มถ่วงฟิลด์ g ^ z (z วัดลงในแนวตั้ง) ในแบบฟอร์มของเจ็ท axisymmetric ที่จำกัดให้แคบลงล่าง (ดู Fig. 1)สำหรับกระแสนี้ jet, equation18 modifed Bernoulli ชนิดตามการปรับปรุง รวมถึงการสูญเสียพลังงานเนื่องจากของเหลว viscosity19และฟรีพลังงานผิวของเจ็ท สามารถเขียนในแบบฟอร์ม733 เป็น
การแปล กรุณารอสักครู่..