ContentsSubfields and scopeThe Hand

Contents
Subfields and scope
The Handbook of Mathematical Logic (Barwise 1989) makes a rough division of contemporary mathematical logic into four areas:
set theory
model theory
recursion theory, and proof theory and constructive mathematics
Each area has a distinct focus, although many techniques and results are shared among multiple areas. The borderlines amongst these fields, and the lines separating mathematical logic and other fields of mathematics, are not always sharp. Gödel's incompleteness theorem marks not only a milestone in recursion theory and proof theory, but has also led to Löb's theorem in modal logic. The method of forcing is employed in set theory, model theory, and recursion theory, as well as in the study of intuitionistic mathematics.
The mathematical field of category theory uses many formal axiomatic methods, and includes the study of categorical logic, but category theory is not ordinarily considered a subfield of mathematical logic. Because of its applicability in diverse fields of mathematics, mathematicians including Saunders Mac Lane have proposed category theory as a foundational system for mathematics, independent of set theory. These foundations use toposes, which resemble generalized models of set theory that may employ classical or nonclassical logic.

History
Mathematical logic emerged in the mid-19th century as a subfield of mathematics independent of the traditional study of logic (Ferreirós 2001, p. 443). Before this emergence, logic was studied with rhetoric, through the syllogism, and with philosophy. The first half of the 20th century saw an explosion of fundamental results, accompanied by vigorous debate over the foundations of mathematics.

Formal logical systems
At its core, mathematical logic deals with mathematical concepts expressed using formal logical systems. These systems, though they differ in many details, share the common property of considering only expressions in a fixed formal language. The systems of propositional logic and first-order logic are the most widely studied today, because of their applicability to foundations of mathematics and because of their desirable proof-theoretic properties.[5] Stronger classical logics such as second-order logic or infinitary logic are also studied, along with nonclassical logics such as intuitionistic logic.


Set theory
Set theory is the study of sets, which are abstract collections of objects. Many of the basic notions, such as ordinal and cardinal numbers, were developed informally by Cantor before formal axiomatizations of set theory were developed. The first such axiomatization, due to Zermelo (1908b), was extended slightly to become Zermelo–Fraenkel set theory (ZF), which is now the most widely used foundational theory for mathematics.
Model theory
Model theory studies the models of various formal theories. Here a theory is a set of formulas in a particular formal logic and signature, while a model is a structure that gives a concrete interpretation of the theory. Model theory is closely related to universal algebra and algebraic geometry, although the methods of model theory focus more on logical considerations than those fields.
Recursion theory
Recursion theory, also called computability theory, studies the properties of computable functions and the Turing degrees, which divide the uncomputable functions into sets that have the same level of uncomputability. Recursion theory also includes the study of generalized computability and definability. Recursion theory grew from the work of Alonzo Church and Alan Turing in the 1930s, which was greatly extended by Kleene and Post in the 1940s.

Proof theory and constructive mathematics
Proof theory is the study of formal proofs in various logical deduction systems. These proofs are represented as formal mathematical objects, facilitating their analysis by mathematical techniques. Several deduction systems are commonly considered, including Hilbert-style deduction systems, systems of natural deduction, and the sequent calculus developed by Gentzen.
Connections with computer science
The study of computability theory in computer science is closely related to the study of computability in mathematical logic. There is a difference of emphasis, however. Computer scientists often focus on concrete programming languages and feasible computability, while researchers in mathematical logic often focus on computability as a theoretical concept and on noncomputability.
Foundations of mathematics
In the 19th century, mathematicians became aware of logical gaps and inconsistencies in their field. It was shown that Euclid's axioms for geometry, which had been taught for centuries as an example of the axiomatic method, were incomplete. The use of infinitesimals, and the very definition of function, came into question in analysis, as pathological examples such as Weierstrass' nowhere-differentiable continuous function were discovered.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เนื้อหาSubfields และขอบเขตคู่มือของคณิตศาสตร์ตรรกะ (Barwise 1989) ทำให้การแบ่งหยาบตรรกะคณิตศาสตร์ร่วมสมัยในพื้นที่สี่:ทฤษฎีเซตทฤษฎีแบบจำลองทฤษฎีการเกิดซ้ำ และพิสูจน์ทฤษฎี และคณิตศาสตร์สร้างสรรค์ แต่ละพื้นที่มีความสำคัญแตกต่างกัน แม้ว่าเทคนิคและผลลัพธ์หลายห้องหลายพื้นที่ Borderlines เขตข้อมูลเหล่านี้ และบรรทัดแยกตรรกะคณิตศาสตร์และสาขาอื่น ๆ ของคณิตศาสตร์ มักไม่คมชัด ทำเครื่องหมายไม่เพียงแต่สำคัญในทฤษฎีการเกิดซ้ำและพิสูจน์ทฤษฎีทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเก แต่ยังนำไปสู่ทฤษฎีบทของ Löb ในตรรกะ modal วิธีการบังคับให้เป็นลูกจ้าง ในทฤษฎี ทฤษฎีแบบจำลอง และทฤษฎีการเกิดซ้ำ รวม ทั้ง ในการศึกษาคณิตศาสตร์ intuitionisticด้านคณิตศาสตร์ของทฤษฎีประเภทใช้หลายวิธีซึ่งเป็นจริงอย่างเป็นทางการ และมีการศึกษาของตรรกะที่แน่ชัด แต่ประเภททฤษฎีเป็นปกติถือว่าย่อยของตรรกศาสตร์เชิงคณิตศาสตร์ เนื่องจากการใช้งานในหลากหลายสาขาของคณิตศาสตร์ mathematicians เลนแซนเดอ Mac รวมทั้งมีประเภทเสนอทฤษฎีเป็นระบบพื้นฐานสำหรับคณิตศาสตร์ อิสระทฤษฎี มูลนิธิเหล่านี้ใช้ toposes ซึ่งมีลักษณะทั่วไปรูปแบบของทฤษฎีที่ใช้ตรรกะคลาสสิก หรือ nonclassicalประวัติคณิตตรรกศาสตร์เกิดในตัวกลางศตวรรษเป็นการย่อยของคณิตศาสตร์อิสระของการศึกษาแบบดั้งเดิมของตรรกะ (Ferreirós 2001, p. 443) ก่อนที่จะเกิดขึ้นนี้ ตรรกะเป็นศึกษา ด้วย สำนวน ผ่าน syllogism และปรัชญา ครึ่งแรกของศตวรรษที่ 20 เห็นการระเบิดผลพื้นฐาน มาพร้อมกับอภิปรายคึกคักผ่านรากฐานของคณิตศาสตร์ระบบตรรกะที่เป็นทางการ เป็นหลัก ตรรกคณิตศาสตร์เกี่ยวข้องกับแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่แสดงการใช้ระบบตรรกะที่เป็นทางการ ระบบเหล่านี้ แม้ว่าพวกเขาแตกต่างกันในรายละเอียดมาก แบ่งปันทรัพย์สินทั่วไปการพิจารณาเฉพาะนิพจน์ในภาษาทางการแบบถาวร ระบบของประพจน์และตรรกะลำดับแรกคือ วันนี้การศึกษาอย่างกว้างขวางมากที่สุด เนื่อง จากความเกี่ยวข้องของพวกเขาเพื่อรากฐานของคณิตศาสตร์ และเนื่อง จากคุณสมบัติของพวกเขาสดหลักฐาน [5] แข็งคลาสสิก logics เช่นสองสั่งลอจิกหรือตรรกะ infinitary ยังมีศึกษา พร้อมกับ logics nonclassical เช่น intuitionistic ตรรกะทฤษฎีเซตทฤษฎีคือ การศึกษาของชุด ซึ่งเป็นนามธรรมคอลเลกชันของวัตถุ ความเข้าใจพื้นฐาน เช่นลำดับและหมายเลขของพระคาร์ดินัล มากมายได้ถูกพัฒนาขึ้นเป็น โดยคันทอร์ก่อน axiomatizations ทางทฤษฎีได้รับการพัฒนา แรก เช่น axiomatization, Zermelo (1908b), เนื่องจากถูกขยายเล็กน้อยจะกลายเป็น Zermelo – Fraenkel ทฤษฎี (ZF), ซึ่งขณะนี้ส่วนใหญ่ใช้ทฤษฎีพื้นฐานสำหรับคณิตศาสตร์ทฤษฎีแบบจำลองทฤษฎีรูปแบบศึกษาแบบจำลองของทฤษฎีต่าง ๆ ทางการ นี่ทฤษฎีคือ ชุดของสูตรเฉพาะตรรกะอย่างเป็นทางการและลายเซ็น ในขณะที่แบบจำลอง โครงสร้างที่ช่วยให้การตีความทฤษฎีคอนกรีต ทฤษฎีแบบจำลองอย่างใกล้ชิดเกี่ยวข้องกับสากลพีชคณิตและเรขาคณิตพีชคณิต แม้ว่าวิธีการของแบบจำลองทฤษฎีมุ่งเน้นเพิ่มเติมพิจารณาตรรกะมากกว่าเขตข้อมูลเหล่านั้นทฤษฎีการเกิดซ้ำสอบถามซ้ำทฤษฎี เรียกว่าทฤษฎีการคำนวณได้ การศึกษาคุณสมบัติของฟังก์ชัน computable และองศาทัวริง ซึ่งแบ่งฟังก์ชัน uncomputable เป็นชุดที่มี uncomputability ระดับเดียวกัน ทฤษฎีการสอบถามซ้ำยังมีการศึกษาของ definability และการคำนวณทั่วไปได้ สอบถามซ้ำทฤษฎีเติบโตมาจากการทำงานของอลอนโซเชิร์ชและอลันทัวริงในปี 1930 ซึ่งถูกขยายอย่างมาก โดย Kleene และโพสต์ในปี 1940พิสูจน์ทฤษฎีและคณิตศาสตร์สร้างสรรค์พิสูจน์ทฤษฎีเป็นหลักฐานทางการศึกษาในระบบตรรกะหักต่าง ๆ หลักฐานเหล่านี้จะแสดงเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ อำนวยความสะดวกในการวิเคราะห์ โดยเทคนิคทางคณิตศาสตร์ ระบบหักหลายกันทั่วไปว่า Hilbert สไตล์หักระบบ ระบบของธรรมชาติหัก และแคลคูลัส sequent พัฒนา โดย Gentzenเชื่อมต่อกับคอมพิวเตอร์วิทยาศาสตร์การศึกษาของทฤษฎีการคำนวณได้ในวิทยาการคอมพิวเตอร์จะต้องเกี่ยวข้องกับการศึกษาของการคำนวณได้ในตรรกะคณิตศาสตร์ มีความแตกต่างของความสำคัญ อย่างไรก็ตาม นักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์มักจะเน้นในภาษาเขียนโปรแกรมคอนกรีตและการคำนวณเป็นไปได้ ในขณะที่นักวิจัยในตรรกะคณิตศาสตร์มักจะมุ่งเน้น ในการคำนวณได้เป็นแนวคิดทางทฤษฎี และ ใน noncomputabilityรากฐานของคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 19, mathematicians เป็นทราบช่องว่างแบบลอจิคัลและไม่สอดคล้องกันในสาขาของตน มันแสดงให้เห็นว่า หลักการของ Euclid เรขาคณิต ซึ่งได้รับการสอนมานานหลายศตวรรษเป็นตัวอย่างของวิธีการซึ่งเป็นจริง มีไม่สมบูรณ์ ใช้สที่ และนิยามของฟังก์ชัน มากมาเป็นคำถามในการวิเคราะห์ ที่พบพยาธิตัวอย่างเช่น Weierstrass' differentiable ไม่มีที่ไหนทำงานอย่างต่อเนื่อง

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เนื้อหา
ฟิลด์และขอบเขต
คู่มือของคณิตศาสตร์ Logic (ไวส์ 1989) ทำให้ส่วนที่หยาบของตรรกะทางคณิตศาสตร์ร่วมสมัยเป็นสี่ส่วน:
ตั้งทฤษฎี
แบบจำลองทฤษฎี
ทฤษฎี recursion และทฤษฎีหลักฐานและสร้างสรรค์คณิตศาสตร์
แต่ละพื้นที่มีความสำคัญที่แตกต่างกันแม้ว่าหลายเทคนิคและผล ร่วมกันระหว่างหลายพื้นที่ ชายแดนหมู่เขตข้อมูลเหล่านี้และสายแยกตรรกะทางคณิตศาสตร์และสาขาอื่น ๆ ของคณิตศาสตร์ไม่ได้คมชัดเสมอ ทฤษฎีบทไม่สมบูรณ์ของGödelเครื่องหมายไม่เพียง แต่เหตุการณ์สำคัญในทฤษฎีการเรียกซ้ำและพิสูจน์ทฤษฎี แต่ยังได้นำไปสู่ทฤษฎีบทLöbในคำกริยาตรรกศาสตร์ วิธีการบังคับให้มีการจ้างงานในการตั้งทฤษฎีทฤษฎีแบบจำลองและทฤษฎีการเรียกซ้ำเช่นเดียวกับในการศึกษาคณิตศาสตร์ intuitionistic ได้.
สนามทางคณิตศาสตร์ของทฤษฎีประเภทใช้วิธีการซึ่งเป็นจริงอย่างเป็นทางการจำนวนมากและรวมถึงการศึกษาของตรรกะเด็ดขาด แต่ทฤษฎีหมวดหมู่ จะไม่ถือว่าเป็นปกติฟิลด์ของตรรกะทางคณิตศาสตร์ เพราะการบังคับใช้ในหลากหลายสาขาของคณิตศาสตร์คณิตศาสตร์รวมถึงแซนเดอแม็คเลนได้เสนอทฤษฎีหมวดหมู่เป็นระบบพื้นฐานสำหรับคณิตศาสตร์เป็นอิสระจากการตั้งทฤษฎี มูลนิธิเหล่านี้ใช้ toposes ซึ่งมีลักษณะคล้ายกับรุ่นทั่วไปของการตั้งทฤษฎีว่าอาจใช้ตรรกะคลาสสิกหรือ nonclassical.

ประวัติ
ตรรกะคณิตศาสตร์โผล่ออกมาในช่วงกลางศตวรรษที่ 19 เป็นสาขาย่อยของอิสระคณิตศาสตร์ของการศึกษาแบบดั้งเดิมของลอจิก (Ferreirós 2001 พี. 443) . ก่อนที่จะเกิดขึ้นนี้ตรรกะได้ศึกษากับสำนวนผ่านการอ้างเหตุผลและด้วยปรัชญา ในช่วงครึ่งแรกของศตวรรษที่ 20 เห็นการระเบิดของผลพื้นฐานพร้อมด้วยการอภิปรายมากกว่ารากฐานของคณิตศาสตร์.

ระบบตรรกะอย่างเป็นทางการ
ที่หลักของข้อเสนอตรรกะทางคณิตศาสตร์กับแนวความคิดทางคณิตศาสตร์แสดงการใช้ระบบตรรกะอย่างเป็นทางการ ระบบเหล่านี้แม้ว่าพวกเขาจะแตกต่างกันในรายละเอียดหลายส่วนคุณสมบัติทั่วไปของการพิจารณาการแสดงออกเฉพาะในภาษาอย่างเป็นทางการได้รับการแก้ไข ระบบของตรรกะประพจน์และตรรกะลำดับแรกคือการศึกษาอย่างกว้างขวางมากที่สุดในวันนี้เพราะการบังคับใช้ของพวกเขาให้กับมูลนิธิของคณิตศาสตร์และเพราะคุณสมบัติพิสูจน์ทฤษฎีที่พึงปรารถนาของพวกเขา. [5] แข็งแกร่ง logics คลาสสิกเช่นตรรกะสองคำสั่งหรือตรรกะ infinitary ยังมีการศึกษาพร้อมกับ logics nonclassical เช่น intuitionistic ตรรกศาสตร์.


ตั้งทฤษฎี
ทฤษฎีเซตคือการศึกษาของชุดซึ่งเป็นคอลเลกชันที่เป็นนามธรรมของวัตถุ หลายความคิดพื้นฐานเช่นลำดับและพระคาร์ดินัลตัวเลขอย่างไม่เป็นทางการได้รับการพัฒนาโดยต้นเสียงก่อน axiomatizations อย่างเป็นทางการของการตั้งทฤษฎีที่ถูกพัฒนาขึ้น axiomatization ดังกล่าวครั้งแรกเนื่องจาก Zermelo (1908b) ได้ขยายออกไปเล็กน้อยจะกลายเป็น Zermelo-Fraenkel ทฤษฎีเซต (ZF) ซึ่งขณะนี้ใช้กันอย่างแพร่หลายทฤษฎีพื้นฐานสำหรับคณิตศาสตร์.
ทฤษฎีแบบจำลอง
รุ่นทฤษฎีการศึกษารูปแบบของทฤษฎีอย่างเป็นทางการต่างๆ นี่คือทฤษฎีที่เป็นชุดของสูตรในตรรกะอย่างเป็นทางการโดยเฉพาะอย่างยิ่งและลายเซ็นในขณะที่รูปแบบเป็นโครงสร้างที่ให้ความหมายที่เป็นรูปธรรมของทฤษฎีที่ ทฤษฎีแบบจำลองมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับพีชคณิตสากลและพีชคณิตเรขาคณิตแม้ว่าวิธีการของทฤษฎีแบบจำลองมุ่งเน้นที่การพิจารณาตรรกะกว่าเขตข้อมูลเหล่านั้น.
ทฤษฎี Recursion
ทฤษฎีการเรียกซ้ำเรียกว่าทฤษฎีการคำนวณการศึกษาคุณสมบัติของฟังก์ชั่นคำนวณและปริญญาทัวริงซึ่งแบ่ง ฟังก์ชั่น uncomputable เป็นชุดที่มีระดับเดียวกันของ uncomputability ทฤษฎีการเรียกซ้ำยังรวมถึงการศึกษาของการคำนวณทั่วไปและ Definability ทฤษฎี recursion เพิ่มขึ้นจากการทำงานของคริสตจักรอลองโซและอลันทัวริงในช่วงทศวรรษที่ 1930 ซึ่งได้รับการขยายอย่างมากโดย Kleene และโพสต์ในปี 1940 ได้.

พิสูจน์ทฤษฎีและสร้างสรรค์คณิตศาสตร์
พิสูจน์ทฤษฎีคือการศึกษาของการพิสูจน์อย่างเป็นทางการในระบบการหักตรรกะต่างๆ พิสูจน์เหล่านี้จะแสดงเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์อย่างเป็นทางการอำนวยความสะดวกในการวิเคราะห์โดยใช้เทคนิคทางคณิตศาสตร์ ระบบการหักหลายได้รับการพิจารณาโดยทั่วไปรวมถึงระบบ Hilbert สไตล์หักระบบการหักธรรมชาติและแคลคูลัสลำดับที่พัฒนาโดย Gentzen.
การเชื่อมต่อกับวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์
การศึกษาทฤษฎีการคำนวณในวิทยาการคอมพิวเตอร์จะต้องเกี่ยวข้องกับการศึกษาของการคำนวณในตรรกะทางคณิตศาสตร์ . มีความแตกต่างของการเน้นความเป็นมาอย่างไร นักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์มักจะมุ่งเน้นไปที่การเขียนโปรแกรมภาษาที่เป็นรูปธรรมและการคำนวณความเป็นไปได้ในขณะที่นักวิจัยในตรรกะทางคณิตศาสตร์มักจะมุ่งเน้นไปที่การคำนวณเป็นแนวคิดทฤษฎีและใน noncomputability.
รากฐานของคณิตศาสตร์
ในศตวรรษที่ 19 นักคณิตศาสตร์เริ่มตระหนักถึงช่องว่างตรรกะและไม่สอดคล้องกันในสนามของพวกเขา มันก็แสดงให้เห็นว่าหลักการของยุคลิดเรขาคณิตซึ่งได้รับการสอนมานานหลายศตวรรษเป็นตัวอย่างของวิธีการที่เป็นจริงที่ไม่สมบูรณ์ การใช้ infinitesimals และนิยามของฟังก์ชั่นมาเป็นคำถามในการวิเคราะห์ทางพยาธิวิทยาเป็นตัวอย่างเช่นฟังก์ชั่นอย่างต่อเนื่อง Weierstrass 'ที่ไหนเลย-อนุพันธ์ได้ถูกค้นพบ