What is a Matrix?This lesson introd

What is a Matrix?
This lesson introduces the matrix - the rectangular array at the heart of matrix algebra. Matrix algebra is used quite a bit in advanced statistics, largely because it provides two benefits.
 Compact notation for describing sets of data and sets of equations.
 Efficient methods for manipulating sets of data and solving sets of equations.
Matrix Definition
A matrix is a rectangular array of numbers arranged in rows and columns. The array of numbers below is an example of a matrix.
21 62 33 93
44 95 66 13
77 38 79 33
The number of rows and columns that a matrix has is called its dimension or its order. By convention, rows are listed first; and columns, second. Thus, we would say that the dimension (or order) of the above matrix is 3 x 4, meaning that it has 3 rows and 4 columns.
Numbers that appear in the rows and columns of a matrix are called elements of the matrix. In the above matrix, the element in the first column of the first row is 21; the element in the second column of the first row is 62; and so on.
Matrix Notation
Statisticians use symbols to identify matrix elements and matrices.
 Matrix elements. Consider the matrix below, in which matrix elements are represented entirely by symbols.
A11 A12 A13 A14
A21 A22 A23 A24
 By convention, first subscript refers to the row number; and the second subscript, to the column number. Thus, the first element in the first row is represented by A11. The second element in the first row is represented by A12. And so on, until we reach the fourth element in the second row, which is represented by A24.
 Matrices. There are several ways to represent a matrix symbolically. The simplest is to use a boldface letter, such as A, B, or C. Thus, A might represent a 2 x 4 matrix, as illustrated below.
A = 11 62 33 93
44 95 66 13

 Another approach for representing matrix A is:
 A = [ Aij ] where i = 1, 2 and j = 1, 2, 3, 4
 This notation indicates that A is a matrix with 2 rows and 4 columns. The actual elements of the array are not displayed; they are represented by the symbol Aij.
Other matrix notation will be introduced as needed. For a description of all the matrix notation used in this tutorial, see the Matrix Notation Appendix.
Matrix Equality
To understand matrix algebra, we need to understand matrix equality. Two matrices are equal if all three of the following conditions are met:
 Each matrix has the same number of rows.
 Each matrix has the same number of columns.
 Corresponding elements within each matrix are equal.
Consider the three matrices shown below.
A = 111 x
y 444

B = 111 222
333 444

C = l m n
o p q


If A = B, we know that x = 222 and y = 333; since corresponding elements of equal matrices are also equal. And we know that matrix C is not equal to A or B, because C has more columns than A or B.
Test Your Understanding
Problem 1
The notation below describes two matrices - A and B
A = [ Aij ] where i = 1, 2, 3 and j = 1, 2 B = 111 222 333 444
555 666 777 888


Which of the following statements about A and B are true?
I. Matrix A has 5 elements.
II. The dimension of matrix B is 4 x 2.
III. In matrix B, element B21 is equal to 222.
(A) I only
(B) II only
(C) III only
(D) All of the above
(E) None of the above
Solution
The correct answer is (E).
 Matrix A has 3 rows and 2 columns; that is, 3 rows, each with 2 elements. This adds up to 6 elements, altogether - not 5.
 The dimension of matrix B is 2 x 4 - not 4 x 2. That is, matrix B has 2 rows and 4 columns - not 4 rows and 2 columns.
 And, finally, element B21 refers to the first element in the second row of matrix B, which is equal to 555 - not 222.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เมทริกซ์คืออะไรบทเรียนนี้แนะนำเมตริกซ์ - เรย์สี่เหลี่ยมหัวใจของเมตริกซ์พีชคณิต พีชคณิตของเมทริกซ์ไว้ไม่น้อยในสถิติขั้นสูง ส่วนใหญ่เนื่องจากมันมีประโยชน์ 2บันทึกขนาดกะทัดรัดสำหรับอธิบายข้อมูลชุดของสมการวิธีที่มีประสิทธิภาพสำหรับจัดการข้อมูล และการแก้ไขชุดของสมการคำจำกัดความของเมตริกซ์เมตริกซ์มีแถวสี่เหลี่ยมตัวเลขจัดเรียงในแถวและคอลัมน์ อาร์เรย์ของตัวเลขด้านล่างเป็นตัวอย่างของเมทริกซ์ 21 62 33 93 44 95 66 13 77 38 79 33 จำนวนแถวและคอลัมน์ที่มีเมทริกซ์คือมิติของหรือสั่งของ โดยประชุม แถวอยู่ก่อน และสองคอลัมน์ ดังนั้น เราพูดว่า ขนาด (หรือใบสั่ง) ของเมทริกซ์ดังกล่าวคือ 3 x 4 หมายความ ว่า มันมี 3 แถวและคอลัมน์ที่ 4ตัวเลขที่ปรากฏในแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์ เรียกว่าองค์ประกอบของเมทริกซ์ ในเมตริกซ์ข้างต้น องค์ประกอบในคอลัมน์แรกของแถวแรกคือ 21 องค์ประกอบในคอลัมน์สองของแถวแรกคือ 62 และอื่น ๆสัญลักษณ์ของเมตริกซ์Statisticians ใช้สัญลักษณ์เพื่อระบุองค์ประกอบของเมทริกซ์และเมทริกซ์เมตริกซ์องค์ประกอบ พิจารณาซึ่งแสดงเมตริกซ์องค์ประกอบทั้งหมด โดยสัญลักษณ์ด้านล่าง เมตริกซ์ A11 A12 A13 A14 A21 A22 A23 A24  By convention, first subscript refers to the row number; and the second subscript, to the column number. Thus, the first element in the first row is represented by A11. The second element in the first row is represented by A12. And so on, until we reach the fourth element in the second row, which is represented by A24. Matrices. There are several ways to represent a matrix symbolically. The simplest is to use a boldface letter, such as A, B, or C. Thus, A might represent a 2 x 4 matrix, as illustrated below.A = 11 62 33 93 44 95 66 13  Another approach for representing matrix A is: A = [ Aij ] where i = 1, 2 and j = 1, 2, 3, 4 This notation indicates that A is a matrix with 2 rows and 4 columns. The actual elements of the array are not displayed; they are represented by the symbol Aij.Other matrix notation will be introduced as needed. For a description of all the matrix notation used in this tutorial, see the Matrix Notation Appendix.Matrix EqualityTo understand matrix algebra, we need to understand matrix equality. Two matrices are equal if all three of the following conditions are met: Each matrix has the same number of rows. Each matrix has the same number of columns. Corresponding elements within each matrix are equal.Consider the three matrices shown below.A = 111 x y 444 B = 111 222 333 444 C = l m n o p q If A = B, we know that x = 222 and y = 333; since corresponding elements of equal matrices are also equal. And we know that matrix C is not equal to A or B, because C has more columns than A or B.Test Your UnderstandingProblem 1The notation below describes two matrices - A and BA = [ Aij ] where i = 1, 2, 3 and j = 1, 2 B = 111 222 333 444 555 666 777 888 Which of the following statements about A and B are true?I. Matrix A has 5 elements. II. The dimension of matrix B is 4 x 2. III. In matrix B, element B21 is equal to 222.(A) I only (B) II only (C) III only (D) All of the above (E) None of the aboveSolutionThe correct answer is (E). Matrix A has 3 rows and 2 columns; that is, 3 rows, each with 2 elements. This adds up to 6 elements, altogether - not 5. The dimension of matrix B is 2 x 4 - not 4 x 2. That is, matrix B has 2 rows and 4 columns - not 4 rows and 2 columns. And, finally, element B21 refers to the first element in the second row of matrix B, which is equal to 555 - not 222.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

?
เมทริกซ์คืออะไรบทเรียนนี้จะแนะนำเมทริกซ์- อาร์เรย์สี่เหลี่ยมที่เป็นหัวใจของพีชคณิตเมทริกซ์ พีชคณิตเมทริกซ์ถูกนำมาใช้ไม่น้อยในสถิติขั้นสูงส่วนใหญ่เพราะมีสองประโยชน์.
โน้ตขนาดกะทัดรัดสำหรับการอธิบายชุดของข้อมูลและชุดของสม.
วิธีการที่มีประสิทธิภาพสำหรับการจัดการชุดของข้อมูลและการแก้ชุดของสม.
นิยามเมทริกซ์เมทริกซ์เป็น
อาร์เรย์สี่เหลี่ยมของตัวเลขในการจัดแถวและคอลัมน์ อาร์เรย์ของตัวเลขด้านล่างเป็นตัวอย่างของเมทริกซ์หนึ่ง.
21 62 33 93
44 95 66 13
77 38 79 33
จำนวนแถวและคอลัมน์ที่เมทริกซ์ได้เรียกว่ามิติหรือการสั่งซื้อของ โดยการประชุมมีการระบุไว้แถวแรก และคอลัมน์ที่สอง ดังนั้นเราจะบอกว่ามิติ (หรือคำสั่ง) ของเมทริกซ์ดังกล่าวข้างต้นคือ 3 x 4 ซึ่งหมายความว่ามันมี 3 แถวและคอลัมน์ 4.
ตัวเลขที่ปรากฏในแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์จะเรียกว่าองค์ประกอบของเมทริกซ์ ในเมทริกซ์ดังกล่าวข้างต้นองค์ประกอบในคอลัมน์แรกของแถวแรกคือ 21; องค์ประกอบในคอลัมน์ที่สองของแถวแรกเป็น 62; และอื่น ๆ .
เมทริกซ์โน้ตสถิติใช้สัญลักษณ์ในการระบุองค์ประกอบเมทริกซ์และการฝึกอบรม. องค์ประกอบเมทริกซ์ พิจารณาเมทริกซ์ด้านล่างซึ่งในเมทริกซ์จะแสดงสัญลักษณ์โดยสิ้นเชิง. A11 A12 A13 A14 A21 A22 A23 A24 ตามแบบแผนห้อยแรกหมายถึงจำนวนแถว; และห้อยสองจำนวนคอลัมน์ ดังนั้นองค์ประกอบแรกในแถวแรกเป็นตัวแทนจาก A11 องค์ประกอบที่สองในแถวแรกเป็นตัวแทนจาก A12 และอื่น ๆ จนกว่าจะถึงองค์ประกอบที่สี่ในแถวที่สองซึ่งเป็นตัวแทนจาก A24. เมทริกซ์ มีหลายวิธีที่จะเป็นตัวแทนของเมทริกซ์เป็นสัญลักษณ์ ที่ง่ายที่สุดคือการใช้ตัวอักษรตัวหนาเช่น A, B, หรือซีดังนั้นอาจเป็นตัวแทนของ 2 x 4 เมทริกซ์ดังแสดงด้านล่าง. A = 62 33 11 93 44 95 66 13 วิธีอื่นแทนเมทริกซ์ คือ A = [AIJ] ที่ i = 1, 2 และเจ = 1, 2, 3, 4 สัญกรณ์นี้บ่งชี้ว่าเป็นเมทริกซ์มี 2 แถวและ 4 คอลัมน์ องค์ประกอบที่เกิดขึ้นจริงของอาร์เรย์จะไม่แสดง; พวกเขาจะถูกแทนด้วยสัญลักษณ์ AIJ ได้. สัญกรณ์เมทริกซ์อื่น ๆ จะได้รับการแนะนำตามความจำเป็น สำหรับคำอธิบายของทุกโน้ตเมทริกซ์ที่ใช้ในการกวดวิชานี้ให้ดูที่เดอะเมทริกซ์โน้ตภาคผนวก. ความเท่าเทียมกันเมทริกซ์เพื่อให้เข้าใจพีชคณิตเมทริกซ์เราต้องเข้าใจความเสมอภาคเมทริกซ์ สองเมทริกซ์มีค่าเท่ากันถ้าทั้งสามเงื่อนไขต่อไปนี้: เมทริกซ์แต่ละคนมีหมายเลขเดียวกันของแถว. แต่ละเมทริกซ์มีหมายเลขเดียวกันของคอลัมน์. องค์ประกอบที่สอดคล้องกันในแต่ละเมทริกซ์มีค่าเท่ากัน. พิจารณาสามการฝึกอบรมดังต่อไปนี้A = 111 x y ที่ 444 B = 111 222 333 444 C = LMN OPQ ถ้า A = B, เรารู้ว่า x = 222 y และ = 333; ตั้งแต่ที่สอดคล้องกันองค์ประกอบของการฝึกอบรมที่เท่าเทียมกันนอกจากนี้ยังมีค่าเท่ากัน และเรารู้ว่าเมทริกซ์ C ไม่เท่ากับ A หรือ B, C เพราะมีคอลัมน์มากกว่าหรือบีทดสอบความเข้าใจของคุณปัญหา1 สัญกรณ์ด้านล่างอธิบายสองเมทริกซ์ - A และ B A = [AIJ] ที่ i = 1, 2 , 3 และเจ = 1, 2 B = 222 333 111 444 555 666 777 888 ซึ่งงบดังต่อไปนี้เกี่ยวกับ A และ B มีจริงหรือไม่? ครั้งที่หนึ่ง เมทริกซ์มี 5 องค์ประกอบ. ครั้งที่สอง มิติของเมทริกซ์ B คือ 4 x 2 III ในเมทริกซ์ B, องค์ประกอบ B21 เท่ากับ 222 (A) ฉัน(B) ครั้งที่สองเท่านั้น(C) เพียง III (D) ทั้งหมดข้างต้น(E) ไม่มีข้อใดโซลูชั่นคำตอบที่ถูกต้องคือ(E).  เมทริกซ์มี 3 แถวและ 2 คอลัมน์; นั่นคือ 3 แถวแต่ละคนมี 2 องค์ประกอบ นี้จะเพิ่มขึ้นถึง 6 องค์ประกอบทั้งหมด - ไม่ 5. มิติของเมทริกซ์ B คือ 2 x 4 - ไม่ได้ 4 x 2 นั่นคือเมทริกซ์ B มี 2 แถวและ 4 คอลัมน์ -. ไม่ได้ 4 แถวและ 2 คอลัมน์และในที่สุดองค์ประกอบ B21 หมายถึงองค์ประกอบแรกในแถวที่สองของเมทริกซ์ B ซึ่งมีค่าเท่ากับ 555 - 222 ไม่ได้

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

อะไรคือเมทริกซ์ ?
บทเรียนนี้แนะนำ เมทริกซ์ - ช่องสี่เหลี่ยมที่เป็นหัวใจของพีชคณิตเมทริกซ์ พีชคณิตของเมทริกซ์ที่ใช้ค่อนข้างเป็นบิตในสถิติขั้นสูง , ส่วนใหญ่เพราะมันให้ประโยชน์สอง .
กะทัดรัดสัญกรณ์สำหรับอธิบายชุดข้อมูลและชุดของสมการ .
มีประสิทธิภาพวิธีการจัดการชุดของข้อมูลและการแก้ชุดสมการเมตริกซ์นิยาม

.เมทริกซ์เป็นสี่เหลี่ยมแถวของตัวเลขเรียงกันเป็นแถวและคอลัมน์ อาร์เรย์ของตัวเลขด้านล่างเป็นตัวอย่างของเมทริกซ์ .

21 62 33 93 95 66 44 77 79 33 38 13

จำนวนแถวและคอลัมน์ที่เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติหรือเรียกว่าของการสั่งซื้อของ โดยอนุสัญญาแถวอยู่ก่อน และคอลัมน์ที่สอง ดังนั้น เราก็จะบอกว่ามิติ ( หรือคำสั่ง ) ของเมทริกซ์ข้างต้น 3 x 4หมายความว่ามันมี 3 แถว 4 คอลัมน์
ตัวเลขที่ปรากฏในแถวและคอลัมน์ของเมตริกซ์จะเรียกว่าองค์ประกอบของเมทริกซ์ ในเมทริกซ์ข้างต้น องค์ประกอบในคอลัมน์แรกของแถวแรกคือ 21 ; องค์ประกอบในคอลัมน์ที่สองของแถวแรกคือ 62 ; และอื่น ๆ .

statisticians เมทริกซ์สัญกรณ์ใช้สัญลักษณ์ระบุองค์ประกอบและองค์ประกอบ
เมทริกซ์เมทริกซ์ เมทริกซ์พิจารณาเมทริกซ์ด้านล่างซึ่งในองค์ประกอบของเมทริกซ์แทนทั้งหมด โดยสัญลักษณ์ A11 A13 A11 A12 .

a21 a22 a23 a24
โดยการประชุมตกลงแรกหมายถึงหมายเลขแถว และตัวห้อยวินาที กับคอลัมน์ตัวเลข ดังนั้น องค์ประกอบแรกในแถวแรกแสดงโดย A11 . องค์ประกอบที่สองในแถวแรกจะแสดงเป็น A12 . และอื่น ๆจนกว่าเราจะเข้าถึงองค์ประกอบที่สี่ในแถวที่สอง ซึ่งแสดงโดย a24 .
เมทริกซ์ มีหลายวิธีที่จะเป็นตัวแทนของเมทริกซ์สัญลักษณ์ . ที่ง่ายที่สุดคือการใช้ตัวหนา ตัวอักษร เช่น A , B หรือ C . ดังนั้น , จะแสดงเป็น 2 x 4 เมทริกซ์ที่แสดงด้านล่าง .
= 11 62 33 93
44 95 66 13

วิธีอื่นแทนเมทริกซ์ A :
 = [ aij ] ที่ผม = 12 และ j = 1 , 2 , 3 , 4
สัญกรณ์นี้แสดงว่าเป็นเมทริกซ์ที่มี 2 แถว 4 คอลัมน์ องค์ประกอบที่แท้จริงของเรย์จะไม่แสดง ; พวกเขาจะแทนด้วยสัญลักษณ์ aij .
โน้ตเมทริกซ์อื่น ๆ จะได้แนะนำได้ตามต้องการ สำหรับรายละเอียดทั้งหมดของเมทริกซ์สัญกรณ์ที่ใช้ในการกวดวิชานี้ , เห็นสัญกรณ์เมทริกซ์เมทริกซ์ไส้ติ่ง

เข้าใจความเสมอภาคพีชคณิตเมทริกซ์เราจำเป็นต้องเข้าใจความเสมอภาคเมทริกซ์ สองเมทริกซ์เท่ากันถ้าสามเงื่อนไขต่อไปนี้ได้ :
แต่ละเมทริกซ์ที่มีจำนวนแถว .
แต่ละเมทริกซ์มีหมายเลขเดียวกันของคอลัมน์ .
สอดคล้ององค์ประกอบภายในแต่ละเมทริกซ์จะเท่ากัน ให้พิจารณา 3 เมทริกซ์แสดงด้านล่าง
.
= 111 x
y

และ B = 111 222 333 444

C = L M N O P Q



ถ้า A = Bเรารู้ว่า X และ Y = = 333 ; ตั้งแต่องค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์เท่ากันจะเท่ากัน และเรารู้ว่าเมทริกซ์ C ไม่เท่ากับ A หรือ B เพราะ C มีคอลัมน์มากกว่า หรือ B .
1

ปัญหาทดสอบความเข้าใจของคุณหมายเหตุด้านล่างอธิบายสองเมทริกซ์ - A และ B
= [ ] = aij ที่ชั้น 1 , 2 , 3 และ j = 1 , 2 b = 111 222 333 444 555 666 777 888



ซึ่งจากงบประมาณและ B จริงต่อไปนี้
ผมเมทริกซ์มี 5 องค์ประกอบ
2 ขนาดของเมทริกซ์ B คือ 4 x 2
III ในเมทริกซ์ B , b21 องค์ประกอบเท่ากับ 222 .
( )

เดียวเท่านั้น ( B ) 2 ( c ) 3 เท่านั้น
( D ) ทั้งหมดข้างต้น
( E ) ไม่มีการแก้ปัญหาข้างต้น

คำตอบที่ถูกต้อง ( E )
เมทริกซ์มี 3 แถวและ 2 คอลัมน์ ; นั่นคือ 3 แถว แต่ละที่มี 2 องค์ประกอบ นี้จะเพิ่มถึง 6 องค์ประกอบทั้งหมด - 5
มิติเมทริกซ์ B เป็น 2 x 4 - 4 x 2 นั่นคือ เมทริกซ์ B มี 2 แถวและคอลัมน์ 4 - 4 แถวและคอลัมน์ 2 .
และในที่สุด b21 ธาตุ หมายถึง ธาตุแรกในแถวที่สองของเมตริกซ์ B ซึ่งเท่ากับ 555 - 222 .