with A1 is nonsingular and take A1

with A1 is nonsingular and take A1 as preconditioner. However, for rank deficient case, we cannot obtain splitting (2.3) with nonsingular A1. The natural way is to consider full rank splitting (2.3) with A1 2 Rrn where
r ¼ rankðAÞ. Now we have to find the right preconditioner to construct block preconditioned SOR methods
for solving (2.1). From fundamental theorem of linear algebra, we know that any x 2 Rn, x ¼ ATy þ z where
z 2 NðAÞ. If we find RðATÞ ¼ RðAT 1 Þ, then we can construct preconditioner A1AT 1 which is nonsingular. For this
purpose, Lemma 2.1 in [33], that is RðAT 1 Þ ¼ RðATÞ and NðAÞ ¼ NðA1Þ, offered the required result. Thus, based
on the result, the block preconditioned SOR methods and block preconditioned conjugate gradient method
are established for solving problem (2.2) for rank deficient A in [33,34]. The convergence theory of such methods was also studied.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

A1 เป็น nonsingular และใช้ A1 เป็น preconditioner อย่างไรก็ตาม สำหรับกรณีขาดอันดับ เราไม่สามารถรับการแบ่ง (2.3) กับ nonsingular A1 วิธีธรรมชาติคือการ พิจารณาเต็มยศแบ่ง (2.3) ด้วย n A1 2 Rr ที่r ¼ rankðAÞ ตอนนี้ เราต้องหา preconditioner ขวาสร้างบล็อก preconditioned สอวิธีสำหรับการแก้ (2.1) จากทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิตเชิงเส้น เรารู้ว่า x 2 ใด ๆ Rn, x ¼ ATy þ z ซึ่งz 2 NðAÞ ถ้าเราพบ RðATÞ ¼Þ RðAT 1 เราสามารถสร้าง preconditioner 1 A1AT ซึ่งเป็น nonsingular สำหรับเรื่องนี้วัตถุประสงค์ 2.1 หน่วยการใน [33], ที่Þ RðAT 1 ¼¼ NðA1Þ, NðAÞ และ RðATÞ นำเสนอผลลัพธ์จำเป็น ดังนั้น คะแนนผล บล็อก preconditioned วิธีสอและบล็อก preconditioned conjugate วิธีไล่โทนสีถูกสร้างขึ้นสำหรับการแก้ปัญหา (2.2) สำหรับอันดับขาด A ใน [33,34] ยังมีศึกษาทฤษฎีที่บรรจบกันของวิธีการดังกล่าว

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

กับ A1 เป็น nonsingular และใช้เป็น A1 preconditioner อย่างไรก็ตามสำหรับกรณีที่ขาดยศเราไม่สามารถได้รับการแยก (2.3) มี nonsingular A1 วิธีธรรมชาติคือการพิจารณาอันดับแยกเล่ม (2.3) กับ A1 2 Rr? n ที่
R ¼rankðAÞ ตอนนี้เราต้องไปหา preconditioner ที่เหมาะสมในการสร้างบล็อก preconditioned วิธี SOR
สำหรับการแก้ปัญหา (2.1) จากทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิตเชิงเส้นเรารู้ว่า x ใด ๆ 2 Rn, x ¼กินÞ Z ที่
Z 2 NðAÞ หากเราพบRðATÞ¼RðAT 1 TH, แล้วเราสามารถสร้าง preconditioner A1AT 1 ซึ่งเป็น nonsingular สำหรับเรื่องนี้
วัตถุประสงค์แทรก 2.1 ใน [33] ที่เป็นRðAT 1 Þ¼RðATÞและNðAÞ¼NðA1Þเสนอผลที่ต้องการ ดังนั้นขึ้นอยู่
กับผล, บล็อก preconditioned วิธี SOR และป้องกันวิธีการผันลาด preconditioned
จะจัดตั้งขึ้นสำหรับการแก้ปัญหา (2.2) สำหรับตำแหน่งที่ขาดมีในร้าน [33,34] ทฤษฎีการบรรจบกันของวิธีการดังกล่าวยังได้รับการศึกษา

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

กับ A1 เป็น nonsingular และใช้ A1 เป็น preconditioner . อย่างไรก็ตาม สำหรับตำแหน่ง กรณีบกพร่อง เราไม่ได้แยก ( 2.3 ) กับ nonsingular A1 วิธีธรรมชาติคือการพิจารณาเต็มอันดับแยก ( 2.3 ) A1 2 rrn ที่ไหนr ¼อันดับðเป็นÞ . ตอนนี้เราต้องหา preconditioner ที่เหมาะสมในการสร้างบล็อก วิธี preconditioned ส.การแก้ไข ( 2 ) จากทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิตเชิงเส้น เราทราบว่า x 2 RN , x ¼ aty þ Z ที่Z 2 N ðเป็นÞ . ถ้าเราหา R ðที่Þ¼ R ð 1 Þแล้วเราสามารถสร้าง preconditioner a1at 1 ซึ่ง nonsingular . สำหรับนี้วัตถุประสงค์พ 2.1 ใน [ 33 ] , R ð 1 Þ¼ R ðที่Þและðเป็นÞ¼ N ð A1 Þต้องเสนอผล ดังนั้น ตามในผล , บล็อก preconditioned ส. และวิธีบล็อก preconditioned ผันวิธีการไล่ระดับได้ก่อตั้งขึ้นเพื่อแก้ปัญหา ( 2.2 ) สำหรับตำแหน่งที่ขาดใน [ 33,34 ] ทฤษฎีการลู่เข้าของวิธีการดังกล่าว ยังศึกษา