Suppose that the double series P∞n,

Suppose that the double series P∞
n,m=1 z(n, m) converges absolutely.
Then P∞
n,m=1 | z(n, m) | converges, and hence, by Cauchy Convergence Criterion
7.3, its sequence (s
0
(n, m)) of partial sums is Cauchy. So given  > 0, there exists
N ∈ N such that

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

สมมติว่า ชุดคู่ P∞n, m = 1 z (n, m) แร็คอย่างแน่นอนแล้ว P∞n, m = 1 กรุนด์ฟอส z (n, m) | แร็ค และด้วยเหตุนี้ โดย เกณฑ์ Cauchy บรรจบกัน7.3 ลำดับของ (s0(n, m)) ของผลบวกคือ Cauchy ดังนั้น ให้ > 0 มีN ∈ N ซึ่ง

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

สมมติว่าคู่ชุดP∞
N, M = 1 Z (N, M) ลู่อย่างแน่นอน
แล้วP∞
N, M = 1 | Z (N, M) | ลู่และด้วยเหตุนี้โดย Cauchy บรรจบเกณฑ์
7.3 ลำดับ (s
0
(N, M)) ของผลรวมบางส่วนเป็น Cauchy ดังนั้นให้? > 0 มีอยู่
N ∈ N ดังกล่าวว่า

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

คิดว่าคู่ชุด∞ pN , M = 1 Z ( n , m ) - แน่นอนแล้ว∞ pN , M = 1 | Z ( n , m ) | มารวมกัน และดังนั้น โดยบรรจบ Cauchy เกณฑ์7.3 ลำดับของมัน ( s0( n , m ) ของผลรวมบางส่วนเป็น Cauchy . ดังนั้นให้ > 0 , ที่มีอยู่∈ n n เช่น