On the formalist view, a minimal re

On the formalist view, a minimal requirement of formal systems of higher mathematics is that they are at least consistent. Otherwise every statement of elementary arithmetic can be proved in them. Hilbert also saw (again, dimly) that the consistency of a system of higher mathematics entails that this system is at least partially arithmetically sound. So Hilbert and his students set out to prove statements such as the consistency of the standard postulates of mathematical analysis. Of course such as statement should would have to be proved in a ‘safe’ part of mathematics, such as elementary arithmetic. Otherwise the proof does not increase our conviction in the consistency of mathematical analysis. And, fortunately, it seemed possible in principle to do this, for in the final analysis consistency statements are, again modulo coding, arithmetical statements. So, to be precise, Hilbert and his students set out to prove the consistency of, e.g., the axioms of mathematical analysis in classical Peano arithmetic. This project was known as Hilbert's program (Zach 2006). It turned out to be more difficult than they had expected. In fact, they did not even succeed in proving the consistency of the axioms of Peano Arithmetic in Peano Arithmetic.
Then Kurt Gödel proved that there exist arithmetical statements that are undecidable in Peano Arithmetic (Gödel 1931). This has become known as his Gödel's first incompleteness theorem. This did not bode well for Hilbert's program, but it left open the possibility that the consistency of higher mathematics is not one of these undecidable statements. Unfortunately, Gödel then quickly realized that, unless (God forbid!) Peano Arithmetic is inconsistent, the consistency of Peano Arithmetic is independent of Peano Arithmetic. This is Gödel's second incompleteness theorem. Gödel's incompleteness theorems turn out to be generally applicable to all sufficiently strong but consistent recursively axiomatizable theories. Together, they entail that Hilbert's program fails. It turns out that higher mathematics cannot be interpreted in a purely instrumental way. Higher mathematics can prove arithmetical sentences, such as consistency statements, that are beyond the reach of Peano Arithmetic.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ในมุมมอง formalist ความต้องการน้อยที่สุดของระบบทางคณิตศาสตร์สูงที่มีสอดคล้องน้อย ไม่ สามารถพิสูจน์ทุกคำสั่งของเลขคณิตมูลฐานในพวกเขา ฮิลแบร์ทยังเห็น (อีก แสง) ที่สอดคล้องของระบบคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นก่อให้เกิดระบบนี้เสียงบางส่วน arithmetically น้อย ฮิลแบร์ทดังนั้นและนักเรียนของเขาต้องพิสูจน์งบเช่นความสอดคล้องของ postulates มาตรฐานการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ แน่นอนเช่นงบควร จะต้องสามารถพิสูจน์ในส่วนของคณิตศาสตร์ เช่นเลขคณิตมูลฐาน 'ปลอดภัย' หรือ หลักฐานเพิ่มความเชื่อมั่นของเราในความสอดคล้องของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ และ โชคดี มันดูเหมือนเป็นไปได้ในหลักการ สำหรับความสอดคล้องที่สุดงบมี อีกโล arithmetical งบ การเขียนโค้ด ดังนั้น ต้องมีความแม่นยำ ฮิลแบร์ทและนักเรียนกำหนดที่พิสูจน์ความสอดคล้องของ เช่น สัจพจน์ของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ใน Peano คลาสสิกทางคณิตศาสตร์ โครงการนี้ถูกเรียกว่าโปรแกรมของฮิลแบร์ท (Zach 2006) มันเป็นเรื่องยากมากขึ้นกว่าที่เขาคาดไว้ ในความเป็นจริง พวกเขาไม่ได้ได้สำเร็จในการพิสูจน์ความสอดคล้องของสัจพจน์ของคณิตศาสตร์ Peano ในเลขคณิต Peanoจากนั้น Kurt Gödel พิสูจน์ว่า มีงบ arithmetical ที่ undecidable ในเลขคณิต Peano (Gödel 1931) นี้ได้กลายเป็นเรียกว่าทฤษฎีบทเกอเดลแรก Gödel ของเขา นี้ไม่ได้ไม่เป็นลางดีสำหรับโปรแกรมของฮิลแบร์ท แต่มันเหลือเปิดความเป็นไปได้ว่า ความสอดคล้องของคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นไม่ใช่ของงบ undecidable อับ Gödel แล้วอย่างรวดเร็วตระหนักว่า เว้นแต่ (พระเจ้าห้าม) เลขคณิต Peano ไม่สอดคล้อง ความสอดคล้องของเลขคณิต Peano เป็นอิสระของเลขคณิต Peano นี้เป็นของสองเกอเดลทฤษฎีบท ของ theorems ไม่เปิดออกมาโดยทั่วไปใช้กับทฤษฎี axiomatizable recursively แข็งแรงพอ แต่สอดคล้องกันทั้งหมด กัน พวกเขาพบของฮิลแบร์ทที่โปรแกรมล้มเหลว มันเปิดออกว่า คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นไม่สามารถแปลแบบเครื่องแท้จาก คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นสามารถพิสูจน์ประโยค arithmetical เช่นความสอดคล้องของงบ ที่ไกลเกินเอื้อม Peano เลขคณิต

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ในมุมมองเหือด, ความต้องการที่น้อยที่สุดของระบบอย่างเป็นทางการของคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นคือพวกเขาเป็นอย่างน้อยที่สอดคล้องกัน มิฉะนั้นคำสั่งของเลขคณิตประถมศึกษาทุกคนสามารถพิสูจน์ได้ในพวกเขา ฮิลแบร์ตยังเห็น (อีกครั้งราง) ที่สอดคล้องของระบบการทำงานของคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นการให้รายละเอียดว่าระบบนี้เป็นอย่างน้อยบางส่วน arithmetically เสียง ดังนั้น Hilbert และนักเรียนของเขาออกไปพิสูจน์งบดังกล่าวเป็นความสอดคล้องของสมมุติฐานมาตรฐานของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ของหลักสูตรดังกล่าวเป็นคำสั่งควรจะต้องมีการพิสูจน์ในส่วน 'ปลอดภัย' ของคณิตศาสตร์เช่นการทางคณิตศาสตร์ประถมศึกษา มิฉะนั้นหลักฐานไม่เพิ่มความเชื่อมั่นของเราในการสอดคล้องของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ และโชคดีที่ดูเหมือนว่ามันจะเป็นไปได้ในหลักการที่จะทำเช่นนี้สำหรับในการวิเคราะห์สุดท้ายงบสอดคล้องจะอีกแบบโมดูโลเข้ารหัสงบคณิตศาสตร์ ดังนั้นจะแม่นยำ Hilbert และนักเรียนของเขาได้ออกเดินทางไปพิสูจน์ความสอดคล้องของเช่นหลักการของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ในคลาสสิกอาโน่เลขคณิต โครงการนี้เป็นที่รู้จักกันเป็นโปรแกรมฮิลแบร์ต (ซัค 2006) มันจะกลายเป็นเรื่องยากมากขึ้นกว่าที่พวกเขาคาดหวัง ในความเป็นจริงพวกเขาไม่ได้ประสบความสำเร็จในการพิสูจน์ความสอดคล้องของหลักการของอาโน่คณิตศาสตร์ในอาโน่คณิตศาสตร์ได้.
แล้ว Kurt Gödelได้รับการพิสูจน์ว่ามีอยู่งบคณิตศาสตร์ที่มี undecidable ในอาโน่คณิตศาสตร์ (Gödel 1931) นี้ได้กลายเป็นที่รู้จักในฐานะของเขาขาดทฤษฎีบทGödelเป็นครั้งแรก เรื่องนี้ไม่ได้เป็นลางดีสำหรับโปรแกรมฮิลแบร์ต แต่ก็เปิดทิ้งไว้เป็นไปได้ว่าสอดคล้องของคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นไม่ได้เป็นที่หนึ่งของงบ undecidable เหล่านี้ แต่น่าเสียดายที่Gödelแล้วรู้อย่างรวดเร็วว่าถ้า (พระเจ้าห้าม!) อาโน่คณิตศาสตร์ไม่สอดคล้องความสอดคล้องของอาโน่คณิตศาสตร์มีความเป็นอิสระของอาโน่คณิตศาสตร์ นี่คือความไม่สมบูรณ์ทฤษฎีบทที่สองของGödel ของGödelทฤษฎีบทไม่สมบูรณ์เปิดออกเพื่อจะโดยทั่วไปสามารถใช้ได้กับทุกที่แข็งแกร่งพอสมควร แต่ทฤษฎีที่สอดคล้อง axiomatizable ซ้ำ ร่วมกันพวกเขานำมาซึ่งการว่าโปรแกรมฮิลแบร์ตล้มเหลว แต่กลับกลายเป็นว่าคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นไม่สามารถตีความในทางที่มีประโยชน์อย่างหมดจด คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นสามารถพิสูจน์ประโยคคณิตศาสตร์เช่นงบความมั่นคงที่อยู่นอกเหนือการเข้าถึงของอาโน่เลขคณิต

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ในมุมมอง formalist ความต้องการของระบบน้อยที่สุดทางคณิตศาสตร์สูงกว่าที่พวกเขาเป็นอย่างน้อยที่สอดคล้องกัน มิฉะนั้น ทุกงบ คณิตศาสตร์เบื้องต้น สามารถพิสูจน์ได้ใน ฮิลเบิร์ตก็เห็น ( อีกรูป ) ความสอดคล้องของระบบคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นใช้ระบบนี้เป็นอย่างน้อยบางส่วน arithmetically เสียง ดังนั้น ฮิลเบิร์ตและนักเรียนของเขาออกเพื่อพิสูจน์ข้อสมมุติฐาน เช่น ความสอดคล้องของมาตรฐานของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ แน่นอน เช่น งบก็จะต้องพิสูจน์ในส่วน " ปลอดภัย " คณิตศาสตร์ เช่น คณิตศาสตร์ระดับประถม มิฉะนั้นหลักฐานไม่ได้เพิ่มความเชื่อมั่นของเราในความสอดคล้องของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ และโชคดี ที่น่าจะเป็นไปได้ในหลักการที่จะทำนี้ สำหรับในรอบสุดท้ายการวิเคราะห์ความสอดคล้องงบเป็นอีกโมดูโล่การเข้ารหัสเลขคณิตข้อความ ดังนั้น ต้องชัดเจน ฮิลเบิร์ตและนักเรียนของเขาออกเพื่อพิสูจน์ความมั่นคงของเช่นสัจพจน์ของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์เลขคณิตเปอาโนคลาสสิก โครงการนี้ถูกเรียกว่าฮิลเบิร์ต ( แซค ( 2006 ) มันกลายเป็นยากขึ้นกว่าที่พวกเขาคิด ในความเป็นจริงพวกเขาไม่ได้ประสบความสำเร็จในการพิสูจน์ความสอดคล้องของสัจพจน์ของเปอาโน ( ) ในคณิตศาสตร์เปอาโน .จากนั้นรูนแท้ทั้งพิสูจน์ว่ามีอยู่ข้อความเลขคณิตที่ undecidable ในเลขคณิตเปอาโน ( G ö del 1931 ) นี้ได้กลายเป็นที่รู้จักในฐานะของเขา G ö del แรกขาดความเชื่อ . นี้ไม่ได้เป็นลางดีสำหรับฮิลเบิร์ตของโปรแกรม แต่ก็เปิดทิ้งไว้ ความเป็นไปได้ที่ความสอดคล้องของคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นไม่ได้เป็นหนึ่งของงบ undecidable เหล่านี้ แต่น่าเสียดายที่ G ö del แล้วตระหนักอย่างรวดเร็วว่า นอกจาก ( พระเจ้าห้าม ) เปอาโนเลขคณิตสอดคล้อง , ความสอดคล้องของเลขคณิตเปอาโนเป็นอิสระของเลขคณิตเปอาโน . นี้คือ G ö del ที่สองขาดความเชื่อ . ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดลเป็นโดยทั่วไปสามารถใช้ได้กับทุกคนอย่างเข้มแข็ง แต่ทฤษฎี recursively axiomatizable สอดคล้องกัน ร่วมกันพวกเขาครอบคลุมที่ฮิลเบิร์ตของโปรแกรมล้มเหลว ปรากฎว่าไม่สามารถคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นจะตีความในทางหมดจดเครื่องมือ คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นสามารถพิสูจน์ประโยคคณิตศาสตร์ เช่นงบความมั่นคงที่เกินเอื้อมของเลขคณิตเปอาโน .