ABSTRACTThis thesis assembles two p

ABSTRACT
This thesis assembles two papers in mathematics and two papers in mathematics education.
In the mathematics part, representation theory is practised. Two Clebsch-Gordan type
problems are addressed. The original problem concerns the decomposition of the tensor
product of two finite dimensional, irreducible highest way representations of GLC
(n). This
problem is known to be equivalent with the characterisation of the eigenvalues of the sum
of two Hermitian matrices. In this thesis, the method of moment maps and coadjoint
orbits are used to find equivalence between the eigenvalue problem for skew-symmetric
matrices and the tensor product decomposition in the case of SOC
(2k). In addition, some
irreducible, infinite dimensional, unitary highest weight representations of glC
(n + 1) are
determined.
In the mathematics education part a framework is developed, offering a language and
graphical tool for representing the exercising of competence in mathematical practices. The
development sets out from another framework, where competence is defined in terms of
mastery. Adjustments are made in order to increase the coherence of the framework, to
relate the constructs to contemporary research and to enable analysis of the exercising of
competence. These modifications result in two orthogonal sets of essential aspects of mathematical
competence: five competencies and two aspects. The five competencies reflect
different constituents of mathematical practice: representations, procedures, connections,
reasoning and communication. The two aspects evince two different modes of the competencies:
the productive and the analytic. The operationalisation of the framework gives rise
to an analysis guide and a competency graph.
The framework is applied to two sets of empirical data. In the first study, young children’s
exercising of competencies in handling whole numbers is analysed. The results show
that the analytical tools are able to explain this mathematical practice from several angles:
in relation to a specific concept, in a certain activity and how different representations may
pervade procedures and interaction. The second study describes university students’ exercising
of competencies in a proving activity. The findings reveal that, while reasoning and
the analytic aspect are significant in proving, the other competencies and the productive
aspect play important roles as well. Combined, the two studies show that the framework
have explanatory power for various mathematical practices. In light of this framework, this
thesis exercises both aspects of mathematical competence: the productive aspect in representation
theory and the analytic aspect in the development of the framework.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

บทคัดย่อวิทยานิพนธ์นี้ประกอบเอกสารที่สองในวิชาคณิตศาสตร์และเอกสารที่สองในการศึกษาคณิตศาสตร์ในส่วนวิชาคณิตศาสตร์ ทฤษฎีตัวแทนคือฝึกฝน ชนิด Clebsch-Gordan สองปัญหาแก้ไขได้ การย่อยสลายของ tensor กังวลปัญหาเดิมผลิตภัณฑ์ของสองจำกัดมิติ อย่างต่ำสุดทางตัวแทนของ GLC(n) นี้ปัญหาที่จะเทียบเท่ากับตรวจลักษณะเฉพาะของของค่าลักษณะเฉพาะของผลรวมของสองเมทริกซ์เอร์มีเชียน ในวิทยานิพนธ์นี้ วิธีการของแผนที่ขณะและ coadjointวงโคจรจะใช้ในการค้นหาเทียบเท่าระหว่างปัญหา eigenvalue สมมาตรเมทริกซ์และการย่อยสลายของผลิตภัณฑ์ tensor ในกรณี SOC(2k) .,บางอย่างต่ำ อนันต์มิติ unitary สูงน้ำหนักแทนของ glC(n + 1) จะกำหนดในคณิตศาสตร์การศึกษากรอบงานพัฒนา นำเสนอภาษา และเครื่องมือแบบกราฟิกสำหรับการออกกำลังกายความรู้ความสามารถในการปฏิบัติการทางคณิตศาสตร์ การการพัฒนาชุดออกจากกรอบอื่น ซึ่งกำหนดความสามารถในแง่ของเรียนรู้ จะมีการปรับปรุงเพื่อเพิ่มสำนวนของกรอบ การเกี่ยวข้องของโครงสร้าง การวิจัยร่วมสมัย และ การเปิดใช้งานการวิเคราะห์ใช้ความสามารถ ส่งผลการของคณิตศาสตร์สองมุมฉากชุดความสามารถ: สามารถห้าและสองด้าน สะท้อนความสามารถที่ห้าองค์ประกอบต่าง ๆ ของแบบฝึกหัดคณิตศาสตร์: แทน ขั้นตอน เชื่อม ต่อเหตุผลและการสื่อสาร สองด้าน evince สองโหมดที่แตกต่างของความสามารถในการ:การผลิตและการวิเคราะห์ Operationalisation ของกรอบงานให้เพิ่มขึ้นคู่มือการวิเคราะห์และความสามารถด้านกราฟกรอบใช้สองชุดของข้อมูลเชิงประจักษ์ ในการศึกษาครั้งแรก เด็กของออกกำลังกายความสามารถในการจัดการหมายเลขทั้งหมดถูกนำมาวิเคราะห์ การแสดงผลเครื่องมือวิเคราะห์สามารถอธิบายทางคณิตศาสตร์นี้จากหลายมุม:สัมพันธ์กับแนวคิดเฉพาะ ในกิจกรรมบางอย่าง และแตกต่างแทนอาจปรากฏอยู่ในกระบวนการและปฏิสัมพันธ์ การศึกษาที่สองอธิบายถึงการออกกำลังกายของนักศึกษาความสามารถในกิจกรรม proving เปิดเผยผลการวิจัยที่ ในขณะที่เหตุผล และในส่วนของระบบสำคัญในการพิสูจน์ ความสามารถอื่น ๆ และการผลิตส่วนมีบทบาทสำคัญเช่นกัน รวม การศึกษาที่สองแสดงว่ากรอบมีอำนาจอธิบายแนวปฏิบัติทางคณิตศาสตร์ต่าง ๆ ในแง่นี้กรอบ นี้วิทยานิพนธ์การออกกำลังทั้งสองด้านของความสามารถทางคณิตศาสตร์: ด้านประสิทธิภาพในการแสดงทฤษฎีและด้านวิเคราะห์ในการพัฒนาของกรอบ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

บทคัดย่อ
วิทยานิพนธ์ฉบับนี้มั่งสองเอกสารในวิชาคณิตศาสตร์และสองเอกสารในการศึกษาคณิตศาสตร์.
ในส่วนคณิตศาสตร์ทฤษฎีการแสดงมีประสบการณ์ สอง Clebsch-Gordan ประเภท
ปัญหาได้รับการแก้ไข ปัญหาเดิมที่เกี่ยวข้องกับการสลายตัวของเมตริกซ์
ผลิตภัณฑ์สอง จำกัด มิติลดลงไม่ได้แสดงวิธีการสูงสุดของ GLC
(N) นี้
ปัญหาเป็นที่รู้จักกันจะเทียบเท่ากับลักษณะของค่าลักษณะเฉพาะของทุนที่
สองเมทริกซ์เทียน ในวิทยานิพนธ์นี้วิธีการแผนที่และขณะ coadjoint
วงโคจรที่จะใช้ในการค้นหาความสมดุลระหว่าง eigenvalue ปัญหาสำหรับลาดสมมาตร
การฝึกอบรมและการสลายตัวเมตริกซ์ผลิตภัณฑ์ในกรณีของ SOC
(2k) นอกจากนี้บาง
ลดลงไม่ได้ไม่มีที่สิ้นสุดมิติรวมสูงสุดเป็นตัวแทนน้ำหนักของ GLC
(N + 1) มีการ
กำหนด.
ในส่วนคณิตศาสตร์ศึกษากรอบการทำงานคือการพัฒนาที่นำเสนอภาษาและ
เครื่องมือแบบกราฟิกสำหรับการเป็นตัวแทนของการออกกำลังกายของความสามารถในการปฏิบัติทางคณิตศาสตร์
พัฒนาชุดออกจากกรอบอื่นที่มีการกำหนดความสามารถในแง่ของ
การเรียนรู้ การปรับเปลี่ยนจะทำเพื่อเพิ่มการเชื่อมโยงกันของกรอบที่จะ
เกี่ยวข้องกับโครงสร้างในการวิจัยร่วมสมัยและการเปิดใช้งานการวิเคราะห์การใช้สิทธิของ
ความสามารถ ปรับเปลี่ยนเหล่านี้ส่งผลให้สองชุดมุมฉากของแง่มุมที่สำคัญของคณิตศาสตร์
ความสามารถ: ห้าสมรรถนะและสองด้าน ห้าความสามารถสะท้อนให้เห็นถึง
องค์ประกอบที่แตกต่างกันของการปฏิบัติทางคณิตศาสตร์: การแสดงขั้นตอนการเชื่อมต่อ
การใช้เหตุผลและการสื่อสาร ทั้งสองด้านที่แสดงให้เห็นสองโหมดที่แตกต่างกันของสมรรถนะ:
ประสิทธิผลและการวิเคราะห์ operationalization ของกรอบให้สูงขึ้น
เพื่อเป็นคู่มือวิเคราะห์และกราฟสมรรถนะ.
กรอบการถูกนำไปใช้สองชุดของข้อมูลเชิงประจักษ์ ในการศึกษาครั้งแรกของเด็ก
ออกกำลังกายของสมรรถนะในการจัดการตัวเลขทั้งหมดมีการวิเคราะห์ ผลการศึกษาพบ
ว่าเครื่องมือวิเคราะห์ที่มีความสามารถที่จะอธิบายการปฏิบัติทางคณิตศาสตร์จากหลายมุม:
ในความสัมพันธ์กับแนวคิดที่เฉพาะเจาะจงในกิจกรรมบางอย่างและวิธีการแสดงที่แตกต่างกันอาจ
ฟุ้งขั้นตอนและการมีปฏิสัมพันธ์ การศึกษาที่สองอธิบายของนักศึกษามหาวิทยาลัยการออกกำลังกาย
ของสมรรถนะในกิจกรรมการพิสูจน์ ผลการศึกษาพบว่าในขณะที่เหตุผลและ
ด้านการวิเคราะห์ที่มีความสำคัญในการพิสูจน์ความสามารถอื่น ๆ และประสิทธิผล
ด้านบทบาทสำคัญเช่นกัน รวมทั้งสองการศึกษาแสดงให้เห็นว่ากรอบ
มีอำนาจอธิบายสำหรับการปฏิบัติคณิตศาสตร์ต่างๆ ในแง่ของกรอบนี้นี้
วิทยานิพนธ์การออกกำลังกายทั้งสองด้านของความสามารถทางคณิตศาสตร์ด้านการผลิตในการเป็นตัวแทน
ด้านทฤษฎีและด้านการวิเคราะห์ในการพัฒนากรอบการทำงาน

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

บทคัดย่อวิทยานิพนธ์นี้ประกอบสองเอกสารในคณิตศาสตร์และสองเอกสารในการศึกษาคณิตศาสตร์ในส่วนคณิตศาสตร์ ทฤษฎี คือ ฝึก . สอง clebsch gordan ประเภทปัญหาได้รับการแก้ไข ปัญหาเดิมที่เกี่ยวข้องกับการย่อยสลายของเมตริกซ์ผลิตภัณฑ์ของสองจำกัดมิติ ลดสูงสุด ทางตัวแทนของ glc( n ) นี้ปัญหาเป็นที่รู้จักกันจะเทียบเท่ากับบทบาทของค่าของผลรวม2 hermitian เมทริกซ์ ในวิทยานิพนธ์นี้ โดยขณะนี้ และ coadjoint แผนที่วงโคจรที่ใช้หาค่าสมมูลระหว่างปัญหาเอียงสมมาตรเมทริกซ์และผลิตภัณฑ์เมตริกซ์การ ในกรณีของรายวิชา( 2 ) นอกจากนี้ บางลด , อนันต์มิติ น้ำหนักรวมสูงสุด เป็นตัวแทนของ glc( n + 1 )มุ่งมั่นในส่วนการศึกษาคณิตศาสตร์ และพัฒนาให้ภาษาเครื่องมือกราฟิกสำหรับแสดงการใช้ความสามารถในการปฏิบัติทางคณิตศาสตร์ ที่การพัฒนาชุดออกไปจากกรอบอื่น ที่กำหนดไว้ในแง่ของความสามารถการจัด การปรับปรุงจะทำเพื่อเพิ่มความเข้มแข็งในการมองโลกของกรอบ ,ความสัมพันธ์กับโครงสร้างการวิจัยในปัจจุบันและเพื่อให้วิเคราะห์การใช้ของความสามารถ การปรับเปลี่ยนเหล่านี้ส่งผลให้สองชุด ) ของแง่มุมที่สำคัญของคณิตศาสตร์ความสามารถ : ห้าสมรรถภาพและสองด้าน 5 ความสามารถสะท้อนองค์ประกอบต่างๆของการปฏิบัติทางคณิตศาสตร์ : เป็นตัวแทน , ขั้นตอน , การเชื่อมต่อเหตุผลและการสื่อสาร สองด้าน Evandro Davis สองโหมดที่แตกต่างกันของชุมชน :การผลิตและวิเคราะห์ การ operationalisation ของกรอบให้สูงขึ้นมีคู่มือการวิเคราะห์และแบบกราฟกรอบการใช้สองชุดของข้อมูลเชิงประจักษ์ ในการศึกษาแรกของเด็กการออกกำลังกายของความสามารถในการจัดการตัวเลขทั้งหมดเป็นคน ผลลัพธ์ที่แสดงเครื่องมือวิเคราะห์ที่สามารถอธิบายการปฏิบัติทางคณิตศาสตร์นี้จากหลายๆมุม :ในความสัมพันธ์กับแนวคิดที่เฉพาะเจาะจง ในกิจกรรมบางอย่างและวิธีการนำเสนอที่แตกต่างกันอาจตลบขั้นตอนและปฏิสัมพันธ์ การศึกษาที่สองอธิบายมหาวิทยาลัยนักเรียนออกกำลังกายพิสูจน์สมรรถนะในกิจกรรม ผลการศึกษาพบว่า ในขณะที่ การให้เหตุผลด้านการวิเคราะห์ความสัมพันธ์ใน พิสูจน์ ความสามารถ และมีประสิทธิภาพด้านบทบาทสำคัญเช่นกัน รวม สอง การศึกษาแสดงให้เห็นว่ากรอบมีความสามารถในการปฏิบัติทางคณิตศาสตร์ต่างๆ ในแง่ของกรอบนี้ นี้วิทยานิพนธ์คณิตศาสตร์แบบฝึกหัดทั้งด้านความสามารถด้านการผลิตแทนทฤษฎีและการวิเคราะห์ในด้านการพัฒนาของกรอบ