Buckingham Pi Theorem[edit]Another

Buckingham Pi Theorem[edit]
Another form of dimensional analysis that will result in the Grashof number is known as the Buckingham Pi theorem. This method takes into account the buoyancy force per unit volume, {displaystyle F_{b}} F_{b} due to the density difference in the boundary layer and the bulk fluid.

{displaystyle F_{b}=(
ho -
ho _{o})g} F_{b}=(
ho -
ho _{o})g
This equation can be manipulated to give,

{displaystyle F_{b}=eta g
ho _{o}Delta T.} F_b = eta g
ho_o Delta T.
The list of variables that are used in the Buckingham Pi method is listed below, along with their symbols and dimensions.

Variable Symbol Dimensions
Significant Length {displaystyle L} L {displaystyle mathrm {L} } mathrm{L}
Fluid Viscosity {displaystyle mu } mu {displaystyle mathrm {frac {M}{Lt}} } {mathrm {{frac {M}{Lt}}}}
Fluid Heat Capacity {displaystyle c_{p}} c_{p} {displaystyle mathrm {frac {Q}{MT}} } {mathrm {{frac {Q}{MT}}}}
Fluid Thermal Conductivity {displaystyle k} k {displaystyle mathrm {frac {Q}{LtT}} } {mathrm {{frac {Q}{LtT}}}}
Volume Expansion Coefficient {displaystyle eta } eta {displaystyle mathrm {frac {1}{T}} } {mathrm {{frac {1}{T}}}}
Gravitational Acceleration {displaystyle g} g {displaystyle mathrm {frac {L}{t^{2}}} } {mathrm {{frac {L}{t^{2}}}}}
Temperature Difference {displaystyle Delta T} Delta T {displaystyle mathrm {T} } mathrm {T}
Heat Transfer Coefficient {displaystyle h} h {displaystyle mathrm {frac {Q}{L^{2}tT}} } {mathrm {{frac {Q}{L^{2}tT}}}}
With reference to the Buckingham Pi Theorem there are 9 – 5 = 4 dimensionless groups. Choose L, {displaystyle mu ,} mu , k, g and {displaystyle eta } eta as the reference variables. Thus the {displaystyle pi } pi groups are as follows:

{displaystyle pi _{1}=L^{a}mu ^{b}k^{c}eta ^{d}g^{e}c_{p}} pi _{1}=L^{a}mu ^{b}k^{c}eta ^{d}g^{e}c_{p},
{displaystyle pi _{2}=L^{f}mu ^{g}k^{h}eta ^{i}g^{j}
ho } pi _{2}=L^{f}mu ^{g}k^{h}eta ^{i}g^{j}
ho ,
{displaystyle pi _{3}=L^{k}mu ^{l}k^{m}eta ^{n}g^{o}Delta T} pi _{3}=L^{k}mu ^{l}k^{m}eta ^{n}g^{o}Delta T,
{displaystyle pi _{4}=L^{q}mu ^{r}k^{s}eta ^{t}g^{u}h} pi _{4}=L^{q}mu ^{r}k^{s}eta ^{t}g^{u}h.
Solving these {displaystyle pi } pi groups gives:

{displaystyle pi _{1}={frac {mu (c_{p})}{k}}=Pr} pi _{1}={frac {mu (c_{p})}{k}}=Pr,
{displaystyle pi _{2}={frac {l^{3}g
ho ^{2}}{mu ^{2}}}} pi _{2}={frac {l^{3}g
ho ^{2}}{mu ^{2}}},
{displaystyle pi _{3}=eta Delta T} pi _{3}=eta Delta T,
{displaystyle pi _{4}={frac {hL}{k}}=Nu} pi _{4}={frac {hL}{k}}=Nu
From the two groups {displaystyle pi _{2}} pi _{2} and {displaystyle pi _{3},} pi _{3}, the product forms the Grashof number:

{displaystyle pi _{2}pi _{3}={frac {eta g
ho ^{2}Delta TL^{3}}{mu ^{2}}}=mathrm {Gr} .} pi_2 pi_3=frac{eta g
ho^2 Delta T L^3}{mu^2} = mathrm{Gr}.
Taking {displaystyle
u ={frac {mu }{
ho }}}
u ={frac {mu }{
ho }} and {displaystyle Delta T=(T_{s}-T_{o})} Delta T=(T_{s}-T_{o}) the preceding equation can be rendered as the same result from deriving the Grashof number from the energy equation.

{displaystyle mathrm {Gr} ={frac {eta gDelta TL^{3}}{
u ^{2}}}} {mathrm {Gr}}={frac {eta gDelta TL^{3}}{
u ^{2}}}
In forced convection the Reynolds number governs the fluid flow. But, in natural convection the Grashof number is the dimensionless parameter that governs the fluid flow. Using the energy equation and the buoyant force combined with dimensional analysis provides two different ways to derive the Grashof number.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ทฤษฎีบท Buckingham Pi [แก้]รูปแบบของการวิเคราะห์มิติที่จะทำให้หมายเลข Grashof เป็นทฤษฎีบท Buckingham Pi วิธีนี้ใช้เวลาในการลอยตัวบังคับต่อหน่วยปริมาตร, {displaystyle F_ {b } } F_ {b } เนื่องจากความหนาแน่นที่แตกต่างในชั้นขอบเขตและของเหลวจำนวนมาก{ displaystyle F_ {b } = (
ho-
ho _ {o }) g } F_ {b } = (
ho-
ho _ {o }) gสมการนี้สามารถจัดการให้{ displaystyle F_ {b } = eta g
ho _ {o } Delta T. } F_b =
ho_o Delta g eta ต.รายการของตัวแปรที่ใช้ในวิธี Buckingham Pi อยู่ด้านล่าง พร้อมกับสัญลักษณ์และมิติสัญลักษณ์ตัวแปรมิติความ {displaystyle L } mathrm{L L {displaystyle mathrm {L } } }ความหนืดของเหลว {displaystyle mu } mu {displaystyle mathrm {frac {M } {Lt } } } {{{frac {M } {Lt } } } mathrmของเหลวความร้อน {displaystyle c_ {p } } c_ {p } {displaystyle mathrm {frac {Q } {MT } } } {{{frac {Q } {MT } } } mathrmการนำความร้อนของเหลว {displaystyle k } k {displaystyle mathrm {frac {Q } {LtT } } } {{{frac {Q } {LtT } } } mathrmขยายไดรฟ์ข้อมูล eta สัมประสิทธิ์ {displaystyle eta } {displaystyle mathrm {frac { 1 } {T } } } {{{frac { 1 } {T } } } mathrmก.ถ่วง {displaystyle g } { displaystyle mathrm { frac {L } { t ^ { 2 } } } } { mathrm { { frac {L } { t ^ { 2 } } }อุณหภูมิแตกต่าง {displaystyle Delta T } Delta {displaystyle mathrm {T } } T mathrm {T } ความร้อนถ่ายโอนค่าสัมประสิทธิ์ {displaystyle h } h { displaystyle mathrm { frac {Q } { L ^ tT { 2 } } } } { mathrm { { frac {Q } { L ^ tT { 2 } } } }โดยอ้างอิงทฤษฎีบท Buckingham Pi มี 9 – 5 =กลุ่ม dimensionless 4 เลือก L, {displaystyle mu } mu, k, g และ {displaystyle eta } eta เป็นตัวแปรอ้างอิง ดังนั้น กลุ่ม pi {displaystyle pi } จะเป็นดังนี้:{ displaystyle pi _ { 1 } = L ^ mu {} ^ {b } k ^ eta {c } ^ {d } g ^ c_ {e } {p } } pi _ { 1 } = L ^ mu {} ^ {b } k ^ eta {c } ^ {d } g ^ c_ {e } {p },{ displaystyle pi _ { 2 } = L ^ mu {f } ^ {g } k ^ eta {h } ^ {i } g ^
ho {j } } pi _ { 2 } = L ^ mu {f } ^ {g } k ^ eta {h } ^ {i } g ^
ho {j }{ displaystyle pi _ { 3 } = L ^ mu {k } ^ {l } k ^ eta {m } ^ {n } g ^ {o } Delta T } pi _ { 3 } = L ^ mu {k } ^ {l } k ^ eta {m } ^ {n } g ^ {o } Delta T{ displaystyle pi _ { 4 } = L ^ mu {q } ^ {r } k ^ eta {s } ^ {t } g ^ h {u } } pi _ { 4 } = L ^ mu {q } ^ {r } k ^ eta {s } ^ {t } g ^ h {u }แก้ pi {displaystyle pi } เหล่านี้รวมช่วยให้:{ displaystyle pi _ { 1 } = { frac {mu (c_ {p }) } {k } } = Pr } pi _ { 1 } = { frac {mu (c_ {p }) } {k } } = Pr{ displaystyle pi _ { 2 } = { frac { l ^ { 3 } g
ho ^ { 2 } } { mu ^ { 2 } } } _ pi { 2 } = { frac { l ^ { 3 } g
ho ^ { 2 } } { mu ^ { 2 } } },{ displaystyle pi _ { 3 } = eta Delta T } _ pi { 3 } = eta Delta T{ displaystyle pi _ { 4 } = {frac {hL } {k } } = Nu } _ pi { 4 } = {frac {hL } {k } } = Nuจากกลุ่มสอง {displaystyle pi _ { 2 } } pi _ { 2 } และ {displaystyle pi _ { 3 } }, pi _ { 3 } ผลิตภัณฑ์รูปแบบหมายเลข Grashof:{_ pi _ { 2 } displaystyle pi { 3 } = { frac { eta g
ho ^ { 2 } Delta TL ^ { 3 } } { mu ^ { 2 } } } = mathrm {Gr } . } pi_2 pi_3=frac{eta g
ho^2 Delta T L ^ 3 } {mu^2 } = mathrm{Gr }การ { displaystyle
u = {frac {mu } {
ho } } }
u = {frac {mu } {
ho } } และ {displaystyle Delta T=(T_{s}-T_{o}) } Delta T=(T_{s}-T_{o}) สามารถแสดงสมการข้างต้นเป็นผลจากเกิดหมายเลข Grashof จากสมการพลังงานเดียวกัน{ displaystyle mathrm {Gr } = { frac { eta gDelta TL ^ { 3 } } {
u ^ { 2 } } } {mathrm {Gr } } = { frac { eta gDelta TL ^ { 3 } } {
u ^ { 2 } } }ในบังคับพาเรย์โนลด์สหมายเลขควบคุมการไหล แต่ ในการพาความร้อนตามธรรมชาติ จำนวน Grashof dimensionless พารามิเตอร์ที่ควบคุมการไหลของของไหล ใช้สมการพลังงานและแรงลอยตัวรวมกับการวิเคราะห์มิติมีสองวิธีการสืบทอดหมายเลข Grashof

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

บักกิ้งแฮม Pi ทฤษฎีบท [แก้ไข]
อีกรูปแบบหนึ่งของการวิเคราะห์มิติที่จะทำให้จำนวน Grashof เป็นที่รู้จักกันทฤษฎีบทบักกิ้งแฮม Pi วิธีการนี้จะนำเข้าบัญชีแรงลอยตัวต่อหน่วยปริมาตร { displaystyle F_ {ข}} F_ {ข} เนื่องจากความแตกต่างของความหนาแน่นในชั้นขอบเขตและของเหลวจำนวนมาก.

{ displaystyle F_ {ข} = ( Rho - Rho _ {o}) g} F_ {ข} = ( Rho - Rho _ {o}) G
สมการนี้สามารถจัดการที่จะให้

{ displaystyle F_ {ข} = beta G Rho _ {o } Delta T. } F_b = beta G rho_o Delta T.
รายชื่อของตัวแปรที่ใช้ในวิธีบักกิ้งแฮม Pi แสดงอยู่ด้านล่างพร้อมกับสัญลักษณ์และขนาดของพวกเขา.

Symbol Variable ขนาด
ความยาวที่สําคัญ { displaystyle L} L { displaystyle mathrm {L}} mathrm {L}
ความหนืดของของเหลว { displaystyle MU} MU { displaystyle mathrm { frac {m} {Lt}}} { mathrm {{ frac {m } {Lt}}}}
ความจุความร้อนของไหล { displaystyle c_ {p}} c_ {p} { displaystyle mathrm { frac {Q} {มอนแทนา}}} { mathrm {{ frac {Q} {มอนแทนา }}}}
ของไหลการนำความร้อน { displaystyle K} K { displaystyle mathrm { frac {Q} {LTT}}} { mathrm {{ frac {Q} {LTT}}}}
การขยายปริมาตรค่าสัมประสิทธิ์ { displaystyle beta} beta { displaystyle mathrm { frac {1} {T}}} { mathrm {{ frac {1} {T}}}}
เร่งแรงโน้มถ่วง { displaystyle g} G { displaystyle mathrm { frac {L} {T ^ {2}}}} { mathrm {{ frac {L} {T ^ {2}}}}}
ความแตกต่างของอุณหภูมิใน { displaystyle Delta T} Delta T { displaystyle mathrm {T}} mathrm {T}
การถ่ายเทความร้อนค่าสัมประสิทธิ์ { displaystyle H} H { displaystyle mathrm { frac {Q} {L ^ {2} tT}}} { mathrm {{ frac { Q} {L ^ {2} tT}}}}
ด้วยการอ้างอิงถึงบักกิ้งแฮม Pi ทฤษฎีบทมี 9-5 = 4 กลุ่มมิติ เลือก L { displaystyle หมู่,} หมู่, K, G และ { displaystyle beta} เบต้าเป็นตัวแปรอ้างอิง ดังนั้น { displaystyle Pi} กลุ่ม Pi มีดังนี้

{ displaystyle Pi _ {1} = L ^ {A} MU ^ {ข} k ^ {C} beta ^ {d} G ^ { E} c_ {p}} Pi _ {1} = L ^ {A} MU ^ {ข} k ^ {C} beta ^ {d} G ^ {E} c_ {p},
{ displaystyle Pi _ {2} = L ^ {F} MU ^ {g} k ^ {H} beta ^ {i} G ^ {J} Rho} Pi _ {2} = L ^ {F} MU ^ {g} k ^ {H} beta ^ {i} G ^ {J} โร
{ displaystyle Pi _ {3} = L ^ {k} MU ^ {L} k ^ {m} เบต้า ^ {n} G ^ {o} Delta T} Pi _ {3} = L ^ {k} MU ^ {L} k ^ {m} beta ^ {n} G ^ {o} Delta T,
{ displaystyle Pi _ {4} = L ^ {Q} MU ^ {r} k ^ {s} beta ^ {t} G ^ {u} H} Pi _ {4} = L ^ {Q} MU ^ {r} k ^ {s} beta ^ {t} G ^ {u} h.
แก้เหล่านี้ { displaystyle Pi} กลุ่ม Pi ให้:

{ displaystyle Pi _ {1} = { frac { หมู่ (c_ {p})} {K}} = Pr} Pi _ {1} = { frac { หมู่ (c_ {p})} {K}} = Pr,
{ displaystyle Pi _ {2} = { frac {L ^ {3} G Rho ^ {2}} { MU ^ {2}}}} Pi _ {2} = { frac {L ^ {3} G Rho ^ {2}} { MU ^ {2}}},
{ displaystyle Pi _ {3} = beta Delta T} Pi _ {3} = beta Delta T,
{ displaystyle Pi _ {4} = { frac {HL} {K}} = u} Pi _ {4} = { frac {HL} {K}} = Nu
จากทั้งสองกลุ่ม { displaystyle Pi _ { 2}} Pi _ {2} และ { displaystyle Pi _ {3}} Pi _ {3} ผลิตภัณฑ์รูปแบบจำนวน Grashof:

{ displaystyle Pi _ {2} Pi _ {3} = { frac { beta G Rho ^ {2} Delta TL ^ {3}} { MU ^ {2}}} = mathrm {Gr.}} pi_2 pi_3 = frac { beta กรัม Rho ^ 2 Delta TL ^ 3} { MU ^ 2} = mathrm {Gr}.
การ { displaystyle nu = { frac { MU} { Rho}}} nu = { frac { MU} { Rho}} และ { displaystyle Delta T = (T_ {s} -T_ {o})} Delta T = (T_ {s} -T_ {o}) สมการก่อนหน้านี้สามารถแสดงผลเป็น ผลเดียวกันจาก deriving จำนวน Grashof จากสมพลังงาน.

{ displaystyle mathrm {Gr} = { frac { beta G Delta TL ^ {3}} { nu ^ {2}}}} { mathrm {Gr}} = { frac { beta G Delta TL ^ {3}} { nu ^ {2}}}
ในการหมุนเวียนบังคับจำนวน Reynolds ควบคุมการไหลของของไหล แต่ในการพาความร้อนธรรมชาติจำนวน Grashof เป็นพารามิเตอร์มิติที่ควบคุมการไหลของของเหลว โดยใช้สมการพลังงานและแรงลอยตัวรวมกับการวิเคราะห์มิติมีสองวิธีที่แตกต่างกันที่จะได้รับจำนวน Grashof

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

บักกิ้งแฮมทฤษฎีบทพี [ แก้ไข ]อีกรูปแบบหนึ่งของการวิเคราะห์มิติ ซึ่งจะส่งผลในกราสโฮฟหมายเลขเรียกว่า บัคกิ้งแฮม และทฤษฎีบท วิธีนี้จะเข้าสู่บัญชีพยุงแรงต่อปริมาณหน่วย { displaystyle f_ { B } } f_ { B } เนื่องจากความหนาแน่นแตกต่างกันในชั้นขอบเขตและกลุ่มของเหลว{ displaystyle f_ { B } = (โฮ -โฮ _ { O } ) g } { b } f_ = (โฮ -โฮ _ { O } ) gสมการนี้สามารถจัดการเพื่อให้{ b } { displaystyle f_ = และกรัมโฮ _ { O } } = อีตาจี f_b เดลต้าทีho_o เดลต้าทีรายการของตัวแปรที่ใช้ในบักกิงแฮม พี เป็นวิธีที่แสดงไว้ด้านล่าง พร้อมสัญลักษณ์และมิติมิติสัญลักษณ์ตัวแปรที่มีความยาว displaystyle L } l { { displaystyle mathrm { L } } mathrm { L }ของไหลความหนืด displaystyle หมู่ } { { { frac มู displaystyle mathrm { M } { n } } } { { { frac mathrm { M } { n } } } }ความจุความร้อนของของไหล displaystyle c_ { { p } } c_ { p } { displaystyle mathrm { frac { Q } { 10 } } } { { { frac mathrm { Q } { 10 } } } }ของไหลความร้อนการนำความร้อน k { K } { displaystyle displaystyle mathrm { frac { Q } { ลิท } } } { { { frac mathrm { Q } } } } } { ลิทปริมาณการขยายตัวเท่ากับ { displaystyle อีตา } และ { displaystyle mathrm { frac { 1 } { T } } } { { { frac mathrm { 1 } { T } } } }แรงโน้มถ่วงเร่งความเร็ว { displaystyle G } g { displaystyle mathrm { frac { L } { T ^ { 2 } } } } { { { frac mathrm { L } { T ^ { 2 }}}}}ความแตกต่างของอุณหภูมิ displaystyle Delta Delta T T { } T } } { { displaystyle mathrm mathrm { T }สัมประสิทธิ์การถ่ายเทความร้อน { displaystyle H } H { displaystyle mathrm { frac { Q } { L ^ { 2 } / } } } { { { frac mathrm { Q } { L ^ { 2 } / } } } }มีการอ้างอิงถึงบักกิ้งแฮมทฤษฎีบทพีมี 9 – 5 = 4 ไร้กลุ่ม เลือก L , { displaystyle มูมู่ , } , K , G { และ } และ displaystyle เป็นอ้างอิงตัวแปร ดังนั้น displaystyle pi } { พี่กลุ่ม ดังนี้{ displaystyle ปี่ _ { 1 } = l ^ { } ^ { B } มู K ^ { C } และ { D } ^ g ^ { E } { p } } c_ ปี่ _ { 1 } = l ^ { } ^ { B } มู K ^ { C } ^ { D } และ g ^ { E } c_ { P } ,{ displaystyle ปี่ _ { 2 } = l ^ { F } ^ { G } มู K ^ { H } และ { ผม } g ^ ^ { J }โฮ } { 2 } = PI _ L ^ { F } ^ { G } มู K ^ { H } และ { ผม } g ^ ^ { J }โฮ_ { 3 } { displaystyle Pi = l ^ { K } ^ { L } มู K ^ { M } และ { n } g ^ ^ { O } เดลต้า t } { 3 } _ Pi = l ^ { K } ^ { L } มู K ^ { M } { n } g ^ ^ และ { O } เดลต้าที_ { 4 } { displaystyle Pi = l ^ { Q } { R } มู ^ K ^ { S } และ { T } ^ G ^ { U } H } { 4 } _ Pi = L ^ { Q } { R } K มู ^ ^ { S } และ { T } { G ^ ^ u } hการแก้ไขเหล่านี้ { displaystyle pi } Pi กลุ่มให้ :{ displaystyle ปี่ _ { 1 } = { { frac มู ( c_ { P } ) } { K } } } = PR และ _ { 1 } = { frac { หมู่ ( c_ { P } ) } { K } } = ประชาสัมพันธ์{ displaystyle ปี่ _ { 2 } = { { L ^ { 3 } frac กรัมโฮ ^ { 2 } } ^ { 2 } { หมู่ } } } { 2 } = { ด _ frac { L ^ { 3 } กรัมโฮ ^ { 2 } } { { 2 } } } มู ^ ,_ { 3 } { displaystyle Pi = อีตาเดลต้า t } { 3 } _ Pi = อีตาเดลต้าที{ 4 } { displaystyle ปี่ _ frac = { { ขาย } { K } } = Nu } { 4 } _ Pi = { frac { ขาย } { K } } = นู๋จากสองกลุ่ม displaystyle ปี่ _ { { 2 } } { 2 } { _ PI และ displaystyle ปี่ _ { 3 } } { 3 } _ Pi , ผลิตภัณฑ์รูปแบบกราสโฮฟจำนวน{ displaystyle ปี่ _ { 2 } { 3 } _ Pi = { frac { และกรัมโฮ ^ { 2 } { 3 } } เดลต้า TL ^ { มู ^ { 2 } } } = mathrm { GR } . } pi_2 pi_3 = frac { และกรัมโฮ ^ 2 เดลต้า t l ^ 3 } { 2 } = mathrm มู ^ { GR }เอา { displaystyleU = { { } { frac มูโฮ } } }U = { { } { frac มูโฮ } } และ { displaystyle เดลต้า t = ( t_ { S } - t_ { O } ) } เดลต้า t = ( t_ { S } - t_ { O } ) สมการข้างต้นสามารถแสดงผลเดียวกันจากอนุพันธ์กราสโฮฟหมายเลขจากสมการพลังงาน{ displaystyle mathrm { GR } = { frac { และ gdelta TL ^ { 3 } } {U ^ { 2 } } } } { { mathrm GR } } = { frac { และ gdelta TL ^ { 3 } } {U ^ { 2 } } }ในการพาความร้อนแบบบังคับเลขเรย์โนลด์ควบคุมการไหลของของไหล แต่ ในการพาแบบธรรมชาติที่กราสโฮฟหมายเลขคือไร้พารามิเตอร์ที่ควบคุมการไหลของของไหล การใช้สมการพลังงานและแรงลอยตัวรวมกับการวิเคราะห์มิติ มีสองวิธีที่แตกต่างกันเพื่อให้ได้กราสโฮฟ จํานวน