where the second equality is not di

where the second equality is not difficult to prove. We also define two vectors σ(1) ∈ Fm,τ(1) ∈ Fp by
σ(1) =2β ·2P(1), τ(1) =2β ·2Q(1), ij
ij where two vectors P(1) and Q(1) are defined by
powers of 2 such that
max |aij| ≤ f, max |bij| ≤ g. 1≤ j≤n 1≤i≤n
We need not to assume in (12) that all row vectors in A and column vectors in B are not zero vectors if we use the function NextPowerTwo in [11].
We split A and B as follows:
A(1) =fl A+σ(1)·eT −σ(1)·eT , A(2) =fl A−A(1)
(1) (1) T (1) T (2) (1)
B =fl B+e·(τ ) −e·(τ ) , B =fl B−B , (13)
where e = (1,1,...,1)T. Then, as in Algorithm 1, A=A(1)+A(2), B=B(1)+B(2).
Next, we define σ (2) and τ (2) from A(2) and B(2) by
σ(2) =2β ·2P(2), τ(2) =2β ·2Q(2),
P(1) = ⌈log max |a |⌉, Q(1) = ⌈log max |b |⌉. (12)
j 2 1≤i≤n ij ij
i 2 1≤j≤n ij
Remark 3 Purpose of computing 2P(1) and 2Q(1) is to find f, g ∈ Fn which are
i 2 1≤j≤n Using these vectors, we compute
ij ij
where P(2) and Q(2) are defined by
P(2) = ⌈log max |a(2) |⌉, Q(2) = ⌈log max |b (2) |⌉.
ij j 2 1≤i≤n ij
A(2) =fl A(2)+σ(2)·eT −σ(2)·eT , A(3) =fl A(2)−A(2) ,
(2) (2) (2) T (2) T (3) (2) (2) B =fl B +e·(τ ) −e·(τ ) , B =fl B −B .
The above computations are also the extended variants of Algorithm 1, so that we have
A(2) = A(2) + A(3) , A = A(1) + A(2) + A(3), B(2) =B(2)+B(3) , B=B(1)+B(2)+B(3).
Generally, let σ(w), τ(w) be
ij
σ(w) =2β ·2P(w), τ(w) =2β ·2Q(w), (14)
ij

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ที่ภาคสองไม่ยากแก่การพิสูจน์ นอกจากนี้เรายังกำหนดสองเวกเตอร์ σ(1) ∈ Fm,τ(1) ∈ Fp โดยΣ(1) = 2β ·2P(1), τ(1) = 2β ·2Q(1), ijij ที่กำหนดโดยเวกเตอร์ทั้งสอง P(1) และ Q(1)ของ 2 สิ่งที่สูงสุด | aij กรุนด์ฟอส ≤ f สูงสุด | bij กรุนด์ฟอส ≤ g. 1≤ j≤n 1≤i≤nเราไม่จำเป็นต้องสมมติใน (12) ว่า ทุกเวกเตอร์แถวในคอลัมน์เวกเตอร์ใน B ไม่และเวกเตอร์เป็นศูนย์ถ้าเราใช้ฟังก์ชัน NextPowerTwo ใน [11]เราแยก A และ B เป็นดังนี้:A(1) = fl + σ (1) ·eT −σ (1) ·eT, A(2) = fl A−A(1) (1) (T T (1) 1) (2) (1) B = fl B + e· (Τ) −e· (Τ), B = fl B−B, (13)ซึ่ง e = (1.1,... 1) ต. จากนั้น ในอัลกอริทึม 1, A=A(1)+A(2), B=B(1)+B(2)ถัดไป เรากำหนดσ (2) และ (2) τจาก A(2) และ B(2) โดยΣ(2) = 2Β ·2P(2), Τ(2) = 2Β ·2Q(2)P(1) = ⌈log สูงสุด | การ | ⌉ Q(1) = ⌈log สูงสุด | b | ⌉. (12)ij ij 1≤i≤n j 2ij 1≤j≤n i 2หมายเหตุ 3 วัตถุประสงค์ในการคำนวณ 2P(1) และ 2Q(1) จะหา f, g ∈ Fn ซึ่งเป็น 1≤j≤n i 2 ใช้เวกเตอร์เหล่านี้ เรามีคำนวณij ijซึ่งกำหนด P(2) และ Q(2) โดยP(2) = ⌈log สูงสุด |a(2) | ⌉ Q(2) = ⌈log สูงสุด | b (2) | ⌉ij ij j 2 1≤i≤nA(2) = fl A (2) + σ (2) ·eT −σ (2) ·eT, A(3) = fl A(2)−A(2) (2) (2) (2) T (2) T (3) (2) (2) B = fl B + e· (Τ) −e· (Τ), B = −B fl Bประมวลผลข้างต้นยังมีสายพันธุ์ขยายของอัลกอริทึม 1 เพื่อให้เรามีA(2) = A(2) + A(3), A = A(1) + A(2) + A(3), B(2) =B(2)+B(3), B=B(1)+B(2)+B(3)โดยทั่วไป ให้ σ(w), τ(w) ได้ijΣ(w) = 2β ·2P(w), τ(w) = 2β ·2Q(w), (14) ij

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ที่เท่าเทียมกันสองไม่ยากที่จะพิสูจน์ นอกจากนี้เรายังกำหนดสองเวกเตอร์σ (1) ∈ FM, τ (1) ∈ Fp โดย
σ (1) = 2β· 2P (1), τ (1) = 2β· 2Q (1), IJ
IJ ที่สองเวกเตอร์ P ( 1) และคิว (1) จะถูกกำหนดโดย
อำนาจของ 2 ดังกล่าวว่า
แม็กซ์ | AIJ | ≤ F, สูงสุด | bij | ≤กรัม 1≤j≤n1≤i≤n
เราไม่จำเป็นต้องที่จะคิดใน (12) ว่าทุกแถวในเวกเตอร์และเวกเตอร์คอลัมน์ B ไม่ได้เป็นศูนย์เวกเตอร์ถ้าเราใช้ฟังก์ชั่น NextPowerTwo ใน [11].
เราแยก A และ B ดังต่อไปนี้:
A (1) = FL A + σ (1) · e- -σ (1) ·เอตก (2) = ฟลอริด้า-A (1)
(1) (1) T (1) T (2 ) (1)
B = ชั้น B + E · (τ) -e · (τ), B = ชั้น B-B (13)
ที่ E = (1,1, ... , 1) T จากนั้นเป็นขั้นตอนวิธีที่ 1, A = A (1) + A (2), B = B (1) + B (2).
ต่อไปเรากำหนดσ (2) และτ (2) จาก A (2) และ B (2) โดย
σ (2) = 2β· 2P (2), τ (2) = 2β· 2Q (2),
P (1) = ⌈logสูงสุด | | ⌉, Q (1) = ⌈logสูงสุด | b | ⌉ (12)
J 2 1≤i≤n IJ IJ
I 2 1≤j≤n IJ
หมายเหตุ 3 ในการคำนวณ 2P (1) และไตรมาสที่ 2 (1) คือการหา F, G ∈ Fn ซึ่งเป็น
I 2 1≤j≤ n ใช้เวกเตอร์เหล่านี้เราคำนวณ
IJ IJ
ที่ P (2) และ Q (2) จะถูกกำหนดโดย
P (2) = ⌈logสูงสุด | A (2) | ⌉, Q (2) = ⌈logสูงสุด | B (2 ). | ⌉
IJ J 2 1≤i≤n IJ
ก (2) = ฟลอริด้า (2) + σ (2) · e- -σ (2) ·เอต A (3) = ฟลอริด้า (2) -A (2)
(2) (2) (2) T (2) T (3) (2) (2) B = ชั้น B + E · (τ) -e · (τ), B = B ชั้น -B .
การคำนวณข้างต้นนอกจากนี้ยังมีสายพันธุ์ขยายของอัลกอริทึมที่ 1 เพื่อให้เรามี
ก (2) = a (2) + A (3), A = a (1) + A (2) + A (3), B (2) = B (2) + B (3), B = B (1) + B (2) + B (3).
โดยทั่วไปให้σ (w) τ (w) พ.ศ.
IJ
σ (w) = 2β· 2P (w) τ (w) = 2β· 2Q (W), (14)
IJ