If E is infinite, then by the Bolza

If E is infinite, then by the Bolzano-Weierstrass principle it has a limit point x. Since x is a limit point of E, one can choose n1 ∈ N such that |x_(n_1 )-x| < 1. If nk ∈ N have been chosen so that |x_(n_1 )-x| < 1/k , then, because x is a limit point of E, there exists n_(k+1) ∈N such that nk < n_(k+1) and|x_(n_(k+1) ) -x| < 1/(k+1)
Since lim┬(k→∞)⁡〖1/k 〗 = o , the sequence x_(n_1 ) ,x_(n_2 ) ,…,x_(n_k ),.... so constructed conVerges to x. ⎕

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ถ้า E เป็นอนันต์ แล้ว โดยใช้หลักการ Bolzano Weierstrass ก็มีจุดจำกัด x ตั้งแต่ x จุด E จำกัด สามารถเลือก n1 ∈ N ที่กรุนด์ฟอส x_ (n_1) -x | < 1 ถ้าได้รับเลือก nk ∈ N เพื่อให้ | x_ (n_1) -x | < 1/k แล้ว เพราะ x เป็นจุดเป็นขีดจำกัดของ E มีอยู่เช่น ∈N n_(k+1) nk ที่ < n_(k+1) and|x_(n_(k+1)) - x | < 1/(k+1) ตั้งแต่ lim┬(k→∞) 〗 〖1/k = o, x_ ลำดับ (n_1), x_ แร็ค (n_2),..., x_ (n_k),...สร้างขึ้นเพื่อให้ การ x. ⎕

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ถ้า E เป็นที่สิ้นสุดแล้วโดยหลักการโบลซาโน-Weierstrass มันมีจุดขีด จำกัด X ตั้งแต่ x เป็นจุดขีด จำกัด ของ E หนึ่งสามารถเลือก N1 ∈ N เช่นที่ | x_ (n_1) -x | < 1. ถ้า NK ∈ N ได้รับการคัดเลือกเพื่อให้ | x_ (n_1) -x | <1 / K แล้วเพราะ X เป็นจุดขีด จำกัด ของ E มีอยู่ n_ (k + 1) ∈Nดังกล่าวว่า NK <n_ (k + 1) และ | x_ (n_ (k + 1)) -x | <1 / (k + 1)
ตั้งแต่lim┬ (k →∞) ⁡〖 1 / K 〗 = O, ลำดับ x_ (n_1) x_ (n_2), ... , x_ (n_k) .... สร้างเพื่อให้ ลู่ไป x ⎕

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ถ้า E เป็นอนันต์แล้ว โดยหลักการ โบลซาโน ไวแยร์สตราสส์มันมีขีดจำกัด เนื่องจากจุด X X คือขีดจำกัดจุดและหนึ่งสามารถเลือก∈ N1 N เช่นที่ | x_ ( n_1 ) - x | < 1 ถ้าคิดว่า∈ N ได้รับเลือกให้ | x_ ( n_1 ) - x | < 1 / K แล้ว เพราะ X คือขีดจำกัดจุด E มีอยู่ n_ ( k + 1 ) ∈ n เช่น NK < n_ ( k + 1 ) และ | x_ ( n_ ( k + 1 ) - X | < 1 / ( K + 1 )ตั้งแต่ ลิม┬ ( K →∞ ) ⁡〖 1 / K 〗 = O , ลำดับ x_ ( n_1 ) x_ ( n_2 ) , . . . , x_ ( n_k ) . . . . . . . เพื่อสร้าง⎕เข้าสู่ X