The Square Roots of 2 x 2 MatricesD

The Square Roots of 2 x 2 Matrices
DONALD SULLIVAN
University of New Brunswick
Fredericton, N.B., Canada
Introduction In a recent article MacKinnon [I] describes four methods that may be
used to find square roots of 2 x 2 matrices. The first of these methods requires that
the matrix for which the square roots are sought be diagonalizable and, subsequently,
this method was used by Scott 121 to determine all the square roots of 2 X 2 matrices.
A surprising conclusion is that scalar 2 x 2 matrices possess double-infinities of
square roots whereas nonscalar 2 x 2 matrices have only a finite number of square
roots.
The purpose of this article is to show how the Cayley-Hamilton theorem may be
used to determine explicit fonnulae for all the square roots of 2 X 2 matrices. These
formulae indicate exactly when a 2 x 2 matrix has square roots, and the ilumber of
such roots.
By definition, the square roots of a 2 X 2 matrix, A, are those 2 X 2 matrices, X, for
which
X" A. (1)
However, for each square matrix X, the Cayley-Hamilton theorem states that
X" (tr X)X + (det X)I = 0. (2)
Thus, if a 2 x 2 matrix A has a square root X, then we may use (2) to eliminate x2
from (1) to obtain
(tr X)X =A + (det X)I.
Further, since (det X)' = det x2= det A, then det X =E,JZGT,that is det fi=
E,J=, so that the above result simplifies to the identity:
(tr X)X =A + E,JZXTI, E, = +1. (3)
Case 1:A is a scalar m,atrix. If A is a scalar matrix, A =aI, then (3) gives
Hence, either (tr X)X = 0 or (tr X)X = 2aI. The first of these possibilities determines
the general solution of (1) as
and it covers the second possibility if a = 0. On the other hand, if a # 0 then the
second possibility, (tr X)X =2a1, implies X is scalar and has only the pair of
solutions
For this case we conclude that if A is a zero matrix then it has a double infinity of
square roots as given by (4a) with a = 0, whereas if A is a nonzero, scalar matrix then
VOL. 66, NO. 5, DECEMBER 1993 31 5
it has a double-infinity of square roots plus two scalar square roots as given by (4a)
and (4b).
Case 2: A is not a scalar matrix. If A is not a scalar matrix then tr X # O in (3).
Consequently, every square root X has the form:
Substituting this expression for X into (1)and using the Cayley-Hamilton theorem for
A we find
A" (2&,J> - T"A + (det A)I = O
((trA)A - (det A)I) + (2e,J> - T"A + (det A)I = 0
Since A is not a scalar matrix then A is not a zero matrix, so
If (tr A)' # 4 det A then both values of el may be used in (5) without reducing T to
zero. Consequently, it follows from (3) that we may write X, the square root of A, as
Here each ei = 1,and if det A # 0 the result determines exactly four square roots
for A. However, if det A = 0 then result (6a) detennines two square roots for A as
given by
Alternatively, if (tr A)' = 4det A # 0, then one value of E, in (5) reduces T to zero
whereas the other value ~ i e l d sth e result

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

รากของเมทริกซ์ 2 x 2โดนัลด์ซัลลิแวนมหาวิทยาลัยรัฐนิวบรันสวิกเฟรเดริคตัน N.B. แคนาดาแนะนำในบท MacKinnon [I] อธิบายวิธีการสี่ที่อาจการหารากของเมทริกซ์ 2 x 2 ครั้งแรกของวิธีการเหล่านี้จำเป็นต้องเมตริกซ์จะขอรากจะ diagonalizable และ ต่อ มาวิธีนี้ถูกใช้ โดยสก็อต 121 กำหนดทุกรากของเมทริกซ์ 2 X 2บทสรุปที่น่าแปลกใจคือ ว่า เมทริกซ์ 2 x 2 สเกลามีสองสระของสแควร์รากในขณะที่ nonscalar 2 x 2 เมทริกซ์มีเพียงจำนวนจำกัดสแควร์รากวัตถุประสงค์ของบทความนี้จะแสดงวิธีทฤษฎีบท Cayley แฮมิลตันอาจใช้ในการกำหนด fonnulae ชัดเจนสำหรับทุกรากของเมทริกซ์ 2 X 2 เหล่านี้สูตรระบุว่า เมื่อเมตริกซ์ 2 x 2 มีราก และ ilumber ของรากดังกล่าวจากคำนิยาม รากของเมทริกซ์ 2 X 2, A เป็นเมทริกซ์ที่ 2 X 2, X สำหรับซึ่งX "อ. (1)อย่างไรก็ตาม ในเมทริกซ์แต่ละสแควร์ X ทฤษฎีบทฮามิลตัน Cayley ระบุว่า"X (tr X) X + (เดช X) ฉัน = 0 (2)ดังนั้น ถ้าเมตริกซ์ 2 x 2 A มีราก X เราอาจใช้ (2) เพื่อกำจัด x 2จาก (1) จะได้รับ(tr X) X = A + (เดช X) ฉันเพิ่มเติม ตั้งแต่ (เดช X)' =เดช x 2 =เดช A แล้วเดช X = E, JZGT ที่ไร้สายเดช =E, J =, เพื่อให้ผลลัพธ์ข้างต้นช่วยให้ง่ายการรหัสประจำตัว:(tr X) X = A + E, JZXTI อี, = + 1 (3)กรณี 1:A m สเกลา atrix ได้ ถ้า A เป็นเมทริกซ์สเกลา A = aI แล้วให้ (3)ดังนั้น อย่างใดอย่างหนึ่ง (tr X) X = 0 หรือ (tr X) X = 2aI ครั้งแรกของเหล่านี้ไปกำหนดการแก้ปัญหาทั่วไปของ (1) เป็นและครอบคลุมความเป็นไปได้ที่สองถ้าเป็น = 0 ในทางกลับกัน ถ้า#0 นั้นที่สองเป็นไปได้, (tr X) X = 2a1 หมายถึง X เป็นสเกลา และมีเพียงคู่ของโซลูชั่นสำหรับกรณีนี้ เราสรุปว่า ถ้า A เป็นเมทริกซ์ศูนย์ แล้วมีไร้คู่ของตารางรากที่กำหนดโดย (4a) มีคำ = 0 ในขณะที่ถ้า A เป็นเมทริกซ์ nonzero สเกลาแล้วปี 66 หมายเลข 5, 1993 ธันวาคม 31 5มีห้องอินฟินิตี้ของรากสองรากสเกลาที่กำหนดโดย (4a)และ (4b)กรณีที่ 2: A ไม่ได้เมทริกซ์สเกลา ถ้า A เป็นเมตริกซ์สเกลาแล้ว tr X # O ใน (3)ดังนั้น ทุกรากที่ X มีแบบฟอร์ม:แทนที่นิพจน์นี้สำหรับ X ใน (1) และการใช้ทฤษฎีบทฮามิลตัน Cayley สำหรับเราค้นหาA" (2 &, J >-T " A + (A เดช) ฉัน = O((ตรา) A - (เดช A) ฉัน) + (2e, J >-T " A + (A เดช) ฉัน = 0เนื่องจาก A ไม่ใช่เมตริกซ์สเกลา แล้วคือ ไม่ศูนย์เมทริกซ์ ดังนั้นถ้า (tr A)' #4 เดช A แล้วค่าทั้งสองของเอลอาจใช้ใน (5) โดยไม่ลด T เพื่อศูนย์ ดังนั้น เป็นไปตาม (3) ที่เราจะเขียน X ค่ารากที่สองของ A เป็นนี่ละ ei = 1 และเดช A #0 ผลกำหนดรากตรงสี่สำหรับอ. อย่างไรก็ตาม ถ้าเดช A = 0 แล้วผลลัพธ์ (6a) detennines 2 สแควร์รากสำหรับการเป็นกำหนดโดยหรือ ถ้า (tr A)' = 4det A #0 แล้วค่า E หนึ่งใน (5) ลด T เป็นศูนย์ในขณะที่ค่าอื่น ๆ ~ ฉัน e l ผลอี d sth < 2e1J = = tr A และ " T 2 tr อ. ในที่นี้กรณี รากสองที่กำหนดให้โดยมีในที่สุด ถ้า (tr A)' =เดช 4 A = 0 แล้วค่าทั้งสองของเอลลด T เป็นศูนย์ (5)ดังนั้น เป็นไปตาม โดยความขัดแย้งที่มีรากไม่สำหรับกรณีนี้ เราสรุปว่า เมทริกซ์ nonscalar, A มีรากถ้า เท่านั้นถ้า อย่างน้อย 1 หมายเลข tr A และ A เดช เป็น nonzero แล้ว เมตริกซ์มีสี่รากรับ โดย (Ga)(ตรา)' 4det # A, A #0 เดชและรากสองที่กำหนด (Gb) หรือ (Gc) ถ้าก็เร็ว ๆ นี้จาก (6a) ที่นิตยสารคณิตศาสตร์ 316จึง ใช้ตัวตน ไร้สายเดช = e, d m ที่ใช้ใน (3), ผลลัพธ์ (6a) อาจจิตเป็น1 =- (A + เดชเป็น ~),ไร้สาย trซึ่งจะเท่ากับ theorern ฮามิลตัน Cayley สำหรับ a.This เมตริกซ์เดียวกันหักได้ แน่นอน สำหรับกรณีอื่น ๆ ทั้งหมดภายใต้ 6exists ซึ่งการอ้างอิง1. นิค MacKinnon สี่เส้นทางบินสู่รากเมตริกซ์ Mcrtlt อาหารอร่อย 73 (19891, 135-1362. Nigel H. สก็อต บนเมทริกซ์ rooting สแควร์ คณิตศาสตร์ Gaz. 74 (1990), 111-1143. Howard W. Eves, E1etnentclr.y เมตริกซ์ Tlteor ! l สิ่งพิมพ์โดเวอร์ Mineola, NY, 19804. Roger A. ฮอร์นและชาร์ลส์ R. Johnson หัวข้อใน Mntrix Annhysis, Can~b.U niversity กด NY, 1990

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

รากที่สองของ 2 x 2 เมทริกซ์
DONALD SULLIVAN
มหาวิทยาลัยบรุนซ์เฟรดริกตัน, NB, แคนาดาบทนำในบทความล่าสุดMacKinnon [I] อธิบายสี่วิธีที่อาจจะใช้ในการหารากที่สองของ2 x 2 เมทริกซ์ ครั้งแรกของวิธีการเหล่านี้ต้องว่าเมทริกซ์ซึ่งรากที่สองจะขอเป็น diagonalizable และต่อมาวิธีการนี้ถูกใช้โดยสกอตต์121 เพื่อตรวจสอบทุกรากที่สองของ 2 X 2 การฝึกอบรม. สรุปน่าแปลกใจคือสเกลาที่ 2 x 2 การฝึกอบรมมีอนันต์คู่ของรากที่สองในขณะที่nonscalar 2 x 2 เมทริกซ์มีเพียงจำนวน จำกัด ของตารางราก. วัตถุประสงค์ของบทความนี้คือการแสดงให้เห็นว่าทฤษฎีบทเคย์ลีแฮมิลตันอาจจะใช้ในการกำหนด fonnulae อย่างชัดเจนสำหรับทุกตารางรากของ 2 X 2 เมทริกซ์ เหล่านี้สูตรที่แสดงให้เห็นว่าเมื่อ 2 x 2 เมทริกซ์มีรากที่สองและ ilumber ของรากเช่น. ตามคำนิยามรากที่สองของ 2 X 2 เมทริกซ์, A, เป็นผู้ที่ 2 X 2 เมทริกซ์, X, สำหรับที่X "เป็น (1). แต่สำหรับแต่ละตารางเมทริกซ์เอ็กซ์ทฤษฎีบทเคย์ลีแฮมิลตันกล่าวว่าX "(ทีอาร์ X) X + (เดชอุดม X) I = 0 (2) ดังนั้นถ้า 2 x 2 เมทริกซ์มีตาราง ราก X แล้วเราอาจจะใช้ (2) เพื่อขจัด x2 จาก (1) เพื่อให้ได้(ทีอาร์ X) X = A + (เดชอุดม X) ฉัน. นอกจากนี้ตั้งแต่ (เดชอุดม X) '= det x2 = det A, แล้วเดชอุดม X = E, JZGT ที่เป็นสายเดชอุดม = E, J = เพื่อให้ผลดังกล่าวข้างต้นจะช่วยลดความยุ่งยากประจำตัว: (ทีอาร์ X) X = A + E, JZXTI, E, = 1 (3) กรณีที่ 1: เป็นเมตรเกลา Atrix ถ้าเป็นเมทริกซ์สเกลาร์, A = AI แล้ว (3) ให้ดังนั้นทั้ง(ทีอาร์ X) x = 0 หรือ (ทีอาร์ X) X = 2aI ครั้งแรกของเหล่านี้จะเป็นตัวกำหนดความเป็นไปได้การแก้ปัญหาทั่วไป (1) เป็นและจะครอบคลุมความเป็นไปได้ที่สองถ้า= 0 ในทางกลับกันถ้า # 0 แล้วความเป็นไปได้ที่สอง(ทีอาร์ X) X = 2A1 นัย X คือ สเกลาร์และมีเพียงคู่ของโซลูชั่นสำหรับกรณีนี้เราสรุปได้ว่าถ้าเป็นเมทริกซ์ศูนย์แล้วก็มีอินฟินิตี้คู่ของรากที่สองตามที่กำหนดโดย(4a) ด้วย = 0 ในขณะที่ถ้าเป็นเลขเมทริกซ์เกลาแล้วVOL 66, NO 5 วันที่ 31 ธันวาคม 1993 5 มีคู่อินฟินิตี้ของรากที่สองบวกสองรากที่สองสเกลาร์ที่กำหนดโดย (4a) และ (4b). กรณีที่ 2: ไม่ได้เป็นสเกลาแมทริกซ์ . ถ้าไม่ได้เป็นเมทริกซ์เกลาแล้วทีอาร์เอ็กซ์ # O ใน (3) ดังนั้นทุกราก X มีรูปแบบ: แทนนิพจน์นี้สำหรับ X ลงใน (1) และการใช้ทฤษฎีบทเคย์ลีแฮมิลตันสำหรับที่เราพบเป็น"( 2 & เจ> - T "A + (det A) I = O ((TRA) จาก A - (det A) I) + (2e เจ> - T" A + (det A) I = 0 เนื่องจากไม่ได้เป็น เมทริกซ์เกลาแล้วไม่ได้เป็นศูนย์เมทริกซ์ดังนั้นถ้า(ทีอาร์เอ) '# 4 เดชอุดมจากนั้นทั้งสองค่าของเอลอาจจะใช้ใน (5) โดยไม่ต้องลด T เพื่อเป็นศูนย์. ดังนั้นมันดังมาจาก (3) ที่เรา อาจเขียน X, รากที่สองของเป็นที่นี่แต่ละเน= 1 และถ้าเดชอุดม # 0 ผลจะเป็นตัวกำหนดว่าสี่รากที่สองสำหรับเอแต่ถ้า det A = 0 แล้วส่งผล (6a) detennines สองรากที่สองสำหรับ เป็นที่ได้รับจากหรือถ้า(ทีอาร์เอ) '= 4det # 0 จากนั้นหนึ่งค่าของ E ใน (5) ลด T เพื่อเป็นศูนย์ในขณะที่ค่าอื่น~ ield ฏจผล <; 2e1J = ทีอาร์และ " ทีทีอาร์เอ 2 ในการนี้กรณีที่มีตรงสองรากที่กำหนดโดยสุดท้ายหาก(TR A) = 4 det A = 0 แล้วค่าทั้งสองเอลลด T เพื่อเป็นศูนย์ใน (5). ดังนั้นมันจึงตามด้วยความขัดแย้ง ที่มีไม่มีรากที่สอง. สำหรับกรณีนี้เราสรุปได้ว่าเมทริกซ์ nonscalar, A, มีรากที่สองถ้าและเพียงถ้าอย่างน้อยหนึ่งของตัวเลขทีอาdet A และ A, ไม่ใช่ศูนย์ แล้วแมทริกซ์มีสี่ตารางรากที่กำหนดโดย (GA) ถ้า (TRA) # 4det A, det # 0 และสองรากที่ได้รับจาก (Gb) หรือ (Gc) ถ้าเป็นมูลค่าnoting จาก (6a) ที่316 คณิตศาสตร์ นิตยสารดังนั้นโดยใช้บัตรประจำตัว, สายเดชอุดม = อี DM ที่ใช้ใน (3) ผล (6a) อาจจะเขียนใหม่เป็น1 = - (A + det ~) ไฟทีอาร์ซึ่งเป็นเทียบเท่ากับ theorern เคย์ลีแฮมิลตันสำหรับ a.This เมทริกซ์เดียวกันหักสามารถทำแน่นอนสำหรับกรณีอื่นๆ ตามที่ 6exists. อ้างอิง1 นิค MacKinnon สี่เส้นทางไปยังเมทริกซ์ราก Mcrtlt Coz 73 (19891, 135-136. 2. ไนเจลเอชสกอตต์ในการฝึกอบรมรากคณิตศาสตร์. แก๊ซ. 74 (1990), 111-114. 3. ฮาเวิร์ดดับเบิลยูยั้วเยี้ย E1etnentclr.y Matrix Tlteor! ลิตรโดเวอร์ สิ่งพิมพ์นีโอลา, นิวยอร์ก, ปี 1980 4. โรเจอร์เอฮอร์นและชาร์ลส์อาร์จอห์นสันหัวข้อใน Mntrix Annhysis, สามารถ ~ BU niversity กด, นิวยอร์ก, 1990

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

รากที่สองของ 2 x 2 เมทริกซ์

โดนัลด์ซัลลิแวนมหาวิทยาลัยบรุนซ์ใหม่

แนะนำ Fredericton NB , แคนาดา , ในบทความล่าสุดที่ แมคคินนอน ผมอธิบายสี่วิธีการที่อาจจะใช้ในการหารากที่สอง
2 x 2 เมทริกซ์ ครั้งแรกของวิธีการเหล่านี้ต้องการที่
เมทริกซ์ที่รากที่สองขอเป็น diagonalizable และต่อมา
วิธีนี้ถูกใช้โดย Scott 121 เพื่อตรวจสอบทั้งหมด รากที่สองของ 2 x 2 เมทริกซ์
สรุปที่น่าแปลกใจคือสเกลาร์เมตริกซ์ 2 x 2 มีคู่อนันต์ของ
จัตุรัสรากส่วน nonscalar 2 x 2 เมทริกซ์มีเพียงจำนวนจำกัดของรากที่สอง
.
วัตถุประสงค์ของบทความนี้จะแสดงวิธีการทฤษฎีบทเคย์เลย์แฮมิลตันอาจ
ใช้เพื่อกำหนด fonnulae ชัดเจนทุก รากที่สองของ 2 x 2 เมทริกซ์ เหล่านี้สูตรระบุว่าเมื่อ
2 x 2 เมทริกซ์มีรากสแควร์ และ ilumber ของ

โดยราก เช่น นิยามศัพท์ รากที่สองของ 2 x 2 เมทริกซ์ , , 2 x 2 เมทริกซ์ , x , x " A .

ซึ่ง ( 1 )
แต่สำหรับแต่ละตาราง เมทริกซ์ X , ทฤษฎีบทเคย์เลย์แฮมิลตันระบุว่า
x " ( TR x ) x ( the x ) = 0 ( 2 )
ดังนั้นถ้าเป็น 2 x 2 เมทริกซ์มีกรณฑ์ x แล้ว เราอาจจะใช้ ( 2 ) กำจัด x2
จาก ( 1 ) การขอรับ
( TR x ) x = ( The X ) I
เพิ่มเติม เนื่องจาก ( The X ) ' = The x2 = เดช แล้ว The X = E jzgt , ที่เป็น The Fi =
E , J = ดังนั้นผลข้างต้นช่วยให้ตัวตน :
( TR x ) x = E , jzxti , E = 1 ( 3 ) คดีที่ 1
: เป็นสเกลาร์ M , แอทริกซ์ . ถ้าเป็นสเกลาร์เมทริกซ์ , = ไอแล้ว ( 3 ) ให้
ดังนั้นเหมือนกัน ( TR x ) x = 0 หรือ ( TR x ) x = 2ai . ครั้งแรกของความเป็นไปได้เหล่านี้กำหนด
ทั่วไปโซลูชั่น ( 1 )
และมันครอบคลุมความเป็นไปได้ที่สองถ้า A = 0 ในทางกลับกัน ถ้า# 0 แล้ว
ความเป็นไปได้ที่สอง ( TR x ) x = 2A1 กำหนด x เป็นสเกลาร์ มีเพียงคู่ของโซลูชั่น

สำหรับกรณีนี้เราสรุปได้ว่า ถ้าเป็นเมทริกซ์ศูนย์แล้วมันมีอินฟินิตี้สอง
จัตุรัสรากเป็นให้โดย ( 4A ) กับ = 0 แต่ถ้าเป็น 0 แล้ว
. สเกลาร์เมทริกซ์ , 66 , หมายเลข 5 ธันวาคม 2536 31 5
มันมีอินฟินิตี้เท่าของรากที่สองบวกสองสเกลาร์สแควร์รากเป็นให้โดย ( 4A )
( 4B )
2 กรณี : ไม่ใช่สเกลาร์เมทริกซ์ ถ้าไม่ใช่สเกลาร์เมทริกซ์แล้ว TR x # O ( 3 ) .
ดังนั้นทุกกรณฑ์ X :
แบบฟอร์ม