A problem with one variable: How ol

A problem with one variable: How old is Al?

Many single-variable algebra word problems have to do with the relations between different people's ages. For example:
Al's father is 45. He is 15 years older than twice Al's age. How old is Al?
We can begin by assigning a variable to what we're asked to find. Here this is Al's age, so let Al's age = x.
We also know from the information given in the problem that 45 is 15 more than twice Al's age. How can we translate this from words into mathematical symbols? What is twice Al's age?

Well, Al's age is x, so twice Al's age is 2x, and 15 more than twice Al's age is 15 + 2x. That equals 45, right? Now we have an equation in terms of one variable that we can solve for x: 45 = 15 + 2x.

original statement of the problem: 45 = 15 + 2x
subtract 15 from each side: 30 = 2x
divide both sides by 2: 15 = x
Since x is Al's age and x = 15, this means that Al is 15 years old.
It's always a good idea to check our answer:

twice Al's age is 2 x 15: 30
15 more than 30 is 15 + 30: 45
This should be the age of Al's father, and it is.

Solving a problem using one or two variables: How old is Karen?

We can solve this problem using either one or two variables:
Karen is twice as old as Lori. Three years from now, the sum of their ages will be 42. How old is Karen?
One-variable solution:

We'll let Lori's age be x. We can set up a chart:

now in 3 years
Karen 2x 2x + 3
Lori x x + 3
The sum of their ages in 3 years will be 42, so we have:
(2x + 3) + (x + 3) = 42
3x + 6 = 42
3x = 36
x = 12
If Lori is 12, Karen is 24; in three years they will be 15 and 27, and the sum of their ages will be 42.


Two-variable solution:
If we want to use two variables to express the given information, we will need two equations to solve for these variables. Here's an example:

Start by assigning variables. We want to find Karen's age, so let's call that K. But we need a variable for Lori's age too, so we will call her age L.

We know that Karen is twice as old as Lori. Another way of saying this is that Karen's age is 2 times Lori's age. This gives us our first equation: K = 2L.

We also know that:

in three years the sum of Karen's and Lori's ages will be 42;
in three years, Karen's age will be 3 more than it is now, or K + 3;
the same is true of Lori's age: in three years; it will be L + 3.
Since the sum of the girls' ages in three years is 42, we have our second equation: K + 3 + L + 3 = 42.
simplify by adding the numbers: K + L + 6 = 42
subtract 6 from each side: K + L = 36
Now we have two equations in two variables:

K = 2L
K + L = 36
Since Equation 1 provides an expression for K in terms of L that needs no simplification, we can plug the value for K in Equation 1 into the value for K in Equation 2: 2L + L = 36.
add like terms: 3L = 36
divide both sides by 3: L = 12
Now we know that Lori is 12 years old, which makes Karen's age easy to find. All we need to do is plug L = 12 into either Equation 1 or Equation 2 and solve for K:
Equation 1 Equation 2
K = 2L K + L = 36
K = 2 x 12 K + 12 = 36
K = 24 K = 24
As we can see, Karen is 24 years old. It doesn't matter which equation we use, since the the value for Karen's age must be the same in both cases.
Again, it's always a good idea to check our answer.

Karen is supposed to be twice as old as Lori. Karen is 24; Lori is 12. Is 24 twice 12? Yes.
In three years, the sum of Karen's and Lori's ages should be 42. In 3 years, Karen will be 24 + 3 = 27 years old. In 3 years, Lori will be 12 + 3 = 15 years old. Is the sum of 27 and 15 equal to 42? Yes.
We can see that we have found the correct answer.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ปัญหาที่ มีตัวแปรเดียว: วิธีเก่าคืออัลปัญหาเดียวของตัวแปรพีชคณิตมากกับความสัมพันธ์ระหว่างคนต่างวัยได้ ตัวอย่าง:คุณพ่ออัลเป็น 45 กำลังสองของอัลอายุมากกว่า 15 ปี วิธีเก่าคืออัลเราจะเริ่ม โดยการกำหนดตัวแปรให้เรากำลังถามหา นี่นี้คืออายุของอัล เพื่อ ให้อายุของ Al = xเราทราบจากข้อมูลที่ได้รับในปัญหาที่ว่า 45 15 มากกว่าสองอัลอายุ วิธีสามารถเราแปลนี้จากคำเป็นสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ได้อย่างไร สองของอัลอายุคืออะไรดี อัลอายุเป็น x ดังนั้นสองอัลอายุเป็น 2 x และ 15 x 15 + 2 อยู่สองอัลอายุ ที่เท่ากับ 45 ขวา ตอนนี้เรามีสมการในรูปแบบของตัวแปรหนึ่งที่เราสามารถหาค่า x: 45 = 15 + 2 xคำสั่งของปัญหา: 45 = 15 + 2 xลบ 15 จากแต่ละด้าน: 30 = 2 xหารทั้งสองข้าง โดย 2:15 = xเนื่องจาก x เป็นอายุของอัลและ x = 15 ซึ่งหมายความ ว่า อัลอายุ 15 ปีมันเป็นเสมอแนะนำให้ตรวจสอบคำตอบของเรา:สองของอัลอายุคือ 2 x 15:3015 มากกว่า 30 คือ 15 + 30:45ควรอายุพ่ออัล และเป็นแก้ปัญหาในการใช้ตัวแปรหนึ่ง หรือสอง: วิธีเก่าคือกะเหรี่ยงเราสามารถแก้ปัญหานี้โดยใช้หนึ่ง หรือสองตัวแปร:กะเหรี่ยงเป็นสองเก่า Lori ผลรวมของอายุของพวกเขาสามปีนี้ จะได้ 42 วิธีเก่าคือกะเหรี่ยงตัวแปรเดียวโซลูชัน:เราจะให้อายุของ Lori จะ x กัน เราสามารถตั้งค่าแผนภูมิ: ใน 3 ปี กระเหรี่ยง 2 x 2 x + 3 Lori x x + 3ผลรวมของอายุของพวกเขาในปีที่ 3 จะเป็น 42 เพื่อให้เรามี: (2 x + 3) + (x + 3) = 42 3 x + 6 = 42 3 x = 36 x = 12Lori เป็น 12 กะเหรี่ยงว่า 24 ใน 3 ปี จะ 15 และ 27 และผลรวมของอายุของพวกเขาจะมี 42โซลูชั่นสองตัวแปร:ถ้าเราต้องการใช้ตัวแปรที่สองเพื่อแสดงข้อมูลที่กำหนด เราจะได้สองสมการเพื่อหาค่าตัวแปรเหล่านี้ ตัวอย่าง:เริ่มต้น โดยการกำหนดตัวแปร เราต้องการค้นหาอายุของชาวกะเหรี่ยง โทรที่คุณกัน แต่เราต้องการตัวแปรสำหรับอายุของ Lori เกินไป ดังนั้นเราจะเรียกอายุ L.เรารู้ว่า กะเหรี่ยงเป็นสองเก่า Lori อีกวิธีหนึ่งของคำพูดนี้คือ ว่าอายุของชาวกะเหรี่ยงอายุของ Lori 2 ครั้ง นี้ทำให้สมการแรกของเรา: K = 2 ลิตรเรายังรู้ว่า:ในปีที่ 3 ผลรวมของอายุของชาวกะเหรี่ยงและของ Lori จะ 42ใน 3 ปี อายุของชาวกะเหรี่ยงจะ 3 มากกว่าขณะนี้ หรือ K + 3เหมือนเป็นจริงอายุของ Lori: ในปีที่สาม มันจะเป็น L + 3เนื่องจากผลรวมของอายุของหญิงในสามปี 42 เรามีสมการที่สองเรา: K + 3 + L + 3 = 42 ง่ายขึ้น โดยเพิ่มตัวเลข: K + L + 6 = 42ลบออกจากแต่ละด้าน 6: K + L = 36ตอนนี้ เรามีสองสมการสองตัวแปร:K = 2 ลิตรK + L = 36ตั้งแต่ 1 สมการแสดงค่า K ใน L ที่ต้องรวบไม่ เราสามารถเสียบค่าสำหรับ K ในสมการเป็นค่าสำหรับ K ในสมการ 2:2 L + L = 36เพิ่มเหมือน: 3 L = 36หารทั้งสองข้าง 3: L = 12ตอนนี้เรารู้ว่า Lori อายุ 12 ปี ซึ่งทำให้อายุของชาวกะเหรี่ยงเพื่อค้นหา เราต้องทำคือเสียบ L = 12 ในสมการ 1 หรือ 2 สมการ และการแก้ปัญหาสำหรับ K:สมการที่ 1 สมการ 2 K =เค 2L + L = 36K = K 2 x 12 + 12 = 36K = 24 K = 24 เราสามารถดู กะเหรี่ยงมีอายุ 24 ปี มันไม่สำคัญว่าสมการที่ใช้ เนื่องจากค่าสำหรับอายุของชาวกะเหรี่ยงต้องเหมือนกันในทั้งสองกรณีอีก มันเป็นเสมอแนะนำให้ตรวจสอบคำตอบของเรากระเหรี่ยงควรจะสองเก่า Lori กะเหรี่ยงเป็น 24 Lori คือ 12 เป็น 24 12 สอง ใช่ในสามปี ผลรวมของอายุของชาวกะเหรี่ยงและของ Lori ควรได้ 42 ในปีที่ 3 กะเหรี่ยงจะเป็น 24 + 3 = 27 ปี ในปีที่ 3, Lori จะได้ 12 + 3 = 15 ปี คือผลบวกของ 15 และ 27 เท่ากับ 42 ใช่เราสามารถดูว่า เราได้พบคำตอบที่ถูกต้อง

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ปัญหาเกี่ยวกับตัวแปรหนึ่ง: วิธีเก่าอัลหลายพีชคณิตเดียวตัวแปรปัญหาคำมีจะทำอย่างไรกับความสัมพันธ์ระหว่างคนทุกเพศทุกวัยที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่นพ่อของอัลเป็น 45 เขาเป็นคนที่มีอายุมากกว่า 15 ปีกว่าสองเท่าอายุของอัล วิธีอัลเป็นเก่าหรือไม่เราสามารถเริ่มต้นโดยการกำหนดตัวแปรเพื่อสิ่งที่เรากำลังขอให้พบ ที่นี่คืออายุอัลเพื่อให้อัลอายุ x =. เรายังไม่ทราบจากข้อมูลที่ได้รับในปัญหาที่ 45 คือ 15 มากกว่าสองเท่าของอายุของอัล วิธีการที่เราสามารถแปลจากคำเป็นสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์? อายุเป็นสองเท่าของอัลอะไรดีอายุอัลเป็น x ดังนั้นสองครั้งอายุของอัลเป็น 2 เท่าและ 15 มากกว่าสองเท่าของอายุของอัลคือ 15 + 2x นั่นเท่ากับ 45 ใช่มั้ย? ตอนนี้เรามีสมการในแง่ของตัวแปรหนึ่งที่เราสามารถแก้ปัญหาสำหรับ x: 45 = 15 + 2x. คำสั่งเดิมของปัญหา: 45 = 15 + 2x ลบ 15 จากแต่ละด้าน: 30 = 2x หารทั้งสองข้างด้วย 2: 15 = x เนื่องจาก x คืออายุอัลและ x = 15 นี้หมายความว่าอัลคือ 15 ปี. มันเป็นความคิดที่ดีที่จะตรวจสอบคำตอบของเรา: อายุของอัลครั้งที่สองคือ 2 x 15: 30 15 กว่า 30 คือ 15 + 30: 45 นี้ควรจะเป็นยุคของพ่อของอัลและมันเป็น. การแก้ปัญหาในการใช้หนึ่งหรือสองตัวแปร: วิธีเก่ากะเหรี่ยงเราสามารถแก้ปัญหานี้โดยใช้คนใดคนหนึ่งหรือสองตัวแปร: กะเหรี่ยงเป็นสองเท่าเช่นเดิมเป็นอริ จากสามปีแล้วผลรวมของทุกเพศทุกวัยของพวกเขาจะอายุเท่าไหร่ 42 เป็นชาวกะเหรี่ยง? วิธีการแก้ปัญหาหนึ่งตัวแปร: เราจะแจ้งให้อายุเป็นอริของ x เราสามารถตั้งค่าแผนภูมิ: ตอนนี้ในรอบ 3 ปีกะเหรี่ยง2x 2x + 3 อริ XX + 3 ผลรวมของทุกเพศทุกวัยใน 3 ปีจะ 42 เพื่อให้เรามี: (2x + 3) + (x + 3) = 42 3x + 6 = 42 3x = 36 x 12 = ถ้า Lori 12 กะเหรี่ยง 24; ในรอบสามปีพวกเขาจะเป็นวันที่ 15 และ 27 และผลรวมของทุกเพศทุกวัยของพวกเขาจะได้รับ 42. การแก้ปัญหาตัวแปรสองตัว: ถ้าเราต้องการที่จะใช้สองตัวแปรที่จะแสดงข้อมูลที่ได้รับเราจะต้องสองสมการที่จะแก้ปัญหาสำหรับตัวแปรเหล่านี้ นี่คือตัวอย่าง: เริ่มต้นโดยการกำหนดตัวแปร เราต้องการที่จะหาอายุของชาวกะเหรี่ยงจึงขอเรียกว่าเค แต่เราจำเป็นต้องตัวแปรอายุของลอริเกินไปดังนั้นเราจะเรียกเธออายุลิตรเรารู้ว่ากะเหรี่ยงเป็นสองเท่าเช่นเดิมเป็นอริ วิธีที่บอกนี้ก็คือว่าอายุของชาวกะเหรี่ยง 2 ครั้งอายุของลอรี นี้จะช่วยให้เราสมการแรกของเรา: K = 2L. เรายังไม่ทราบว่าในปีที่สามผลรวมของชาวกะเหรี่ยงและทุกเพศทุกวัย Lori จะเป็น 42 ในปีที่สามอายุกะเหรี่ยงจะเป็นอีก 3 มากกว่าที่เป็นอยู่ในขณะนี้หรือ K + 3; เดียวกันเป็นจริงอายุของลอรีในสามปี มันจะเป็น L + 3. เนื่องจากผลรวมของทุกเพศทุกวัยของสาว ๆ ในสามปี 42 เรามีสมการที่สองของเรา: K + 3 + L + 3 = 42 ลดความซับซ้อนโดยการเพิ่มตัวเลขที่: K + L + 6 = 42 ลบ 6 จากแต่ละด้าน: K + L = 36 ตอนนี้เรามีสองสมการสองตัวแปร: K = 2L K + L = 36 เนื่องจากสมการที่ 1 ให้การแสดงออกของ K ในแง่ของ L ที่ต้องการความเรียบง่ายไม่มีเราสามารถเสียบค่า สำหรับ K ในสมการที่ 1 เป็นค่าของ K ในสมการที่ 2: 2L + L = 36 เพิ่มเช่นเงื่อนไข: 3L = 36 หารทั้งสองข้างด้วย 3: L = 12 ตอนนี้เรารู้ว่าลอรีเป็น 12 ปีซึ่งจะทำให้อายุของชาวกะเหรี่ยง ง่ายต่อการค้นหา ทั้งหมดที่เราต้องทำคือการเสียบ L = 12 เข้าทั้งสมการที่ 1 หรือสมการที่ 2 และแก้ปัญหาสำหรับ K: สมการที่ 1 สมการ 2 K = 2L K + L = 36 K = 2 x 12 k + 12 = 36 K = 24 K = 24 ในฐานะที่เราสามารถมองเห็นเป็นชาวกะเหรี่ยงอายุ 24 ปี มันไม่สำคัญว่าสมการที่เราใช้ตั้งแต่ค่าสำหรับอายุของกะเหรี่ยงจะต้องเหมือนกันในทั้งสองกรณี. อีกครั้งก็มักจะเป็นความคิดที่ดีที่จะตรวจสอบคำตอบของเรา. กะเหรี่ยงควรจะเป็นสองเท่าของเดิมเป็นอริ กะเหรี่ยง 24; เป็นอริ 12. 24 สองครั้งที่ 12? ใช่. ในปีที่สามผลรวมของชาวกะเหรี่ยงและทุกเพศทุกวัยอริควรจะ 42 ใน 3 ปีจะมีชาวกะเหรี่ยง 24 + 3 = 27 ปี ใน 3 ปีลอริจะ 12 + 3 = 15 ปี คือผลรวมของ 27 และ 15 เท่ากับ 42 หรือไม่? ใช่. เราจะเห็นว่าเราได้พบคำตอบที่ถูก

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

a ปัญหากับตัวแปร : วิธีการเก่าเป็นอัล ?

หลายตัวแปรเดียว โจทย์ปัญหาพีชคณิตมีอะไรกับความสัมพันธ์ระหว่างวัยที่แตกต่างกันของผู้คน ตัวอย่าง :
พ่ออัลเป็น 45 เขาอายุมากกว่าสองเท่า อัล อายุ 15 ปี วิธีการเดิมคืออัล ?
เราสามารถเริ่มต้นโดยการกำหนดตัวแปรที่เราต้องการค้นหา นี่อัลอายุ เพื่อให้อัลอายุ =
xนอกจากนี้เรายังทราบจากข้อมูลที่ได้รับในปัญหาที่ 45 15 มากกว่าสองครั้ง อัล อายุ ทำไมเราแปลจากคำที่เป็นสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ ? สิ่งที่สอง อัล อายุ

อืม อัลอายุ X แล้วสองครั้ง อัล อายุ 2x และ 15 มากกว่าสองครั้ง อัล อายุ 15 + นั่นเท่ากับ 45 , ใช่มั้ย ? ตอนนี้เราได้สมการในแง่ของตัวแปรหนึ่งที่เราสามารถแก้หา x 15 : 45 = 2x

ข้อความต้นฉบับของปัญหา : 45 = 2x
ลบ 15 จาก 15 ข้างละ 30 = 2x
หารทั้งสองฝ่าย โดย 2 : 15 = x
x ลตั้งแต่อายุและ X = 15 , นี้หมายความว่า อัล อายุ 15 ปี
มันเป็นเสมอความคิดที่ดีในการตรวจสอบคำตอบของเรา :

สองครั้ง อัล อายุ 2 x 15 : 30
15 30 กว่า 15 30 45
นี้ควรจะอายุของบิดาล และมันคือ

การแก้ปัญหาโดยใช้หนึ่งหรือสองตัวแปร :วิธีการเดิมคือ คาเรน

เราสามารถแก้ไขปัญหานี้ ใช้หนึ่งหรือสองตัวแปร :
คาเรนเป็นสองเท่า ลอรี่ สามปีต่อจากนี้ ผลรวมของอายุของพวกเขาจะ 42 วิธีการเดิมคือ คาเรน ตัวแปรหนึ่ง โซลูชั่น :


เราก็จะปล่อยให้ลอริอายุเป็น X เราสามารถตั้งค่าแผนภูมิ :

ตอนนี้ใน 3 ปี
3
+ 2x กะเหรี่ยงลอรี่ x x 3
ผลรวมของอายุของพวกเขาใน 3 ปีจะเป็น 42 , ดังนั้นเราได้ :
( + 2 ) ( x 3 ) = 42
3 x 6 = 42
3 x 36 x 12 =
=
ถ้าลอรี่ 12 , กะเหรี่ยง 24 ; ในอีก 3 ปี พวกเขาจะอยู่ที่ 15 และ 27 และผลรวมของอายุของพวกเขาจะ 42 .

สองตัวแปร โซลูชั่น :
ถ้าเราต้องการใช้ตัวแปรเพื่อแสดงให้ข้อมูลเรา จะต้องแก้สมการสองตัวแปรเหล่านี้ นี่คือตัวอย่าง :

เริ่มต้นด้วยการกำหนดตัวแปร เราต้องการหาอายุของคาเรน จึงลองโทรไปที่ K .แต่เราต้องการตัวแปรสำหรับลอรี่อายุเหมือนกัน งั้นเราจะโทรหาเธออายุ L .

เราว่าคาเรนเป็นสองเท่า ลอรี่ พูดอีกอย่างหนึ่งคือ อายุของกะเหรี่ยงคือ 2 ครั้ง ลอริ อายุ นี้ทำให้เราได้สมการแรกของเรา : K = 2L .

เรารู้อีกว่า :

ใน 3 ปี ผลรวมของ คาเรน และ ลอรี่ วัยจะ 42 ;
3 ปี อายุของกะเหรี่ยงจะ 3 กว่า คือตอนนี้ หรือ K
3เดียวกันเป็นจริงของลอรี่ อายุ 3 ปี ก็จะเป็น L 3 .
เนื่องจากผลรวมของหญิงวัย 3 ปี 42 เราได้สมการที่สองของเรา : K 3 ชั้น 3 = 42
ง่ายขึ้น โดยการเพิ่มตัวเลข : K L 6 = 42
ลบ 6 จากแต่ละด้าน : K L = 36
ตอนนี้เรามีสองสมการสองตัวแปร :

k = 2L

K L = 36เนื่องจากสมการ 1 มีการแสดงออกสำหรับ K ในแง่ของผมที่ไม่ต้องการ เราสามารถเสียบค่า K ในสมการที่ 1 เป็นค่า K ในสมการที่ 2 : 2L L = 36 .
เพิ่ม เช่น เงื่อนไข : 3 L = 36
หารทั้งสองฝ่ายโดย 3 : L = 12
ตอนนี้เราทราบว่า ลอรี่เป็น 12 ปี ซึ่งทำให้อายุของกะเหรี่ยงที่หาง่ายทั้งหมดที่เราต้องทำคือเสียบ L = 12 ใน 1 หรือ 2 และสมการสมการแก้สมการ 1 สมการ K :
2
k = 2L K L = 36
k = 2 x 12 K 12 = 36
k = 24 K = 24
อย่างที่เราเห็น กะเหรี่ยง อายุ 24 ปี มันไม่สำคัญว่าสมการที่เราใช้ เนื่องจากค่าอายุของคาเรนต้องเหมือนกันในทั้งสองกรณี .
อีกครั้ง , มันเป็นเสมอความคิดที่ดีในการตรวจสอบคำตอบของเรา

คาเรน ควรจะเป็น 2 เท่า ลอรี่ กะเหรี่ยง 24 ; Lori เป็น 12 24 ครั้ง 12 ใช่ .
3 ปี , ผลรวมของคาเรน และ ลอรี่ วัยน่าจะ 42 ใน 3 ปี ชาวกะเหรี่ยงจะ 24 3 = 27 ปี ใน 3 ปี ลอรี่จะ 12 3 = อายุ 15 ปี คือผลรวมของ 27 และ 15 เท่ากับ 42 ? ใช่ .
เราจะเห็นได้ว่า เราได้พบคำตอบที่ถูกต้อง

.