Fibonacci Identities as binomial su

Fibonacci Identities as binomial sums II 2055

⎡ n ⎤2
2

n−i
= ⎣ i ⎦

i=0

⎡ n ⎤3

2

1 n − i
3 3 3 3
(iii) Fn+3 + 2Fn+2 − 3 (Fn + Fn+4) = ⎣ i ⎦

i=0

(iv) F 2 (F 2 − 4F F ) + F 2 (2F 2 − F 2)
n+2 n+2 n n+1 n n+1 n

1 2 2 2 2 4 4 2 n 2 4 4
= (Fn + Fn+1 + Fn+2) − (Fn + Fn+2) = 2 2Fn+1 − (−1) − (Fn + Fn+2)
2
⎡ n ⎤4
2

n−i
= ⎣ i ⎦

i=0

⎡ n ⎤5
2

5 2 5 n−i
(v) F + 5F F F (F F − F ) − F = ⎣ ⎦
n+2 n n+1 n+2 n n+1 n+2 n i

i=0

⎡ n ⎤6
2

2 n 3 2 2 2 6 6 n−i
(vi) 2[2Fn+1 − (−1) ] + 3Fn Fn+1Fn+2 − (Fn + Fn+2) = ⎣ i ⎦

i=0

(vii) 8F 2F 2 (F4 + F4 + 4F 2F 2 + 3F F F ) − (F8 + F8 )
n n+1 n n+1 n n+1 n n+1 2n+1 n n+2
⎡ n ⎤8
2

2 n 4 n−i
+2[2Fn+1 − (−1) ] = ⎣ i ⎦

i=0

Theorem 2.3.
⎡ ⎤
2
n+1
2

2 n+1−i
(i) F + F F = ⎣ ⎦
n+1 n n+3 i

i=0

⎡ ⎤
3
n+1
2

3 3 n+1−i
(ii) F + F + 3F F F = ⎣ ⎦
n n+1 n n+1 n+2 i

i=0

⎡ ⎤
5
n+1
2

5 5 2 n n+1−i
(iii) F + F + 5F F F [2F − (−1) ] = ⎣ ⎦
n n+1 n n+1 n+2 n+1 i

i=0

⎡ ⎤
7
n+1
2

7 7 2 n 2 n+1−i
(iv) F + F + 7F F F [2F − (−1) ] = ⎣ ⎦
n n+1 n n+1 n+2 n+1 i

i=0

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

รหัสประจำตัวฟีโบนัชชีเป็นทวินามรวม II 2055 ⎡ n ⎤2 2 n−i = ⎣ i ⎦ ฉัน = 0 ⎡ n ⎤3 2 1 n −ฉัน 3 3 3 3 (iii) Fn + 3 + 2Fn + 2 − 3 (Fn + Fn + 4) =⎣ฉัน⎦ ฉัน = 0 (iv) F 2 (− F 2 4F F) + F 2 (2F 2 − F 2) n + 2 n + 2 n n + 1 n n + 1 n 1 2 2 2 2 4 4 2 2 4 4 n = (Fn + Fn + 1 + Fn + 2) − (Fn + Fn + 2) = 2Fn + −− 1 (−1) 2 (Fn + Fn + 2) 2 ⎡ n ⎤4 2 n−i = ⎣ i ⎦ ฉัน = 0 ⎡ n ⎤5 2 5 2 5 n−i (v) F + 5F F F (− F F F) − F =⎣⎦ n + 2 n n + 1 n + 2 n n + 1 n + 2 n ฉัน ฉัน = 0 ⎡ n ⎤6 2 n−i n 3 2 2 2 6 6 2 (vi) 2 [2Fn + − 1 (−1)] + 3Fn Fn + 1Fn + 2 − (Fn + Fn + 2) =⎣ฉัน⎦ ฉัน = 0 (vii) 8F 2F 2 (F4 + F4 + 4F 2F 3F F F + 2) − (F8 + F8) n n + 1 n n + 1 n n + 1 n n + 1 2n + 1 n n + 2 ⎡ n ⎤8 2 n−i n 4 2 + 2 [2Fn + − 1 (−1)] =⎣ฉัน⎦ ฉัน = 0 ทฤษฎีบทที่ 2.3 ⎡ ⎤ 2 n + 1 2 2 n + 1−i (i) F + F F =⎣⎦ n + 1 n n + 3 ผม ฉัน = 0 ⎡ ⎤ 3 n + 1 2 3 3 n + 1−i (ii) F F + 3F F F =⎣⎦ n n 1 n + n + 1 n + 2 ผม ฉัน = 0 ⎡ ⎤ 5 n + 1 2 5 5 2 1−i n + n (iii) F F + F F 5F [− 2F (−1)] =⎣⎦ n n 1 n + n + 1 n + 2 n + 1 ผม ฉัน = 0 ⎡ ⎤ 7 n + 1 2 7 7 2 n 2 n + 1−i (iv) F F + F F 7F [− 2F (−1)] =⎣⎦ n n 1 n + n + 1 n + 2 n + 1 ผม ฉัน = 0

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

Fibonacci อัตลักษณ์เป็นผลรวมสองจำนวนครั้งที่สอง 2055 ⎡ n ⎤2 2 n i-= ⎣⎦ฉัน​​i = 0 ⎡ n ⎤3 2 1 n - ฉัน3 3 3 3 (iii) Fn + 3 + 2Fn + 2-3 (Fn + Fn + 4) = ⎣ฉัน⎦ i = 0 (iv) F 2 (F 2 - 4F F) + F 2 (2F 2 - F 2) n + 2 + n 2 n 1 + n n 1 + n n 1 2 2 2 2 4 4 2 2 4 n 4 = (Fn + Fn + 1 + Fn + 2) - (Fn + Fn + 2) = 2 2Fn + 1 - (-1) - (Fn + Fn + 2) 2 ⎡ n ⎤4 2 n i-= ⎣⎦ฉัน​​i = 0 ⎡ n ⎤5 2 5 5 2 n-ฉัน(V) F + 5F FF (FF - F) - f = ⎣⎦ n + 2 n 1 + n n 2 n 1 + n + n 2 พรรณีi = 0 ⎡ n ⎤6 2 2 3 n 2 2 2 6 6 n ฉัน(vi) 2 [2Fn + 1 - (-1)] + 3Fn Fn + 1Fn + 2 - (Fn + Fn + 2) = ⎣ฉัน⎦ i = 0 (vii) 8F 2F 2 (F4 + F4 + 4F 2F 2 + 3F ก) - (F8 + F8) n 1 + n n 1 + n n + n 1 n 1 + n 2n + 1 n + n 2 ⎡ n ⎤8 2 2 4 n n i-2 [2Fn + 1 - (-1)] = ⎣⎦ฉัน​​i = 0. ทฤษฎีบท 2.3 ⎡⎤ 2 + n 1 2 2 + n 1-i (i) F + FF = ⎣⎦ 1 + n n n + 3 ฉันi = 0 ⎡⎤ 3 n + 1 2 3 3 n + 1-i (ii) F + F + 3F FF = ⎣⎦ n 1 + n n 1 + n + n 2 ฉันi = 0 ⎡⎤ 5 1 + n 2 5 5 2 n + n 1-i (iii) F + F + 5F FF [2F - (-1 )] = ⎣⎦ n 1 + n n 1 + n + n 2 1 + n ฉันi = 0 ⎡⎤ 7 + n 1 2 7 7 2 2 n + n 1-i (iv) F + F + 7F FF [ 2F - (-1)] = ⎣⎦ n 1 + n n 1 + n + n 2 1 + n ฉันi = 0

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ฟีโบนัชชีเอกลักษณ์เป็นแบบผลรวม 2 เต้น

⎡ N ⎤ 2
2
n −ผม
= ⎣ผม⎦

ฉัน = 0 =

⎡ N ⎤ 3
2

1 n −ผม
3 3 3 3
( 3 ) กระเป๋า 3 2fn 2 − 3 ( FN ร 4 ผม⎦⎣ ) =

= 0

( i ) F ( F 2 − 2 แทนที่ F ) F 2 ( ห้อง 2F 2 − F 2 )
2 N 2 n n n n n n

1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4
n = ( องค์การสหประชาชาติองค์การสหประชาชาติ 1 ร 2 ) − ( FN FN 2 ) = 2 2fn − 1 ( − 1 ) − ( FN FN 2 )
2
n ⎡⎤ 4
2
n −ผม
= ⎣ผม⎦

ฉัน = 0 =

⎡ N ⎤ 5
2

5 n − 2 5 ชั้น
( V ) F 5 เอฟ ( F F F F F −− F )
n = ⎣⎦ 2 n n n n n n 1 2 1 2 ผม

ผม = 0 =

⎡ N ⎤ 6


2 N 2 3 2 2 2 6 6 n −ผม
( 6 ) 2 [ 2fn 1 − ( − 1 ) ] 3fn FN 1fn 2 − ( FN FN 2 ) = ⎣ผม⎦

ฉัน = 0 =

( 7 ) 8f ห้อง 2F 2 ( F4 F4 แทนที่ห้อง 2F 2 ขา เอฟ f ) − ( F8 F8 )
n n n n n n 1 1 1 1 2 1 n n n 2
n ⎡⎤ 8
2
2 n
2 [ 4 N −ผม 2fn 1 − ( − 1 ) = ⎣ผม⎦ = 0 =



ผมทฤษฎีบท 2.3
⎡⎤
2
n 1
2
2 n 1 −ผม
( i ) F F F = ⎣⎦ 1
n n ผม

ฉัน = 0 =

⎡⎤
3
n 1
2
3 N 1 −ผม
( II ) F F 3f F F = ⎣⎦
n n n n n 1 1 2 ผม

ฉัน = 0 =

⎡⎤
5
n 1
2

5 5 1 − 2 n ฉัน
( III ) F F F F 5 เอฟ [ ห้อง 2F − ( − 1 ) = ⎣⎦
n n n n n n 1 1 2 1 = 0 =



ผม⎡⎤

7 N 1
2
7 2 N 2 n 1 −ผม
( 4 ) F F F F [ ห้อง 2F 7F − ( − 1 ) = ⎣⎦
n n n n 1 1 2 1 = 0 =


ผม