1. IntroductionNormal nonlinear reg

1. Introduction
Normal nonlinear regression models (N-NLM) are applied in some areas of the sciences and engineering
to model symmetrical data for which nonlinear functions of unknown parameters are used to
explain or describe the phenomena under study. However, it is well known that several phenomena
are not always represented by the normal model due to lack of symmetry in the distribution or the
presence of heavy- and light-tailed distributions related to the normal law in the data. Particularly, it
is known that the parameter estimates of the normal model based on maximum likelihood (ML) methods
are often sensitive to atypical observations. To deal with this problem, some proposals have been
made in the literature to replace the normal distribution with more flexible classes of distributions.
For instance, in a heavy tailed context, Cysneiros and Vanegas [11] studied the symmetrical nonlinear
regression model and performed a standardized residual analysis following the method proposed by
Cox and Snell [10]. Vanegas and Cysneiros [28] proposed diagnostic procedures based on case-deletion
for symmetrical nonlinear regression models.
From a likelihood based perspective, Cancho et al. [8] introduced the skew-normal nonlinear regression
models (SN-NLM) and presented a complete likelihood based analysis, including an efficient
EM algorithm for maximum likelihood estimation. Xie et al. [29,30] developed score test statistics for
testing homogeneity in SN-NLM. More recently, Garay et al. [16] introduced an extension of the SNNLMby
using the scale mixtures of skew-normal (SMSN) distributions proposed by Branco and Dey [6]
in the error structure, incorporating asymmetry and heavy tails (SMSN-NLM). Under a Bayesian perspective,
Cancho et al. [7] studied the SMSN-NLM and more recently [22] proposed the slash skew-t
distribution to model nonlinear regression models in the presence of heavy tails and skewness.
In this context, Rossin et al. [27] used finite mixture models for model-based clustering where
the structure of relation between explanatory variable and response is nonlinear and the structure
of errors follows a skew-t distribution [5]. In [9], the authors propose the family of flexible skewsymmetric
(FSS) models of the form f (y; μ, ω, α) = 2ω−1f0(z)Φ(PK (z)), where z = (y − μ)/ω,
PK (z) = α1z + α3z3 + · · · + α2K−1z2K−1 and f0(z) and symmetric univariate density. Specifically,
they use the flexible skew-normal (FSN) model with f0(z) = φ(z) and the skew-t-normal (FSTN) with
f0(z) = t(z; ν). The skew-t-normal model used in that paper is the FSTN model when K = 1, which
is the StN distribution [17], a particular case of SSMN distributions. Note, however, that when K > 1,
that is, when the data present multimodality, more sophisticated computational methods are needed
for parameter estimation and further inferential procedures.
There are some important differences between the classes of SSMN and SMSN distributions.
First, the mechanisms for generating random samples are slightly different, which produce different
structures of distributions. Second, these classes present different coefficients of asymmetry and
kurtosis. Thus, it is interesting to investigate the performance of the two classes under certain specific
models, like nonlinear regression models. In this article, we extend the SN-NLM [8] by assuming that
the model errors follow a SSMN distribution, so that the SSMN-NLM is defined. Interestingly, the SSMN
class contains the entire family of scale mixtures of normal distributions [1] and skewed versions of
classic symmetric distributions such as the skew Student-t–Normal (StN) [17], the skew slash (SSL),
the skew power exponential (SPE) and the skew contaminated normal (SCN) distribution. Therefore,
like the SMSN-NL model proposed by Garay et al. [16], our proposal can be a reasonable alternative
choice for robust inference in many types of models.
The rest of the paper is organized as follows. In Section 2, we present some properties of the univariate
SSMN family. Section 3 outlines the SSMN-LNM and the EM algorithm for maximum likelihood
estimation. In Section 4, we present the results of a simulation study, examining the asymptotic properties
of the EM algorithm and the robustness of the estimates in the presence of outliers. The method
proposed is illustrated in Section 5 by analyzing a real dataset and some concluding remarks are presented
in Section 6.
2. Skew scale mixtures of normal distributions
To better motivate our proposed method, we give a brief introduction of skew-normal (SN), scale
mixture of

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

1. บทนำแบบจำลองถดถอยเชิงเส้นปกติ (N-ที) จะใช้ในบางพื้นที่ของวิศวกรรมและวิทยาศาสตร์แบบจำลองข้อมูลสมมาตรซึ่งฟังก์ชั่นเชิงเส้นของพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักถูกนำมาใช้อธิบาย หรืออธิบายปรากฏการณ์การศึกษา อย่างไรก็ตาม มันเป็นที่รู้จักกันดีที่ปรากฏการณ์หลายไม่เสมอแสดง โดยแบบปกติเนื่องจากขาดความสมมาตรในการกระจาย หรือการการปรากฏตัวของหางหนัก และแสงที่เกี่ยวข้องกับกฎหมายปกติในข้อมูลการกระจาย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันเรียกว่า ค่าประมาณพารามิเตอร์ของรูปแบบปกติที่อิงวิธีสูงสุดโอกาส (ML)มักไวต่อการสังเกตผิดปกติ การจัดการกับปัญหานี้ ข้อเสนอบางอย่างได้ทำในวรรณคดีการแทนการแจกแจงปกติกับการเรียนที่ยืดหยุ่นมากขึ้นของการกระจายเช่น ในบริบทหางหนัก Cysneiros และ Vanegas [11] ศึกษาการสมมาตรเชิงเส้นถดถอยที่รูปแบบ และดำเนินการวิเคราะห์ตกค้างมาตรฐานวิธีที่เสนอโดยค็อกซ์และ Snell [10] Vanegas และ Cysneiros [28] เสนอวินิจฉัยตามลบกรณีสำหรับรูปแบบจำลองถดถอยเชิงเส้นสมมาตรจากมุมมองโอกาสที่ใช้ การถดถอยเชิงเส้นเอียงปกติแนะนำ Cancho et al. [8]รุ่น (SN-ที) และนำเสนอการวิเคราะห์สมบูรณ์โอกาสคะแนน รวมทั้งมีประสิทธิภาพอัลกอริทึม EM สำหรับการประเมินความเป็นไปได้สูงสุด Xie et al. [29,30] พัฒนาคะแนนทดสอบสถิติการทดสอบ homogeneity ใน SN-ที เมื่อเร็ว ๆ นี้ นำส่วนขยายของ SNNLMby Garay et al. [16]ใช้ส่วนผสมขนาดของการกระจาย (SMSN) ปกติเอียง Branco และเสนอ Dey [6]ในโครงสร้างข้อผิดพลาด เพจความไม่สมดุลและหนักหาง (ที SMSN) ภายใต้มุมมองทฤษฎีCancho et al. [7] ศึกษา SMSN-ทีและอื่น ๆ เมื่อเร็ว ๆ นี้ [22] เสนอเฉือนเอียง-tการแจกจ่ายการโมเดลแบบจำลองถดถอยเชิงเส้นในหางหนักและความเบ้ในบริบทนี้ Rossin et al. [27] ใช้รุ่นผสมมีจำกัดสำหรับจำลองคลัสเตอร์ที่โครงสร้างของความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรอธิบายและการตอบสนองจะไม่เชิงเส้น และโครงสร้างข้อผิดพลาดต่อไปนี้การกระจายเอียง-t [5] ใน [9], ผู้เขียนเสนอครอบครัวของ skewsymmetric มีความยืดหยุ่น(FSS) รุ่น f ฟอร์ม (y μ ω α) = 2ω−1f0 (z) Φ (PK (z)), ที่ z = (y −μ) / ωPK (z) = α1z + α3z3 + ··· + Α2K−1z2K−1 และ f0(z) และความหนาแน่นของไร univariate สมมาตร โดยเฉพาะพวกเขาใช้รูป(ผล FSN) ปกติเอียงแบบยืดหยุ่นกับ f0(z) = φ(z) และเอียง-t-ปกติ (FSTN) ด้วยf0(z) = t (z ν) แบบเอียง-t-ปกติใช้ในที่กระดาษ FSTN รุ่นเมื่อ K = 1 ซึ่งคือการจัดจำหน่ายยัง [17], กรณีของการกระจาย SSMN หมายเหตุ อย่างไรก็ตาม ว่าเมื่อ K > 1นั่นคือ เมื่อข้อมูลปัจจุบัน multimodality วิธีการคำนวณที่ซับซ้อนมากขึ้นมีความจำเป็นสำหรับการประมาณค่าพารามิเตอร์และเพิ่มเติมกระบวนการครับมีความแตกต่างที่สำคัญระหว่างเรียนของ SSMN และ SMSN กระจายครั้งแรก กลไกสำหรับการสุ่มตัวอย่างการสร้างต่างกันเล็กน้อย ซึ่งผลิตแตกต่างกันโครงสร้างของการกระจาย ที่สอง คลาสที่เหล่านี้ปัจจุบันแตกต่างกันค่าสัมประสิทธิ์ของความไม่สมดุล และสเชิง ดังนั้น เป็นที่น่าสนใจในการตรวจสอบประสิทธิภาพของชั้นสองภายใต้เฉพาะบางอย่างรุ่น เช่นรุ่นถดถอยไม่เชิงเส้น ในบทความนี้ เราขยาย SN-ที [8] โดยสมมติว่าข้อผิดพลาดรูปแบบตามการกระจาย SSMN เพื่อให้ SSMN-ทีกำหนดไว้ เรื่องน่าสนใจ SSMNคลาสที่ประกอบด้วยครอบครัวของรุ่นเบ้และชั่งส่วนผสมของการกระจายปกติ [1]การกระจายแบบคลาสสิกเช่นการเอียงนักเรียน t – ปกติ (StN) [17], เฉือนเอียง (SSL),skew พลังเนน (SPE) และ skew ปนเปื้อนกระจายปกติ (SCN) ดังนั้นเช่นรุ่น SMSN-NL โดย Garay et al. [16] การนำเสนอ ข้อเสนอของเราสามารถเป็นทางเลือกที่เหมาะสมเลือกข้อที่แข็งแกร่งในหลายประเภทของรูปแบบส่วนเหลือของกระดาษจัดเป็นดังนี้ ในส่วนที่ 2 เรานำเสนอคุณสมบัติบางอย่างของไร univariateครอบครัว SSMN ส่วนที่ 3 สรุป SSMN-LNM และอัลกอริทึม EM สำหรับโอกาสสูงสุดการประเมิน ใน 4 ส่วน เรานำเสนอผลการศึกษาการจำลอง การตรวจสอบคุณสมบัติ asymptoticอัลกอริทึม EM และความทนทานของการประเมินในที่ outliers วิธีการนำเสนอจะแสดงในส่วนที่ 5 โดยการวิเคราะห์ชุดข้อมูลที่เป็นจริงและบางสรุปแสดงหมายเหตุในข้อ 62. เอียงเครื่องชั่งส่วนผสมของการกระจายปกติการจูงใจวิธีการนำเสนอของเราดีกว่า เราให้แนะนำสั้น ๆ ของเอียงปกติ (SN), มาตราส่วนส่วนผสมของ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

1. บทนำ
ปกติรุ่นถดถอยไม่เชิงเส้น (N-NLM) ถูกนำมาใช้ในบางพื้นที่ของวิทยาศาสตร์และวิศวกรรม
การจำลองข้อมูลสมมาตรซึ่งฟังก์ชั่นแบบไม่เชิงเส้นของพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักจะใช้ในการ
อธิบายหรืออธิบายปรากฏการณ์ภายใต้การศึกษา แต่ก็เป็นที่รู้จักกันดีว่าหลายปรากฏการณ์
จะไม่แสดงเสมอโดยรูปแบบปกติเกิดจากการขาดความสมมาตรในการจัดจำหน่ายหรือ
การปรากฏตัวของการกระจายหนักและเบานกที่เกี่ยวข้องกับกฎหมายปกติในข้อมูล โดยเฉพาะอย่างยิ่งมัน
เป็นที่รู้จักกันว่าประมาณการพารามิเตอร์ของรูปแบบปกติอยู่บนพื้นฐานของความน่าจะเป็นสูงสุด (ML) วิธี
นี้มักจะมีความไวต่อการสังเกตความผิดปกติ ที่จะจัดการกับปัญหานี้
ข้อเสนอบางอย่างได้รับการ ทำในวรรณคดีที่จะเปลี่ยนการกระจายปกติกับการเรียนที่ยืดหยุ่นมากขึ้นของการกระจาย
ยกตัวอย่างเช่นในบริบทหนักเทลด์ Cysneiros และ Vanegas [11] ศึกษาไม่เชิงเส้นสมมาตร
แบบการถดถอยและดำเนินการวิเคราะห์มาตรฐานที่เหลือต่อไปนี้วิธีการที่เสนอโดย
ค็อกซ์และปราดเปรื่อง [10] Vanegas และ Cysneiros [28] เสนอขั้นตอนการวินิจฉัยขึ้นอยู่กับกรณีการลบ
สำหรับรูปแบบการถดถอยแบบไม่เชิงเส้นสมมาตร
จากมุมมองของความน่าจะเป็นตาม Cancho et al, [8] แนะนำการถดถอยแบบไม่เชิงเส้นลาดปกติ
รุ่น (SN-NLM) และนำเสนอการวิเคราะห์ความน่าจะเป็นตามที่สมบูรณ์รวมทั้งมีประสิทธิภาพ
อัลกอริทึม EM สำหรับการประมาณความน่าจะเป็นสูงสุด Xie et al, [29
30] การพัฒนาสถิติทดสอบคะแนน การทดสอบความเป็นเนื้อเดียวกันใน SN-NLM เมื่อเร็ว ๆ นี้ Garay, et al [16] แนะนำเป็นส่วนขยายของ SNNLMby
ใช้ผสมขนาดของลาดปกติ (SMSN) กระจายเสนอโดย Branco และพวกเขาส่วน [6]
ในโครงสร้างข้อผิดพลาดที่ผสมผสานความไม่สมดุลและหางหนัก (SMSN-NLM) ภายใต้มุมมองคชกรรม
Cancho et al, [7] ศึกษา SMSN-NLM และเมื่อเร็ว ๆ นี้ [22] เสนอเฉือนลาด-T
กระจายการจำลองรูปแบบการถดถอยแบบไม่เชิงเส้นในการปรากฏตัวของหางหนักและเบ้
ในบริบทนี้ Rossin et al, [27] รุ่นที่ใช้ส่วนผสมที่แน่นอนสำหรับรูปแบบการจัดกลุ่มตามที่
โครงสร้างของความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรอธิบายและการตอบสนองคือไม่เชิงเส้นและโครงสร้าง
ของข้อผิดพลาดต่อไปนี้การกระจายลาด-T [5] ใน [9]
ผู้เขียนนำเสนอในครอบครัวของผู้ที่มีความยืดหยุ่น skewsymmetric (FSS) สินค้าทุกรุ่นของ F แบบฟอร์ม (y; μ, ω, α) = 2ω-1f0 (z) Φ (PK (z)) ซึ่ง Z = (y - μ) / ω ,
PK (z) = α1z + α3z3 + ··· + α2K-1z2K-1 และ F0 (z) และความหนาแน่นของสมมาตร univariate โดยเฉพาะการ
ที่พวกเขาใช้ความยืดหยุ่นลาดปกติ (FSN) รุ่นกับ F0 (z) = φ (Z) และเอียง-T-ปกติ (FSTN) กับ
F0 (z) = T (Z; ν) รูปแบบเอียง-T-ปกติใช้ในกระดาษที่มีรูปแบบ FSTN เมื่อ K = 1 ซึ่ง
คือการกระจาย STN [17], โดยเฉพาะอย่างยิ่งกรณีของการกระจาย SSMN แต่โปรดทราบว่าเมื่อ K> 1
นั่นคือเมื่อข้อมูลที่เป็นปัจจุบัน multimodality, วิธีการคำนวณที่ซับซ้อนมากขึ้นมีความจำเป็น
สำหรับการประมาณค่าพารามิเตอร์และวิธีการอนุมานต่อไป
มีบางอย่างที่แตกต่างที่สำคัญระหว่างเรียนของ SSMN และการแจกแจง SMSN มี
ขั้นแรกให้กลไกในการสร้างตัวอย่างที่สุ่มแตกต่างกันเล็กน้อยซึ่งผลิตที่แตกต่างกัน
โครงสร้างของการกระจาย ประการที่สองชั้นเรียนเหล่านี้นำเสนอค่าสัมประสิทธิ์ของความไม่สมดุลที่แตกต่างกันและ
ความโด่ง ดังนั้นจึงเป็นที่น่าสนใจในการตรวจสอบประสิทธิภาพการทำงานของสองชั้นที่อยู่ภายใต้เฉพาะบาง
รุ่นเช่นรุ่นถดถอยไม่เชิงเส้น ในบทความนี้เราขยาย SN-NLM [8] โดยสมมติว่า
ข้อผิดพลาดรูปแบบตามการกระจาย SSMN เพื่อให้ SSMN-NLM ถูกกำหนด ที่น่าสนใจ
SSMN ชั้นมีทั้งครอบครัวของผสมขนาดของการแจกแจงปกติ [1] และรุ่นเบ้ของ
การแจกแจงแบบสมมาตรคลาสสิกเช่นเอียงนักศึกษา-T-ปกติ (STN) [17], เฉือนลาด (SSL),
อำนาจลาดชี้แจง (SPE) และปกติ (SCN) การกระจายตัวเอียงที่ปนเปื้อน ดังนั้น
เหมือนนางแบบ SMSN-NL ที่เสนอโดย Garay, et al [16], ข้อเสนอของเราสามารถเป็นทางเลือกที่เหมาะสม
ทางเลือกสำหรับการอนุมานที่แข็งแกร่งในหลายประเภทของรุ่น
ส่วนที่เหลือของกระดาษที่มีการจัดระเบียบดังต่อไปนี้ ในส่วนที่ 2 เรานำเสนอคุณสมบัติของ univariate บาง
ครอบครัว SSMN ส่วนที่ 3 แสดง SSMN-LNM และอัลกอริทึม EM สำหรับโอกาสสูงสุด
ประมาณค่า ในมาตรา 4 เรานำเสนอผลการศึกษาการจำลอง
การตรวจสอบคุณสมบัติเชิง ของอัลกอริทึม EM และความทนทานของประมาณการในการปรากฏตัวของค่าผิดปกติ วิธีการ
ที่นำเสนอคือตัวอย่างในมาตรา 5 โดยการวิเคราะห์ชุดข้อมูลจริงและบางส่วนจะเป็นการสรุปนำเสนอ
ในมาตรา 6
2. ผสมโยเอียงของการกระจายตามปกติ
เพื่อให้กระตุ้นวิธีที่นำเสนอของเราเราให้แนะนำสั้น ๆ ของลาดปกติ (SN) ขนาด
ส่วนผสมของ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

1 . แนะนำแบบจำลองการถดถอยแบบไม่เชิงเส้นปกติ ( n-nlm ) จะใช้ในบางพื้นที่ของวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมแบบจำลองข้อมูลแบบสมมาตรซึ่งฟังก์ชันของพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักใช้อธิบาย หรืออธิบายปรากฏการณ์ที่ศึกษา อย่างไรก็ตาม มันเป็นที่รู้จักกันดีว่าปรากฏการณ์หลายไม่เสมอแสดงตามปกติ เนื่องจากขาดความสมมาตรในรูปแบบการกระจายหรือการปรากฏตัวของหนัก - เบา และการแจกแจงแบบหางยาว ที่เกี่ยวข้องกับกฎหมายปกติในข้อมูล โดยเฉพาะมันเป็นที่รู้จักกันว่าพารามิเตอร์การประเมินแบบปกติตามความน่าจะเป็นสูงสุด ( มิลลิลิตร ) วิธีมักอ่อนไหวกับสังเกตผิดปกติ เพื่อจัดการกับปัญหานี้ บางข้อเสนอที่ได้รับในวรรณกรรมเพื่อแทนที่การแจกแจงปกติที่มีความยืดหยุ่นมากขึ้นในชั้นเรียนของการแจกแจง .ตัวอย่างเช่นในหนักตามบริบท และ cysneiros vanegas [ 11 ] ศึกษาสมมาตรเชิงเส้นแบบจำลองการถดถอยและดำเนินการโดยการวิเคราะห์ตามวิธีการที่เสนอโดยส่วนที่เหลือCox และสเนล [ 10 ] และ vanegas cysneiros [ 28 ] เสนอขั้นตอนการวินิจฉัยขึ้นอยู่กับกรณีการลบสำหรับตัวแบบการถดถอยเชิงเส้นไม่เท่ากันจากมุมมองของความเป็นไปได้ตาม cancho et al . [ 8 ] เปิดตัว โดดปกติการถดถอยเชิงเส้นแบบจำลอง ( sn-nlm ) และนำเสนอความเป็นไปได้การวิเคราะห์ที่มีประสิทธิภาพสมบูรณ์ ได้แก่ขั้นตอนวิธีอีเอ็มประมาณความควรจะเป็นสูงสุด เซี่ย et al . [ ตกแต่งอย่างดี ] พัฒนาสถิติทดสอบคะแนน สำหรับการทดสอบความสม่ำเสมอใน sn-nlm . เมื่อเร็วๆ นี้ การ์เรย์ et al . [ 16 ] แนะนำเป็นส่วนขยายของ snnlmbyใช้เครื่องชั่งผสม โดดปกติ ( smsn ) การเสนอโดยบลังโคะเดย์ [ 6 ] และในโครงสร้างของข้อผิดพลาด , การผสมผสานความไม่สมดุลและหางหนัก ( smsn-nlm ) ภายใต้มุมมองแบบเบส์cancho et al . [ 7 ] ศึกษา smsn-nlm และอื่น ๆเมื่อเร็ว ๆนี้ [ 22 ] เสนอ skew-t เฉือนจำหน่ายโมเดลการถดถอยแบบไม่เชิงเส้นแบบในการแสดงตนของหางหนักและความ .ในบริบทนี้ Rossin et al . [ 27 ] ใช้แบบผสมสำหรับระบบคลัสเตอร์ที่โครงสร้างของความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรการอธิบายและการตอบสนองเชิงเส้นและโครงสร้างข้อผิดพลาดดังต่อไปนี้การกระจาย skew-t [ 5 ] [ 9 ] , ผู้เขียนเสนอครอบครัว skewsymmetric แบบยืดหยุ่น( FSS ) รูปแบบของแบบฟอร์ม f ( y ; ωμ , , α ) = 2 ω− 1f0 ( Z ) Φ ( PK ( Z ) ) โดยที่ Z = ( y −ωμ ) ,PK ( z ) = α 1z + α 3z3 + · · · + α−− 1 และ 2 1z2k ละ ( Z ) และความหนาแน่นของ univariate สมมาตร . โดยเฉพาะพวกเขาใช้ความยืดหยุ่น โดดปกติ ( FSN ) รุ่นด้วยละ ( z ) = φ ( Z ) และ skew-t-normal ( FSTN ) กับละ ( z ) = t ( Z ; ν ) การ skew-t-normal แบบจำลองในกระดาษที่เป็นแบบ FSTN เมื่อ k = 1 ที่คือการกระจายไฟฟ้า [ 17 ] เฉพาะในกรณีของการแจกแจง ssmn . อย่างไรก็ตาม โปรดสังเกตว่า เมื่อ k > 1นั่นคือ เมื่อข้อมูลปัจจุบัน multimodality วิธีการคำนวณที่ซับซ้อนมากขึ้นจำเป็นสำหรับการประมาณค่าพารามิเตอร์และวิธีการอ้างอิงเพิ่มเติมมีบางอย่างที่สำคัญความแตกต่างระหว่างชนชั้นของ ssmn และการแจกแจง smsn .แรก กลไกสำหรับการสร้างจำนวนสุ่มที่แตกต่างกันเล็กน้อย ซึ่งผลิตต่าง ๆโครงสร้างของการกระจาย . ประการที่สอง ชั้นเรียนเหล่านี้ปัจจุบันต่างกันค่าสัมประสิทธิ์ของความไม่สมดุลและโด่ง . ดังนั้นจึงเป็นที่น่าสนใจที่จะศึกษาประสิทธิภาพของสองชั้นภายใต้บางรูปแบบ เช่น แบบจำลองการถดถอยแบบไม่เชิงเส้น ในบทความนี้เราขยาย sn-nlm [ 8 ] โดยสมมติว่ารูปแบบข้อผิดพลาดตาม ssmn แจกจ่าย เพื่อให้ ssmn-nlm คือกำหนด น่าสนใจ ssmnชั้นมีทั้งครอบครัวของมาตราส่วนผสมปกติการแจกแจงเบ้ [ 1 ] และรุ่นการแจกแจงสมมาตรคลาสสิกเช่นเอียง student-t –ปกติ ( STN ) [ 17 ] , ฟันเอียง ( SSL )การบิดเบือนอำนาจ เอกซ์โพเนนเชียล ( SPE ) และเอียงปนเปื้อนปกติ ( SCN ) กระจาย ดังนั้นชอบ smsn-nl แบบจำลองที่เสนอโดย Garay et al . [ 16 ] ข้อเสนอของเราสามารถเป็นทางเลือกที่เหมาะสมการเลือกที่แข็งแกร่งในหลายชนิดของรูปแบบส่วนที่เหลือของกระดาษจะจัดดังนี้ ในส่วนที่ 2 เราจะนำเสนอคุณสมบัติบางอย่างของประชากรครอบครัว ssmn . ส่วนที่ 3 สรุป ssmn-lnm และขั้นตอนวิธีอีเอ็มสำหรับโอกาสสูงสุดการประมาณค่า ในส่วนที่ 4 เรา ปัจจุบัน ผลที่ได้จากการจำลอง การตรวจสอบคุณสมบัติแหล่งของขั้นตอนวิธีอีเอ็มและความแกร่งของประมาณการเมื่อมีค่าผิดปกติเกิดขึ้น วิธีขออธิบายในส่วนที่ 5 โดยการวิเคราะห์ข้อมูลและสรุปข้อคิดเห็นนำเสนอจริงในมาตรา ๖2 . เอียงแบบผสมของการแจกแจงปกติดีกว่าจูงของเราวิธีการที่เราให้สั้นเบื้องต้นของเบ้ ( SN ) ขนาดปกติส่วนผสมของ