1. IntroductionThe quaternions are

1. Introduction
The quaternions are a number system which extends to the complex numbers.
They are members of noncommutative algebra , first invented by William Rowan
Hamilton in 1843. Hamilton defined a quaternion as the quotient of two vectors.
The algebra of quaternions is denoted by H , also by the Clifford algebra classifi-
cations Cl0,2(R) ∼= Cl0
3,0
(R). A quaternion is defined in the form
(1.1) q = q0 + iq1 + jq2 + kq3
where q0, q1, q2, q3 are real numbers and i, j, k are standard orthonormal basis in
R
3 which satisfy the quaternion multiplication rules as
i
2 = j
2 = k
2 = −1
ij = −ji = k , jk = −kj = i , ki = −ik = j.
The quaternion q can be written as
q = Sq + Vq
where Sq = q0 and Vq = iq1 + jq2 + kq3. Here Sq is called the scalar part and Vq
is called the vector part of the quaternion q. If two quaternions are q = q0 + iq1 +
jq2 + kq3 and p = p0 + ip1 + jp2 + kp3, then the addition and subtraction of them
is
q ∓ p = (q0 ∓ p0) + i(q1 ∓ p1) + j(q2 ∓ p2) + k(q3 ∓ p3)
and the multiplication is
q.p = q0p0 − (q1p1 + q2p2 + q3p3)
+i (q0p1 + q1p0 + q2p3 − q3p2)
+j (q0p2 + q2p0 + q3p1 − q1p3)
+k (q0p3 + q3p0 + q1p2 − q2p1).
The conjugate of the quaternion q = q0 + iq1 + jq2 + kq3 is given by q;
q = q0 − iq1 − jq2 − kq3.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

1. บทนำQuaternions เป็นระบบเลขที่ขยายไปถึงจำนวนเชิงซ้อนพวกเขาเป็นสมาชิกของ noncommutative พีชคณิต แรก คิดค้น โดย William Rowanฮามิลตันใน 1843 ฮามิลตันกำหนดเป็นควอเทอร์เนียนเป็นผลหารของสองเวกเตอร์พีชคณิตของ quaternions สามารถระบุ โดย H นอกจากนี้ โดยการคลิฟฟอร์ดพีชคณิต classifi-เป็นของหายาก Cl0,2(R) ∼ = Cl03,0(R) กำหนดไว้ในแบบเป็นควอเทอร์เนียน(1.1) q = q0 + iq1 + jq2 + kq3ที่ q0, q1, q2, q3 เป็นจำนวนจริงและ i, j, k เป็นราคาพื้นฐานมาตรฐาน orthonormal ในR3 ซึ่งเป็นไปตามกฎการคูณควอเทอร์เนียนเป็นฉัน2 = j2 = k2 = −1ij แค = −ji = k, jk = −kj =ฉัน ki = −ik =เจสามารถเขียนเป็นคิวควอเทอร์เนียนq =ตร. + แรมโลว์Sq = q0 และแรมโลว์ = iq1 + jq2 + kq3 ตร.จะเรียกว่าที่นี่ส่วนสเกลาและแรมโลว์จะเรียกว่าเวกเตอร์หนึ่งคิวควอเทอร์เนียน ถ้าสอง quaternions q = q0 + iq1 +jq2 + kq3 และ p = p0 + ip1 + jp2 + kp3 แล้วการบวก และการลบของพวกเขามีq ∓ p = (q0 ∓ p0) ฉัน (ไตรมาสที่ 1 ∓ p1) + j (p 2 ∓ q2) + k (q3 ∓ p3)และการคูณq.p = q0p0 − (q1p1 + q2p2 + q3p3)+ ฉัน (q0p1 + q1p0 + q2p3 − q3p2)เจ + (q0p2 + q2p0 + q3p1 − q1p3)+ k (q0p3 + q3p0 + q1p2 − q2p1)ค่าสังยุคของคิวควอเทอร์เนียน = q0 iq1 + jq2 + kq3 จะได้รับ โดย qq = q0 − iq1 − jq2 − kq3

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

1. บทนำ
quaternions เป็นระบบตัวเลขที่ขยายไปถึงตัวเลขที่ซับซ้อน.
พวกเขาเป็นสมาชิกของพีชคณิต noncommutative
คิดค้นครั้งแรกโดยวิลเลียมโรวันแฮมิลตันในปี1843 แฮมิลตันที่กำหนดไว้ quaternion เป็นความฉลาดของสองเวกเตอร์.
พีชคณิตของ quaternions จะแสดงโดย เอชโดยพีชคณิต Clifford classifi-
ไพเพอร์ Cl0,2 (R) ~ = Cl0
3,0
(R) quaternion ถูกกำหนดไว้ในแบบฟอร์ม
(1.1) Q = Q0 + iq1 + jq2 + kq3
ที่ Q0, ไตรมาสที่ 1 ไตรมาสที่ 2 ไตรมาสที่ 3 เป็นจำนวนจริงและฉัน j, k เป็นพื้นฐาน orthonormal มาตรฐาน
R
3 ซึ่งตอบสนองกฎคูณ quaternion เป็น
ฉัน
2 = ญ
2 = k
2 = -1
เจ -ji = = k, JK -kj = = i, ki = -ik = j.
คิว quaternion
สามารถเขียนเป็นคิว= Sq + Vq
ที่ Sq = Q0 และ Vq = iq1 + + kq3 jq2 ตารางที่นี่จะเรียกว่าเป็นส่วนหนึ่งเกลาและ Vq
เรียกว่าเป็นส่วนหนึ่งของเวกเตอร์ quaternion คิว หากทั้งสอง quaternions มีคิว = Q0 + iq1 +
jq2 + kq3 และ p = p0 + IP1 + JP2 + kp3
แล้วนอกจากนี้และการลบของพวกเขาเป็นคิว∓
p = (Q0 ∓ p0) + i (q1 ∓ p1) + เจ (q2 ∓ p2) + k (q3 ∓ p3)
และการคูณเป็น
QP = q0p0 - (q1p1 + q2p2 + q3p3)
+ i (q0p1 + q1p0 + q2p3 - q3p2)
+ เจ (q0p2 + q2p0 + q3p1 - q1p3)
+ k. (+ q3p0 q0p3 + q1p2 - q2p1)
ผันคิว quaternion เครื่องหมาย = Q0 + iq1 jq2 + + kq3 จะได้รับโดย q;
คิว = Q0 - iq1 - jq2 - kq3

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

1 . บทนำ
ควอเทอร์เนียนเป็นจำนวนระบบที่ขยายไปถึงตัวเลขที่ซับซ้อน .
พวกสมาชิกมูลฐานของพีชคณิตแรกที่คิดค้นโดย William Rowan Hamilton ใน 1843
. แฮมิลตันกำหนดควอเทอร์เนียนเป็นหารของเวกเตอร์ทั้งสอง .
พีชคณิตของควอเทอร์เนียนเขียนโดย H , โดยคลิฟฟอร์ด พีชคณิต classifi -
แคต cl0,2 ( R ) ∼ = cl0
3,0
( R )เป็นอัลเทอร์เนทีฟที่กำหนดไว้ในแบบฟอร์ม
( 1.1 ) Q = q0 iq1 jq2 kq3
ที่ q0 Q1 , Q2 , Q3 ตัวเลขที่แท้จริง , และฉัน , J , K เป็นพื้นฐานการทมาตรฐาน
r
3 ซึ่งเป็นไปตามกฎการคูณควอเทอร์เนียน
ผม
2 = J
2 = k
2 = − 1
ij = −จี = k , JK = − KJ = ฉัน คิ = − ik = J .
อัลเทอร์เนทีฟ Q สามารถเขียนเป็นตาราง vq
Q =
= = และที่ตาราง q0 vq iq1 jq2 kq3 .ที่นี่ตารางเรียกว่า สเกลาร์และเวกเตอร์ vq
เรียกว่าส่วนของอัลเทอร์เนทีฟ ถ้าสองควอเทอร์เนียนมี Q = q0 iq1
jq2 kq3 และ P = P0 ip1 ภาพ kp3 แล้วการบวกและการลบของพวกเขาคือ
q
∓ P = ( q0 ∓ P0 ) I ( Q1 ∓ P1 ) เจ ( 2 ∓ P2 ) K ( Q3 ∓ P3 )

และการคูณคือ q.p = q0p0 − ( q1p1 q2p2 q3p3 )
( q0p1 q1p0 q2p3 − q3p2 )
J ( q0p2 q2p0 q3p1 − q1p3 )
K ( q0p3 q3p0 q1p2 − q2p1 )
) ของอัลเทอร์เนทีฟ Q = q0 iq1 jq2 kq3 ให้ Q ;
Q = q0 −−− kq3
iq1 jq2 .