Examples of functions over the real

Examples of functions over the reals include (many-to-one), (one-to-one), (two-to-one except for the single point ), etc.
Unfortunately, the term "function" is also used to refer to relations that map single points in the domain to possibly multiple points in the range. These "functions" are called multivalued functions (or multiple-valued functions), and arise prominently in the theory of complex functions, where the presence of multiple values engenders the use of so-called branch cuts.
Several notations are commonly used to represent (non-multivalued) functions. The most rigorous notation is , which specifies that is function acting upon a single number (i.e., is a univariate, or one-variable, function) and returning a value . To be even more precise, a notation like " , where " is sometimes used to explicitly specify the domain and codomain of the function. The slightly different "maps to" notation is sometimes also used when the function is explicitly considered as a "map."
Generally speaking, the symbol refers to the function itself, while refers to the value taken by the function when evaluated at a point . However, especially in more introductory texts, the notation is commonly used to refer to the function itself (as opposed to the value of the function evaluated at ). In this context, the argument is considered to be a dummy variable whose presence indicates that the function takes a single argument (as opposed to , etc.). While this notation is deprecated by professional mathematicians, it is the more familiar one for most nonprofessionals. Therefore, unless indicated otherwise by context, the notation is taken in this work to be a shorthand for the more rigorous .

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ตัวอย่างของฟังก์ชันมากกว่าเป็นเงินเรีการรวม (หลายที่หนึ่ง), (one-to-one), (สองไปหนึ่งยกเว้นจุดเดียว), เป็นต้นอับ คำว่า "ฟังก์ชัน" ยังถูกใช้เพื่ออ้างอิงถึงความสัมพันธ์ที่แผนที่จุดเดียวในโดเมนอาจจะหลายจุดในช่วง "ฟังก์ชัน" เหล่านี้เรียกว่าฟังก์ชันหลายค่า (หรือฟังก์ชันหลายค่า), และเกิดขึ้นอย่างเด่นชัดในทฤษฎีของฟังก์ชันที่ซับซ้อน ที่ของค่าหลายค่าที่นำไปสู่การใช้ตัดเรียกว่าสาขาสัญลักษณ์หลายใช้กันทั่วไปเพื่อแสดงฟังก์ชัน (ที่ไม่ใช่หลายค่า) สัญกรณ์อย่างเข้มงวดคือ ซึ่งระบุเป็นเลขเดี่ยวทำฟังก์ชัน (เช่น เป็นไร univariate หรือตัวแปรเดียว ฟังก์ชัน) และค่ากลับ จะแม่นยำมากขึ้น ต้องมี ที่"บางครั้งใช้ในการระบุโดเมนและ codomain ของฟังก์ชันอย่างชัดเจน สัญกรณ์ที่แตกต่าง "แผนที่ไป" บางครั้งยังใช้เมื่อฟังก์ชันอย่างชัดเจนถือว่าเป็นการ "แผนที่"โดยทั่วไป สัญลักษณ์หมายถึงการทำงานตัวเอง ขณะที่อ้างถึงค่าดำเนินการ โดยฟังก์ชันเมื่อประเมินที่จุดนี้ อย่างไรก็ตาม โดยเฉพาะอย่างยิ่งในข้อแนะนำเพิ่มเติม เครื่องหมายถูกใช้เพื่ออ้างอิงถึงฟังก์ชันเอง (เมื่อเทียบกับค่าของฟังก์ชันการประเมินที่) ในบริบทนี้ อาร์กิวเมนต์ถือว่าเป็นตัวแปรดัมมี่สถานะที่บ่งชี้ว่า ฟังก์ชันใช้อาร์กิวเมนต์ตัวเดียว (เมื่อเทียบกับ ฯลฯ) ขณะนี้ไม่สนับสนุนแล้ว โดย mathematicians อาชีพ มันเป็นหนึ่งคุ้นเคยสำหรับ nonprofessionals ส่วนใหญ่ ดังนั้น เว้นแต่ระบุไว้เป็นอื่นตามบริบท สัญกรณ์ที่จะนำมาในงานนี้จะ ย่ออย่างเข้มงวดมากขึ้นสำหรับการ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ตัวอย่างของการทำงานมากกว่า reals ได้แก่ (หลายต่อหนึ่ง), (One-to-เดียว), (สองต่อหนึ่งยกเว้นจุดเดียว) ฯลฯ
แต่น่าเสียดายที่คำว่า "ฟังก์ชั่น" นอกจากนี้ยังใช้ในการอ้าง ความสัมพันธ์ที่แมจุดเดียวในโดเมนไปยังจุดที่อาจเป็นไปได้หลายรายการในช่วง เหล่านี้ "ฟังก์ชั่น" จะเรียกว่าฟังก์ชั่นที่มีหลายค่า (หรือฟังก์ชั่นหลายมูลค่า) และเกิดขึ้นอย่างเด่นชัดในทฤษฎีของการทำงานที่ซับซ้อนที่การปรากฏตัวของค่าหลายแปลกใจการใช้สิ่งที่เรียกว่าตัดสาขา.
หลายข้อความที่ใช้กันโดยทั่วไปจะเป็นตัวแทน ( ไม่ใช่มีหลาย) ฟังก์ชั่น สัญกรณ์อย่างเข้มงวดมากที่สุดคือซึ่งระบุว่าเป็นฟังก์ชั่นการปฏิบัติตามหมายเลขเดียว (เช่นเป็น univariate หรือหนึ่งตัวแปรฟังก์ชั่น) และกลับมาเป็นค่า จะยิ่งแม่นยำมากขึ้นสัญกรณ์เช่น "ที่" บางครั้งจะใช้ในการระบุอย่างชัดเจนโดเมนและโคโดเมนของฟังก์ชั่นที่ ว่า "แผนที่ที่" แตกต่างกันเล็กน้อยสัญกรณ์เป็นบางครั้งยังใช้ฟังก์ชั่นเมื่อมีการพิจารณาอย่างชัดเจนว่าเป็น "แผนที่."
พูดโดยทั่วไปสัญลักษณ์หมายถึงฟังก์ชั่นของตัวเองในขณะที่อ้างถึงค่าดำเนินการโดยฟังก์ชั่นเมื่อประเมินที่จุด แต่โดยเฉพาะอย่างยิ่งในตำราเบื้องต้นมากขึ้นสัญกรณ์เป็นที่นิยมใช้ในการอ้างถึงฟังก์ชั่นของตัวเอง (เมื่อเทียบกับค่าของฟังก์ชั่นการประเมินที่) ในบริบทนี้อาร์กิวเมนต์จะถือเป็นตัวแปรดัมมี่ที่มีการปรากฏตัวบ่งชี้ว่าฟังก์ชั่นใช้เวลาอาร์กิวเมนต์เดียว (เมื่อเทียบกับอื่น ๆ ) ในขณะที่เครื่องหมายนี้จะเลิกโดยนักคณิตศาสตร์มืออาชีพก็เป็นหนึ่งที่คุ้นเคยมากขึ้นสำหรับ nonprofessionals มากที่สุด ดังนั้นเว้นแต่ที่ระบุไว้เป็นอย่างอื่นโดยบริบทสัญกรณ์จะมาในงานนี้จะเป็นชวเลขอย่างเข้มงวดมากขึ้น

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ตัวอย่างของฟังก์ชันที่เหนือจริงรวมถึง ( หลายอัน ) , ( หนึ่ง ) ( สองต่อหนึ่ง ยกเว้นจุดเดียว ) ฯลฯแต่คำว่า " หน้าที่ " ถูกใช้เพื่ออ้างถึงความสัมพันธ์ที่จุดในแผนที่เดียวโดเมนอาจจะหลายจุดในช่วง เหล่านี้เรียกว่า " ฟังก์ชัน " multivalued ฟังก์ชัน ( หรือหลายฟังก์ชันค่า ) และเกิดขึ้นอย่างเด่นชัดในทฤษฎีของฟังก์ชันที่ซับซ้อน ซึ่งการปรากฏตัวของค่าหลายค่า engenders ใช้ตัดกิ่งที่เรียกว่าหลายข้อความมักใช้แทน ( ไม่ multivalued ) ฟังก์ชัน เอกสารที่เข้มงวดมากที่สุด ซึ่งระบุว่า เป็นฟังก์ชันที่แสดงบนหมายเลขเดียว ( เช่น เป็นประชากร หรือหนึ่งตัวแปร , ฟังก์ชั่น ) และการคืนค่า จะแม่นยำมากขึ้นสัญกรณ์ " ที่ " บางครั้งใช้อย่างชัดเจนระบุโดเมนและโคโดเมนของฟังก์ชัน " แผนที่แตกต่างกันเล็กน้อย " โน้ต คือบางครั้งยังใช้เมื่อฟังก์ชันนั้นถือว่าเป็น " แผนที่ " .โดยทั่วไปการพูด , สัญลักษณ์หมายถึงฟังก์ชันนั่นเอง ในขณะที่ หมายถึง ค่าถ่ายโดยฟังก์ชันเมื่อประเมินในประเด็น อย่างไรก็ตาม , โดยเฉพาะอย่างยิ่งในข้อความเบื้องต้นเพิ่มเติม เอกสารที่ใช้กันทั่วไปเพื่ออ้างอิงถึงฟังก์ชันเอง ( เมื่อเทียบกับค่าของฟังก์ชันการประเมินผลที่ ) ในบริบทนี้อาร์กิวเมนต์ถือเป็นตัวแปรหุ่นที่แสดงตนซึ่งบ่งชี้ว่า การทำงานต้องใช้อาร์กิวเมนต์เดียว ( เป็นนอกคอก ฯลฯ ) ในขณะที่โน้ตนี้เป็นปฏิเสธโดยนักคณิตศาสตร์มืออาชีพจะคุ้นเคยมากขึ้นสำหรับ nonprofessionals ที่สุด ดังนั้น เว้นแต่ระบุเป็นอย่างอื่นโดยบริบท ใช้ถ่ายในงานนี้เป็นชวเลขสำหรับเพิ่มเติมอย่างเข้มงวด