Since the Lagrangian depends explic

Since the Lagrangian depends explicitly on time, we know that the energy function is
not conserved:
dh
dt
= −
@L
@t
= −ml ˙ (¨X cos  + ¨ Y sin ) − m˙R · ¨R − mg˙Y
We can also use this result to calculate the rate of change in the mechanical energy:
E = h + ml ˙ ( ˙X cos  − ˙Y sin ) + mV 2
dE
dt
= dh
dt
+ d
dt

ml ˙ ( ˙X cos  − ˙Y sin ) + mV 2

= −mg˙Y + ml¨( ˙X cos  − ˙Y sin ) − ml ˙ 2( ˙X sin  + ˙Y cos ) + m˙R · ¨R
which is of course the same expression we had obtained earlier.
Let us look at some particular cases:
• Small angle approximation:   1
The Lagrangian is
L =
1
2ml2 ˙ 2 + ml ˙ ( ˙X cos  − ˙Y sin ) +
1
2m( ˙X 2 + ˙Y 2) + mgl cos  + mgY

1
2ml2˙2 −
1
2mgl2 + ml ˙ ( ˙X − ˙Y ) +
1
2mV 2 + mgl
The equation of motion is
d
dt
@L
@˙
−
@L
@
= ml2 ¨ + ml(¨X − ¨ Y ) + mgl
0 = l¨ + ¨X + (g − ¨ Y )
The equation of motion does not necessarily with periodic solutions, unless ¨X = 0
and ¨ Y is constant, in which case the oscillations have a frequency !2 = (g − ¨ Y )/l.
The frequency increases if the motion is accelerated down (in the same direction than
gravity), or lower if the support is accelerated upwards.
The energy is
E = =
1
2ml2˙2 +
1
2mV 2 + ml ˙ ( ˙X cos  − ˙Y sin ) − mgl cos  − mgY

1
2ml2˙2 +
1
2mgl2 + ml ˙ ( ˙X − ˙Y ) +
1
2mV 2 − mgY − mgl
The rate of change in energy is
dE
dt
= −mg˙Y + ml¨( ˙X cos  − ˙Y sin ) − ml ˙ 2( ˙X sin  + ˙Y cos ) + m˙R · ¨R
 l¨ ˙X − mg˙Y + m˙R · ¨R

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ตั้งแต่ Lagrangian ชัดเจนขึ้นกับเวลา เรารู้ว่า ฟังก์ชันพลังงานไม่อยู่:dhdt= −@L@t= −ml ˙ (¨X cos sin เลขจด Y +) − m˙R · ¨R − mg˙Yนอกจากนี้เรายังสามารถใช้ผลนี้ในการคำนวณอัตราการเปลี่ยนแปลงพลังงานกล:E = h + ml ˙ (˙X cos − ˙Y บาป) + mV 2เดอdtdh =dtd +dtml ˙ (˙X cos − ˙Y บาป) + mV 2= −mg˙Y + ml¨ (˙X cos − ˙Y บาป) − ml ˙ 2 (˙X บาป + ˙Y cos) + m˙R · ¨Rแน่นอนซึ่งเป็นนิพจน์เดียวกันที่เราได้รับก่อนหน้านี้ให้เราดูบางกรณีเฉพาะ:•มุมที่มีขนาดเล็กประมาณ: 1Lagrangian เป็นL =1˙มล 2 2 2 + ml ˙ (˙X cos − ˙Y sin) +1ม. 2 (˙X 2 + ˙Y 2) + mgl cos + mgY1− 2ml 2 ˙212mgl 2 + ml ˙ (˙X − ˙Y) +12mV 2 + mglสมการของการเคลื่อนไหวคือddt@L@˙−@L@=เลขจด ml2 ml (เลขจด ¨X − Y) + mgl0 = l¨ + ¨X + (g − ¨ Y )สมการของการเคลื่อนไหวไม่จำเป็นต้อง มีโซลูชั่นเป็นครั้งคราว นอกจาก ¨X = 0และเลขจด Y เป็นค่าคง ในกรณี ที่แกว่งมีความถี่! 2 = (g −เลขจด Y) / lความถี่มากขึ้นถ้าการเคลื่อนไหวจะเร่งลง (ในทิศทางเดียวกันมากกว่าแรงโน้มถ่วง), หรือต่ำกว่าถ้าการสนับสนุนเร่งรัดขึ้นพลังงานเป็นE = =12ml 2 ˙2 +12mV 2 + ml ˙ (˙X cos − ˙Y บาป) − mgl cos − mgY12ml 2 ˙2 +12mgl 2 + ml ˙ (˙X − ˙Y) +12mV 2 − mgY − mglอัตราการเปลี่ยนพลังงานเดอdt= −mg˙Y + ml¨( ˙X cos  − ˙Y sin ) − ml ˙ 2( ˙X sin  + ˙Y cos ) + m˙R · ¨R l¨ ˙X − mg˙Y + m˙R · ¨R

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เมื่อลากรางเจียนขึ้นอย่างชัดเจนในเวลาเรารู้ว่าฟังก์ชันพลังงานอนุรักษ์ :


ไม่ใช่ DH DT

@
@ = − l T
= − ml ˙  ( ตั้ง x cos  ตั้ง Y บาป  ) − M R ด้วย˙ตั้ง R −มิลลิกรัม˙ Y
นอกจากนี้เรายังสามารถใช้ ผลการคํานวณอัตราของการเปลี่ยนแปลงพลังงานกล :
E = H ml ˙  ( ˙ x cos −  ˙ Y บาป  ) MV 2


=
DT เดอ dh DT
D


˙  DT  มิลลิลิตร ( ˙ x cos −  ˙ Y บาป  ) เพลง 2

= −มิลลิกรัม˙ Y มลตั้ง  ( ˙ x cos −  ˙ Y บาป  ) − ml ˙  2 ( ˙ x บาป  ˙ Y เพราะ  ) M ˙ตั้ง R
R ด้วย ซึ่งแน่นอนว่าความรู้สึกเดียวกันกับเราได้ก่อน ให้เราดูที่บางส่วนโดยเฉพาะ

แต่ละกรณี : การประมาณมุมเล็ก :   1

ลากรางเจียนเป็น L =
1
2ml2 ˙  2 ml ˙  ( ˙ x cos −  ˙บาป  y )
1
2 M ( ˙ x 2 ˙ Y 2 ) มิลลิกรัมต่อลิตร เพราะ  mGy

1
2ml2  ˙ 2 − 1

2mgl  2 ml ˙  ( ˙ x y −˙  )
1
2mv 2 มิลลิกรัมต่อลิตร สมการของการเคลื่อนไหวเป็น

D
L
@  DT
@

@ ˙− l
@
= ml2  ตั้ง  ml ( ตั้ง x y −ตั้ง  ) มิลลิกรัมต่อลิตร 
0 = L ตั้ง  ตั้ง X ( G −ตั้ง Y ) 
สมการของการเคลื่อนไหว ไม่จําเป็นต้องมีโซลูชั่นเป็นระยะ นอกจากตั้ง x และ y = 0 =
ตั้งคงที่ ซึ่งในกรณีที่การสั่นมีความถี่ ! 2 = ( G −ตั้ง y ) / L .
ความถี่เพิ่มขึ้น หากการเคลื่อนไหวเร่งลง ( ในทิศทางเดียวกันมากกว่า
แรงโน้มถ่วง )หรือต่ำกว่าถ้าสนับสนุนที่เร่งขึ้น พลังงาน E =

=
1
2ml2  ˙ 2
1
2mv 2 ml ˙  ( ˙ x cos −  ˙ Y บาป  ) cos −−มิลลิกรัมต่อลิตร  mGy

1
2ml2  ˙ 2
1
2mgl  2 มล ˙  ( ˙ x y −˙  )
1
2mv mGy −− 2 มิลลิกรัมต่อลิตร อัตราของการเปลี่ยนแปลงพลังงาน



= คือเด DT −มิลลิกรัม˙ Y มลตั้ง  ( ˙ x cos −  ˙ Y บาป  ) − ml ˙  2 ( ˙ x บาป  ˙ Y เพราะ  ) M ˙ R ด้วยตั้ง R
 ผมตั้ง  ˙ x มก. −˙ Y M ˙ตั้ง R R ด้วย