In 1965, Zadeh [7] introduced the c

In 1965, Zadeh [7] introduced the concept of fuzzy sets which formed the
fundamental of fuzzy mathematics. The fuzzy matrices introduced first time by
Thomason [5], and he discussed about the convergence of powers of fuzzy matrix.
Cen [2] introduced T-ordering in fuzzy matrices and discussed the relationship
between the T- ordering and the generalized inverses. Meenakshi. AR and Inbam.
C [3] studied the minus ordering for fuzzy matrices and proved that the minus
ordering is a partial ordering in the set of all regular fuzzy matrices. Atanassov [1]
introduced and studied the concept of intuitionistic fuzzy sets as a generalization of
fuzzy sets. Using the idea of intuitionistic fuzzy sets Im and Lee [6] defined the
concept of intuitionistic fuzzy matrix as a natural generalization of fuzzy matrices
and they introduced the determinant of square intuitionistic fuzzy matrix. Susanta
K. Khan and Anita Pal [4] introduced the concept of generalized inverses for
intuitionistic fuzzy matrices, minus partial ordering and studied several properties
of it.
Definition 1.1: An m x n matrix A = (aij
) whose components are in the unit interval
[0,1] is called a fuzzy matrix.
Definition 1.2[6]: An intuitionistic fuzzy matrix (IFM) A is a matrix of pairs
A= (aij
, a ij
’) of non-negative real numbers satisfying aij
+aij
’ ≤ 1 for all i, j.
The matrix operations
A+B= [max {aij
, bij}, min {aij
’, bij
’}]
AB = [ max { min {aik, bkj}}, min{max {aik’, bkj
’}}]
are defined for given IFMs A, B. The addition is defined for IFMs of same order,
the product AB is defined if and only if the number of columns of A is same as the
number of rows of B, A and B are said to be conformable for multiplication. ₣mn
denote the set of all intutionistic fuzzy matrices of order m x n. If m = n, then ₣n
denote the set of all square IFMs of order n.
Definition 1.3[4] : A matrix A∈₣mn
is said to be regular if there exists X∈₣nm
such that AXA=A. In this case X is called a generalized inverse (g-inverse) of A
and it is denoted by A
−
. A{1} denotes the set of all g – inverses of A.
Definition 1.4: For the intuitionistic fuzzy matrices A and B of order m x n, the
minus ordering is defined as A≤
−
B if and only if A
−
A = A
−
B and AA
−
= B A
−
for
some A
−
∈A{1}. ₣mn
−
={A∈₣mn | A has a g_inverse}.
Property 1:[4].The following are equivalent for A and B in ₣mn
i) A≤
−
B
i i) A=A A
−
B= BA
−
B.
Property 2.[4]. In ₣mn
−
, the minus ordering ≤
−
is a partial ordering.
Preliminaries
In this section, we define the various g-inverses of IFMs and left, right cancelable
IFMs. Also, we discuss existence of the generalized inverses and the relation
between the minus-ordering and the Moore-Penrose inverse.
Definition 2.1: For an IFM A of order m x n, an IFM G of order n x m is said to
be
{1, 2}-inverse or semi inverse of A , if
AGA = A and GAG = G (1.1)
G is said to be {1,3}-inverse or a least square g-inverse of A ,if
AGA = A and (AG)
T
= AG (1.2)
G is said to be {1,4}-inverse or a minimum norm g-inverse of A ,if

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ในปี 1965, Zadeh [7] นำแนวคิดของชุดเลือนที่เกิดขึ้น พื้นฐานของคณิตศาสตร์ที่พร่าเลือน ครั้งแรกโดยนำเมทริกซ์พร่าเลือน Thomason [5], และเขากล่าวถึงเกี่ยวกับการบรรจบกันของอำนาจของเมทริกซ์พร่าเลือน Cen [2] แนะนำสั่งซื้อ T ในเมทริกซ์พร่าเลือน และกล่าวถึงความสัมพันธ์ ระหว่าง T - ลำดับและ inverses ทั่วไป Meenakshi AR และ Inbam C [3] ศึกษาการสั่งซื้อเครื่องหมายลบสำหรับเมทริกซ์ที่พร่าเลือน และพิสูจน์แล้วว่าที่เครื่องหมายลบ การสั่งซื้อคือ สั่งซื้อบางส่วนในชุดของเมทริกซ์เลือนปกติทั้งหมด Atanassov [1] ศึกษา และนำแนวคิดของ intuitionistic เลือนตั้งเป็นในลักษณะทั่วไปของ ชุดเลือน ใช้ความคิดของ intuitionistic ชุดเลือน Im และลี [6] ที่กำหนดให้ แนวคิดของ intuitionistic เลือนเมทริกซ์เป็นลักษณะทั่วไปเป็นธรรมชาติของเมทริกซ์พร่าเลือน และพวกเขานำดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์เลือน intuitionistic สี่เหลี่ยม Susanta คุณคานและ Pal ที [4] นำแนวคิดของ inverses ทั่วไปสำหรับ intuitionistic เมทริกซ์เลือน ลบการสั่งซื้อบางส่วน และศึกษาคุณสมบัติหลาย ๆ ของมัน ข้อกำหนดที่ 1.1: m x n เมทริกซ์ A = (aij) มีส่วนประกอบที่อยู่ในช่วงหน่วย [0, 1] เรียกว่าเมทริกซ์เลือนข้อกำหนดที่ 1.2 [6]: เมทริกซ์การเลือน intuitionistic (IFM) A เป็นเมทริกซ์ของคู่ = (Aij, ij เป็น') ของจำนวนจริงไม่เป็นลบภิรมย์ aij + aij' ≤ 1 สำหรับทุก i, j การดำเนินการของเมทริกซ์ A + B = [สูงสุด {aij, bij }, {aij นาที', bij’}] AB = [สูงสุดนาที {min {aik, bkj } }, {สูงสุด { aik', bkj’}}] กำหนดไว้สำหรับกำหนด IFMs A, b นอกเหนือจากที่กำหนดสำหรับ IFMs ของลำดับเดียว กำหนดผลิตภัณฑ์ AB ถ้าหากจำนวนคอลัมน์ของ A จะเหมือนกับการ จำนวนแถวของ B, A และ B จะกล่าวว่า เป็นไร้การคูณ ₣mnแสดงชุดของเมทริกซ์เลือน intutionistic ทั้งหมดของสั่ง m x n ถ้า m = n แล้ว ₣nแสดงชุดของตารางทั้งหมดของ n IFMsนิยาม 1.3 [4]: เมทริกซ์ A∈₣mn กล่าวจะปกติถ้ามี X∈₣nmเช่นที่แอกซ่า = A ในกรณีนี้ X เรียกว่าผกผันทั่วไป (g-ผกผัน) ของ A และมันจะเขียนแทน ด้วย A−. มี { 1 } หมายถึงชุดของ g ทั้งหมด – inverses ของอ. ข้อกำหนดที่ 1.4: สำหรับ intuitionistic เลือนเมทริกซ์ A และ B ของสั่ง m x n การ ลบการสั่งซื้อมีกำหนดเป็น A≤−B ถ้าหาก A−A = A−B และ AA− = B A− สำหรับ A บาง−∈A { 1 } ₣mn−= { A∈₣mn | มีการ g_inverse } คุณสมบัติ 1: [4] ต่อไปนี้เทียบเท่าสำหรับ A และ B ใน ₣mn i) A≤−B ฉันฉัน) A = A A−B = BA−B คุณสมบัติ 2 [4] ใน ₣mn−≤สั่งเครื่องหมายลบ− จะสั่งซื้อบางส่วนขั้น ในส่วนนี้ เรากำหนด g inverses ต่าง ๆ ของ IFMs และซ้าย ขวาซึ่งสามารถยกเลิก IFMs ด้วย เราหารือการดำรงอยู่ของ inverses ทั่วไปและความสัมพันธ์ ระหว่างการสั่งซื้อเครื่องและผกผัน Penrose มัวร์ นิยาม 2.1: สำหรับ A IFM ของสั่ง m x n แบบ G IFM ของ m n x สั่งกล่าวว่า มี {1, 2 } -ผกผันหรือกึ่งผกผันของ A ถ้า เอ = A และแก๊ก = G (1.1) ก.กล่าวได้ว่า { 1, 3 } ผกผันหรือตารางน้อย g-ผกผันของ A ถ้า เอ = A และ (AG)T = AG (1.2) ก.กล่าวได้ว่า { 1, 4 } ผกผันหรือการบรรทัดฐานขั้นต่ำ g ผกผันของ A ถ้า

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ในปี 1965 Zadeh [7] นำแนวคิดของชุดเลือนที่เกิดขึ้นใน
พื้นฐานของคณิตศาสตร์เลือน เมทริกซ์เลือนแนะนำเป็นครั้งแรกโดย
[5] สันและเขากล่าวถึงเกี่ยวกับการบรรจบกันของอำนาจของเมทริกซ์เลือน
CEN [2] แนะนำ T-การสั่งซื้อในการฝึกอบรมเลือนและกล่าวถึงความสัมพันธ์
ระหว่างการสั่งซื้อ T- และแปรผกผันกันทั่วไป Meenakshi AR และ Inbam
C [3] การศึกษาสั่งลบสำหรับการฝึกอบรมเลือนและพิสูจน์ให้เห็นว่าลบ
การสั่งซื้อสั่งซื้อเป็นบางส่วนอยู่ในชุดของการฝึกอบรมเลือนปกติ Atanassov [1]
แนะนำและศึกษาแนวคิดของชุดเลือน intuitionistic เป็นลักษณะทั่วไปของ
ชุดเลือน การใช้ความคิดของ intuitionistic เลือนชุด IM และลี [6] กำหนด
แนวคิดของเมทริกซ์เลือน intuitionistic เป็นลักษณะทั่วไปตามธรรมชาติของการฝึกอบรมเลือน
และพวกเขาแนะนำให้รู้จักกับปัจจัยของเมทริกซ์จัตุรัสเลือน intuitionistic Susanta
เคข่านและแอนนิต้า Pal [4] นำแนวคิดของแปรผกผันกันทั่วไปสำหรับ
การฝึกอบรมเลือน intuitionistic ลบบางส่วนการสั่งซื้อและการศึกษาคุณสมบัติหลาย ๆ อย่าง
ของมัน
นิยาม 1.1: การ MXN เมทริกซ์ A = (AIJ
) ที่มีส่วนประกอบอยู่ในช่วงเวลาที่หน่วย
[0,1] เรียกว่าเมทริกซ์เลือน
นิยาม 1.2 [6]: เมทริกซ์เลือน intuitionistic (IFM) A เป็นเมทริกซ์ของคู่
A = (AIJ
เป็น IJ
') ของตัวเลขที่ไม่ใช่เชิงลบจริงพอใจ AIJ
+ AIJ
' ≤ 1 สำหรับทุก I, J
การดำเนินงานของเมทริกซ์
A + B = [Max {AIJ
, bij} นาที {AIJ
'bij
'}]
AB = [Max {นาที {AIK, BKJ}} นาที {สูงสุด {AIK 'BKJ
'}}]
มี กำหนดไว้สำหรับรับ IFMs A, บีนอกจากนี้จะถูกกำหนดไว้สำหรับ IFMs ของคำสั่งเดียวกัน
สินค้า AB จะถูกกำหนดและถ้าหากจำนวนคอลัมน์ของเป็นเช่นเดียวกับ
จำนวนแถวของ B, A และ B จะกล่าวว่าเป็น คล้อยตามการคูณ ₣ MN
แสดงว่าชุดของการฝึกอบรมเลือน intutionistic ของการสั่งซื้อ MX เอ็น ถ้า m = n แล้ว₣ n
แสดงว่าชุดของตาราง IFMs ทั้งหมดของการสั่งซื้อที่ n
นิยาม 1.3 [4]: เมทริกซ์A∈₣ MN
กล่าวจะเป็นปกติถ้ามีX∈₣นาโนเมตร
เช่นที่แอกซ่า = a ในกรณีนี้ X เรียกว่ากลับกันทั่วไป (G-ผกผัน) ของ
และมันจะเขียนแทนด้วย-

ก {1} หมายถึงชุดของทุกกรัม - แปรผกผันกันของเอ
นิยาม 1.4: สำหรับการฝึกอบรม intuitionistic เลือน A และ B ของ MXN คำสั่งที่
สั่งซื้อลบถูกกำหนดให้เป็นA≤
-
B และถ้าหาก
-
A =
-
บีและเอเอ
-
= ปริญญาตรี
-
สำหรับ
บาง
-
∈A {1} ₣ MN
-
= {A∈₣ล้าน | A มี g_inverse A}
ทรัพย์สินที่ 1: [4] ได้โดยเริ่มต้นต่อไปนี้จะเทียบเท่า A และ B ใน₣ MN
i) A≤
-
B
ii) = AA
-
B = ปริญญาตรี
-
บี
ทรัพย์สิน 2. [4] ใน₣ MN
-
ที่≤ลบการสั่งซื้อ
-
คือการสั่งซื้อบางส่วน
รอบคัดเลือกโซน
ในส่วนนี้เรากำหนดต่างๆ G-แปรผกผันของ IFMs และซ้ายขวายกเลิก
IFMs นอกจากนี้เรายังหารือเกี่ยวกับการดำรงอยู่ของแปรผกผันกันทั่วไปและความสัมพันธ์
ระหว่างลบการสั่งซื้อและผกผันมัวร์-เพนโรส
ความหมายที่ 2.1: สำหรับ IFM A ใน MXN สั่งซื้อซึ่งเป็น IFM จี nxm เพื่อบอกว่าจะ
เป็น
{1, 2} ผกผัน -inverse หรือกึ่งถ้า
AGA = A และ GAG = G (1.1)
G กล่าวจะ {1,3} -inverse หรือน้อยตาราง G-ผกผันของถ้า
AGA = A และ (AG)
T
= AG (1.2)
G กล่าวจะ {1,4} -inverse หรือบรรทัดฐานขั้นต่ำ G-ผกผัน ของถ้า

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ในปี 1965 zadeh [ 7 ] แนะนำแนวคิดของฟัซซีเซตซึ่งเกิดคณิตศาสตร์พื้นฐานแบบฟัซซี่ เมทริกซ์เปิดตัวครั้งแรกโดยฟัซซี่ทอมป์สัน [ 5 ] และเขากล่าวถึงเกี่ยวกับการบรรจบกันของพลังแบบเมทริกซ์CEN [ 2 ] แนะนำ t-ordering ในแบบเมทริกซ์และกล่าวถึงความสัมพันธ์ระหว่าง T - สั่งและตรงกันข้ามทั่วไป . มีนา . AR และ inbam .C [ 3 ] เรียนลบการสั่งซื้อสำหรับเมทริกซ์และพิสูจน์แล้วว่าลบเลือนสั่งเป็นสั่งบางส่วนในชุดของเมทริกซ์แบบปกติทั้งหมด atanassov [ 1 ]แนะนำและศึกษาแนวคิดของ intuitionistic นัยทั่วไปของชุดฟัซซี่เซตแบบฟัซซี่ การใช้ความคิดของ intuitionistic ชุดฟัซซี่ อิม และ ลี [ 6 ] กำหนดแนวคิดของ intuitionistic ฟัซซีเมทริกซ์เป็นเมทริกซ์การธรรมชาติของฟัซซี่และพวกเขาให้กำหนดตาราง intuitionistic แบบเมทริกซ์ susantaK . ข่านและแอนนิต้าเพื่อน [ 4 ] แนะนำแนวคิดของนัยตรงกันข้ามสำหรับintuitionistic ฟัซซีเมทริกซ์ลบบางส่วนการสั่งซื้อและศึกษาคุณสมบัติหลาย ๆของมันนิยาม 1.1 : M x N = ( aij เมทริกซ์) ซึ่งเป็นส่วนประกอบในเครื่อง ช่วง[ 0.1 ] เรียกว่าเมทริกซ์แบบฟัซซี่ความละเอียด 1.2 [ 6 ] : เมทริกซ์แบบ intuitionistic ( IFM ) เป็นเมทริกซ์ของคู่= ( aij, IJ' ) ที่ไม่น่าพอใจ aij ตัวเลขจำนวนจริงลบ+ aij' ≤ 1 สำหรับผม เจส่วนการดำเนินการเมตริกซ์+ B = { aij [ แม็กซ์ใกล้กับ } { aij , มิน' , ใกล้กับ' } ]AB = [ Max { { ฮอกกี้ มิน , มิน bkj } } { { ฮอกกี้ bkj แม็กซ์ '' } } ]ถูกกำหนดเพื่อให้ ifms A , B . นอกจากนี้คือ การกำหนดสำหรับ ifms คำสั่งเดียวกันAB เป็นสินค้าที่กำหนด ถ้าและเพียงถ้าจำนวนคอลัมน์ของก็เหมือนกับจำนวนแถวของ B และ B เป็นเหมือนสำหรับการคูณ ₣ MNแทนเซตของเมทริกซ์ของ intutionistic ฟัซซี่เพื่อ M x N ถ้า m = n , n ₣แทนเซตของ ifms ตารางทั้งหมดของการสั่งซื้อ .ความละเอียด 1.3 [ 4 ] : เมทริกซ์∈₣ MNกล่าวว่าเป็นปกติ หากมีอยู่ x ∈₣นาโนเมตรเช่นว่า แอกซ่า = A . ในกรณีนี้ x เรียกว่านัยผกผัน ( g-inverse ) ของและเขียนโดยบริษัท เวสเทิร์น. เป็น { 1 } หมายถึงชุดของจี–ตรงกันข้ามของความละเอียด 1.4 : สำหรับ intuitionistic ฟัซซีเมทริกซ์ A และ B เพื่อ M x N ,ลบการสั่งซื้อ หมายถึง≤บริษัท เวสเทิร์นถ้าและเพียงถ้าบริษัท เวสเทิร์นA =บริษัท เวสเทิร์นB และ AAบริษัท เวสเทิร์น= bบริษัท เวสเทิร์นสำหรับบางเป็นบริษัท เวสเทิร์น∈เป็น { 1 } ₣ MNบริษัท เวสเทิร์น= { ∈₣ MN | มี g_inverse }คุณสมบัติ 1 : [ 4 ] . ต่อไปนี้เป็นเทียบเท่าสำหรับ A และ B ₣ MNฉัน ) ≤บริษัท เวสเทิร์นบีฉัน ) = เป็นบริษัท เวสเทิร์นb = bบริษัท เวสเทิร์นB .คุณสมบัติ 2 . [ 4 ] ใน₣ MNบริษัท เวสเทิร์นลบ≤ , การสั่งซื้อบริษัท เวสเทิร์นคือการสั่งซื้อบางส่วนรอบแรกในส่วนนี้เรากำหนด g-inverses ต่าง ๆและ cancelable ifms ซ้ายขวาifms . นอกจากนี้เรายังหารือเกี่ยวกับการดำรงอยู่ของตรงกันข้ามทั่วไปและความสัมพันธ์ระหว่างลบการสั่งซื้อและมัวร์ Penrose ผกผันความละเอียด 2.1 : การ IFM เป็นคำสั่ง M x N , IFM G เพื่อ n x M ว่าเป็น{ 2 } - ผกผันหรือกึ่งผกผันของถ้าอย่างไรก็ตาม = = กรัม ( 1.1 ) และ แก๊กกรัมเป็น { 1 , 3 } - ผกผันหรือกำลังสองน้อยที่สุด g-inverse ของถ้า= ( AG ) และสที= AG ( 1.2 )กรัมเป็น { 1 , 4 } - ผกผันหรือขั้นต่ำบรรทัดฐาน g-inverse ของถ้า