So we assume1+5+9+....(4k-3) = k(2k

So we assume

1+5+9+....(4k-3) = k(2k-1).

What we want to show is that if we substitute k+1 for n in

1+5+9+...(4n-3) = n(2n-1)

It will also work.

That is we want to show that based on the assumption that it
works for k, that we'll end up with this without the question
mark over the equal sign:

1+5+9+...+[4(k+1)-3] ≟ (k+1)[2(k+1)-1]

The question mark above the equal sign is to show that we
have not shown that yet. The above is what we must show.

We will simplify what we are to show:

1+5+9+...+[4k+4-3] ≟ (k+1)[2k+2-1]

1+5+9+...+(4k+1) ≟ (k+1)(2k+1)

1+5+9+...+(4k+1) ≟ 2k²+3k+1

Now we will show it. We start with:

1+5+9+...+(4k-3) = k(2k-1)

We add the k+1st term, which is (4k+1), to both sides,
and hope that the right side comes out to to the
expression above, which is 2k²+3k+1:

1+5+9+...+(4k-3)+(4k+1) = k(2k-1)+(4k+1)
1+5+9+...+(4k-3)+(4k+1) = 2k²-k+4k+1
1+5+9+...+(4k-3)+(4k+1) = 2k²+3k+1

So we have shown that if the formula works for some
value of n, say n=k, then it will always work for the
next integer n=k+1.

Therefore
Since we have shown it works for n=k=1, it works for n=k+1=2
Since it works for n=k+1=2, it works for n=k+2=3
Since it works for n=k+2=3, it works for n=k+3=4
Since it works for n=k+3=4, it works for n=k+4=5
etc. etc. forever

Edwin

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ดังนั้นเราจึงถือว่า1 + 5 + 9 + .... (4k-3) = k (2k-1). สิ่งที่เราต้องการแสดงให้เห็นว่าถ้าเราแทน k + 1 สำหรับ n ใน1 + 5 + 9 + .. . (4n-3) = n (2n-1) นอกจากนี้ยังจะทำงาน. นั่นคือเราต้องการที่จะแสดงให้เห็นว่าอยู่บนสมมติฐานที่ว่ามันทำงานสำหรับ k ที่เราจะจบลงด้วยโดยไม่ต้องคำถามนี้มากกว่าเครื่องหมายเท่ากับ เข้าสู่ระบบ: 1 + 5 + 9 + ... + [4 (k + 1) -3] ≟ (k + 1) [2 (k + 1) -1] เครื่องหมายคำถามข้างต้นเครื่องหมายเท่ากับคือการแสดงให้เห็นว่าเรายังไม่ได้แสดงให้เห็นว่ายัง ดังกล่าวข้างต้นเป็นสิ่งที่เราต้องแสดงให้เห็น. เราจะลดความซับซ้อนของสิ่งที่เราจะแสดง: 1 + 5 + 9 + ... + [+ 4k 4-3] ≟ (k + 1) [2k + 2-1] 1 + 5 9 + ... + (4k + 1) ≟ (k + 1) (2k + 1) 1 + 5 + 9 + ... + (4k + 1) ≟2k² + 3k + 1 ตอนนี้เราจะแสดงมัน เราเริ่มต้นด้วย: 1 + 5 + 9 + ... + (4k-3) = k (2k-1) เราได้เพิ่ม k + ระยะที่ 1 ซึ่งเป็น (4k + 1) เพื่อให้ทั้งสองฝ่ายและหวังว่า ด้านขวาออกมาเพื่อที่จะแสดงออกดังกล่าวข้างต้นซึ่งเป็น2k² + 3k + 1: 1 + 5 + 9 + ... + (4k-3) + (4k + 1) = k (2k-1) + (4k + 1) 1 + 5 + 9 + ... + (4k-3) + (4k + 1) = 2k²-k + 4k 1 + 1 + 5 + 9 + ... + (4k-3) + (4k + 1) = 2k² + 3k + 1 ดังนั้นเราได้แสดงให้เห็นว่าถ้าสูตรทำงานสำหรับบางค่า n, n = พูด k แล้วมันก็จะทำงานต่อไปจำนวนเต็ม n = k + 1. ดังนั้นตั้งแต่เราได้แสดงให้เห็นการทำงาน สำหรับ n = k = 1, การทำงานสำหรับ n = k + 1 = 2 เนื่องจากการทำงานสำหรับ n = k + 1 = 2 การทำงานสำหรับ n = k + 2 = 3 เนื่องจากการทำงานสำหรับ n = k + 2 = 3 , การทำงานสำหรับ n = k + 3 = 4 เนื่องจากการทำงานสำหรับ n = k + 3 = 4, การทำงานสำหรับ n = k + 4 = 5 ฯลฯ ฯลฯ ตลอดเอ็ดวิน

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ดังนั้นเราคิดว่า

1 5 9 . . . . . . . ( 4k-3 ) = k ( 2k-1 ) .

สิ่งที่เราต้องการเห็นคือ ถ้าเราแทน K 1 ใน

1 5 9 . . . . . . . ( 4n-3 ) = n ( 2n-1 )

มันก็จะทำงาน

ที่เราต้องการแสดง นั้นอยู่บนสมมติฐานว่ามัน
งานสำหรับ K ที่เราจะจบลงโดยปราศจากคำถาม
มาร์คมากกว่าเครื่องหมายเท่ากับ :

1 5 9 . . . . . . . [ 4 ] ( K ( 1 ) - 3 ≟ ( K ( , 1 ) [ 1 2 ]

) - 1เครื่องหมายคำถามข้างบนเครื่องหมายเท่ากับเพื่อแสดงให้เห็นว่าเรา
ไม่ได้แสดงเลย ข้างต้นก็คือ สิ่งที่เราต้องแสดง

เราจะลดความซับซ้อนของสิ่งที่เราแสดง :

1 5 9 . . . . . . . [ 4 ] ≟ 4-3 ( K ( 1 ) [ 2 ]

2-1 1 5 9 . . . . . . . ( 4K ( 1 ) ≟ k 1 ) ( ต่อ 1 )

1 5 9 . . . . . . . ( 1 ≟ 2K 4K ) พนักงานขาย 3K 1

ตอนนี้เราจะแสดง เริ่มจาก :

1 5 9 . . . . . . . ( 4k-3 ) = k ( 2k-1 )

เราเพิ่ม K 1 เทอม ซึ่ง ( 4K 1 ) ทั้งด้าน
และหวังว่า ขวาออกมาต้อง
การแสดงออกข้างต้นซึ่งเป็น 2K พนักงานขาย 3K 1 :

1 5 9 . . . . . . . ( 4k-3 ) ( 4K 1 ) = k ( 2k-1 ) ( 4K ) 1
1 5 9 . . . . . . . ( 4k-3 ) ( 4K 1 ) = 2 k - K 4K พนักงานขาย 1
1 5 9 . . . . . . . ( 4k-3 ) ( 4K 1 ) = 2k พนักงานขาย 3K 1

เราได้แสดงว่า ถ้าสูตรใช้ได้สำหรับบาง
ค่าของ n , n = K พูด แล้วมันก็จะทำงานเป็นจำนวนเต็ม = k
หน้า 1


เราจึงได้แสดงผลงานสำหรับ n = K = 1มันใช้ได้สำหรับ n = K 1 = 2
n = K เพราะมันทำงานมันทำงาน 1 = 2 , n = k
2 = 3 ตั้งแต่มันทำงานสำหรับ n = k 2 = 3 , การทำงานสำหรับ n = K 3 = 4
ตั้งแต่ทำงานสำหรับ n = K 3 = 4 , งานสำหรับ n = k = 5
4 ฯลฯ ฯลฯ ตลอดไป


เอ็ดวิน