The calculation of π was revolution

The calculation of π was revolutionized by the development of infinite series techniques in the 16th and 17th centuries. An infinite series is the sum of the terms of an infinite sequence.[61] Infinite series allowed mathematicians to compute π with much greater precision than Archimedes and others who used geometrical techniques.[61] Although infinite series were exploited for π most notably by European mathematicians such as James Gregory and Gottfried Wilhelm Leibniz, the approach was first discovered in India sometime between 1400 and 1500 AD.[62] The first written description of an infinite series that could be used to compute π was laid out in Sanskrit verse by Indian astronomer Nilakantha Somayaji in his Tantrasamgraha, around 1500 AD.[63] The series are presented without proof, but proofs are presented in a later Indian work, Yuktibhāṣā, from around 1530 AD. Nilakantha attributes the series to an earlier Indian mathematician, Madhava of Sangamagrama, who lived c. 1350 – c. 1425.[63] Several infinite series are described, including series for sine, tangent, and cosine, which are now referred to as the Madhava series or Gregory–Leibniz series.[63] Madhava used infinite series to estimate π to 11 digits around 1400, but that value was improved on around 1430 by the Persian mathematician Jamshīd al-Kāshī, using a polygonal algorithm.[64]

A formal portrait of a man, with long hair
Isaac Newton used infinite series to compute π to 15 digits, later writing "I am ashamed to tell you to how many figures I carried these computations".[65]
The first infinite sequence discovered in Europe was an infinite product (rather than an infinite sum, which are more typically used in π calculations) found by French mathematician François Viète in 1593:[66]

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

การคำนวณπถูกปฏิวัติ โดยการพัฒนาเทคนิคอนุกรมอนันต์ในศตวรรษที่ 16 และ 17 ชุดข้อจำกัดคือ ผลรวมของเงื่อนไขมีลำดับอนันต์ [61] ชุดอนันต์ mathematicians จะคำนวณπ มีความแม่นยำมากขึ้นกว่าอาร์และอื่น ๆ ที่ใช้เทคนิคทางเรขาคณิตได้ [61] ถึงแม้ว่าอนุกรมอนันต์ได้ประโยชน์สำหรับπโดยส่วนใหญ่ โดย mathematicians ยุโรปเช่น James Gregory และ Gottfried Wilhelm Leibniz วิธีครั้งแรกถูกพบในอินเดียบางครั้งระหว่าง 1400-1500 AD [62]แรกคำอธิบายของชุดข้อจำกัดที่สามารถใช้ในการคำนวณπถูกวางใน ภาษาสันสกฤตข้อ โดยนักดาราศาสตร์ชาวอินเดีย Nilakantha Somayaji ใน Tantrasamgraha ของเขา ประมาณ 1500 AD [63 แสดงชุด]โดยไม่ต้องพิสูจน์ แต่ปรากฏหลักฐานในภายหลังอินเดียงาน Yuktibhāṣā จากประมาณ 1530 โฆษณา Nilakantha แอตทริบิวต์ชุดไปที่ก่อนหน้านี้อินเดียนักคณิตศาสตร์ Madhava ของ Sangamagrama ที่อาศัยอยู่ c. c. 1425 – 1350 [63] อนันต์หลายชุดไว้ รวมไซน์ แทนเจนต์ และ โคไซน์ ซึ่งตอนนี้เรียกว่า Madhava ชุดหรือชุดเกรกอรี – Leibniz [63] Madhava อนุกรมอนันต์ที่ใช้ในการคำนวณπ 11 หลักประมาณ 1400 แต่ค่าที่ปรับปรุงบนประมาณ 1430 โดยนักคณิตศาสตร์ภาษาเปอร์เซีย Jamshīd อัล-Kāshī โดยใช้อัลกอริทึมแบบเหลี่ยม [64]ของมนุษย์ ผมยาวไอแซคนิวตันใช้อนุกรมอนันต์ในการคำนวณπหลัก 15 ภายหลังเขียน "ฉันละอายที่จะบอกถึงจำนวนตัวเลขดำเนินการประมวลผลเหล่านี้" [65]ลำดับอนันต์ที่แรกพบในทวีปยุโรป เป็นผลิตภัณฑ์ที่ไม่สิ้นสุด (ไม่ใช่มีผลอนันต์ ซึ่งเพิ่มเติมมักจะใช้ในการคำนวณπ) พบ โดยนักคณิตศาสตร์ฝรั่งเศสฟรังซัว Viète ใน 1593: [66]

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

การคำนวณπถูกปฏิวัติโดยการพัฒนาเทคนิคแบบไม่มีที่สิ้นสุดในวันที่ 16 และ 17 ศตวรรษ อนุกรมอนันต์คือผลรวมของแง่ของลำดับอนันต์ได้. [61] ชุดอนันต์ได้รับอนุญาตให้นักคณิตศาสตร์ในการคำนวณπที่มีความแม่นยำมากขึ้นกว่า Archimedes และอื่น ๆ ที่ใช้เทคนิคทางเรขาคณิต. [61] แม้ว่าชุดอนันต์ถูกเอาเปรียบสำหรับπสะดุดตามากที่สุดโดย นักคณิตศาสตร์ในยุโรปเช่นเจมส์เกรกอรี่และ Gottfried Wilhelm Leibniz วิธีการที่ถูกค้นพบครั้งแรกในประเทศอินเดียในช่วงระหว่าง 1400 และ 1500 AD. [62] คำอธิบายเป็นลายลักษณ์อักษรแรกของอนุกรมอนันต์ที่สามารถนำมาใช้ในการคำนวณπวางอยู่ในภาษาสันสกฤตกลอนโดย อินเดียดาราศาสตร์ Nilakantha Somayaji ใน Tantrasamgraha ของเขา 1500 AD. [63] ชุดจะถูกนำเสนอโดยไม่ต้องพิสูจน์ แต่หลักฐานอันถูกนำเสนอในการทำงานที่อินเดียต่อมาYuktibhāṣāจากรอบ 1530 AD Nilakantha แอตทริบิวต์ซีรีส์นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียก่อนหน้านี้ Madhava ของ Sangamagrama ที่อาศัยอยู่ C 1350 - C 1425. [63] ชุดอนันต์หลายอธิบายรวมทั้งชุดสำหรับไซน์สัมผัสและโคไซน์ซึ่งขณะนี้เรียกว่าชุด Madhava หรือชุดเกรกอรี่-Leibniz. [63] Madhava ใช้แบบไม่มีที่สิ้นสุดในการประมาณการπถึง 11 ตัวเลขรอบ 1400 แต่ค่าที่ได้รับการปรับปรุงให้ดีขึ้นในรอบ 1430 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซียแจมอัลชิใช้วิธีเหลี่ยม. [64] ภาพอย่างเป็นทางการของชายคนหนึ่งที่มีผมยาวไอแซกนิวตันใช้แบบไม่มีที่สิ้นสุดในการคำนวณπถึง 15 หลักในภายหลัง เขียน "ผมละอายใจที่จะบอกคุณว่าหลายตัวเลขที่ผมดำเนินการคำนวณเหล่านี้". [65] ลำดับอนันต์ค้นพบครั้งแรกในยุโรปเป็นผลิตภัณฑ์ที่ไม่มีที่สิ้นสุด (มากกว่าผลรวมอนันต์ซึ่งจะใช้มากกว่าปกติในการคำนวณπ) พบโดย นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสFrançoisVièteใน 1593: [66]

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

การคำนวณπถูกปฏิวัติโดยการพัฒนาของอนุกรมอนันต์เทคนิคในศตวรรษที่ 16 และ 17 อนุกรมอนันต์คือผลรวมของแง่ของการลําดับอนันต์ [ 61 ] อนุกรมอนันต์ให้นักคณิตศาสตร์คำนวณได้แม่นยำกว่าπที่มีมากขึ้นและอื่น ๆที่ใช้เทคนิคทางเรขาคณิต [ 61 ] แม้ว่าอนุกรมอนันต์ถูกสำหรับπส่วนใหญ่ยวดโดยนักคณิตศาสตร์ยุโรปเช่นเจมส์เกรกอรีและ กอทท์ฟรีด วิลเฮล์มไลบ์นิซ วิธีการคือ ค้นพบครั้งแรกในอินเดียบางครั้งระหว่าง 1400 และ 1500 AD . [ 62 ] ครั้งแรกที่เขียนรายละเอียดของอนุกรมอนันต์ที่สามารถใช้เพื่อคำนวณπถูกวางในกลอนภาษาสันสกฤตโดยอินเดียนักดาราศาสตร์ nilakantha somayaji ใน tantrasamgraha ของเขาประมาณ 1500 AD [ 63 ] ชุดจะถูกนำเสนอโดยไม่มีหลักฐาน แต่หลักฐานที่ปรากฏใน ภายหลังที่อินเดีย yuktibh āṣā , จากงาน ประมาณ 1530 AD nilakantha คุณลักษณะชุดก่อนหน้านี้อินเดียนักคณิตศาสตร์มเธวะของ sangamagrama ผู้อาศัย C 1350 –ซีกลิ่น [ 63 ] หลายอนุกรมอนันต์อธิบาย รวมทั้งชุดไซน์ , โคไซน์แทนเจนต์ , และ ที่ตอนนี้เรียกว่ามเธวะชุดหรือ เกรกอรี่ – ไลบ์นิซ [ 63 ] มเธวะ ใช้ชุด อนุกรมอนันต์ประมาณπ 11 หลักประมาณ 1400 แต่มูลค่าที่ถูกเพิ่มในรอบ 1 โดยนักคณิตศาสตร์เปอร์เซีย jamsh ī D al-k อุบาสก SH īโดยใช้ขั้นตอนวิธีเหลี่ยม [ 64 ]ภาพอย่างเป็นทางการของชายคนหนึ่งที่มีผมยาวไอแซค นิวตันใช้อนุกรมอนันต์ คำนวณπ 15 หลัก ต่อมาเขียน " ผมอายที่จะบอกคุณกี่ร่างฉันอุ้มคณนา " [ 65 ]แรกที่ค้นพบในยุโรปเป็นสินค้าลำดับอนันต์อนันต์ ( แทนที่จะเป็นอนันต์ผลรวมซึ่งมีมากขึ้นมักจะใช้ในการคำนวณ π ) ที่พบโดยนักคณิตศาสตร์ฝรั่งเศส ฟรองซัวส์ . vi . ที 1490 : [ 66 ]