Graph coloring involves the labelin

Graph coloring involves the labeling of the vertices of some given graph by integers called colors such that no two adjacent
vertices receive the same color. The corresponding ℓ-Coloring problem is the problem to decide whether a graph can be
colored with at most ℓ colors. The related Vertex Coloring problem is to determine the smallest number of colors a graph
can be coloredwith. Due to the fact that ℓ-Coloring is NP-complete for any fixed ℓ ≥ 3, there has been considerable interest
in studying its complexity when restricted to certain graph classes. Without doubt one of the most well-known results in
this respect is that ℓ-Coloring is polynomially solvable for perfect graphs. More information on this classic result and on
the general motivation, background and related work on coloring problems restricted to special graph classes can be found
in several surveys [18,20] on this topic.
We continue the study of the computational complexity of the ℓ-Coloring and the Vertex Coloring problem restricted
to graphs characterized by one or more forbidden induced subgraphs. This problem has been studied in many papers by
different groups of researchers [3–5,7,9–14,17,20,21].
If a graph G does not contain an induced subgraph that is isomorphic to a graph H, then G is called H-free. By combining
several results from the literature with a number of new results we obtained the following result that even holds for the
precoloring extension version of 3-Coloring [4]. Here, a linear forest is the disjoint union of a collection of paths.
Theorem 1 ([4]). Let H be a fixed graph on atmost 6 vertices. Then the 3-Coloring problemfor H-free graphs is polynomial-time
solvable if H is a linear forest; otherwise it is NP-complete.
The complexity status of the 3-Coloring problem restricted to H-free graphs is open for many graphs H on seven or
more vertices, in particular for paths. It is even unknown whether there exists a fixed integer k ≥ 7 such that 3-Coloring is
NP-complete for Pk-free graphs. Here, Pk denotes the path on k vertices.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

กราฟสีเกี่ยวข้องกับการติดฉลากของจุดยอดของกราฟบางอย่างกำหนดโดยเต็มที่เรียกว่าสีที่สองไม่ติดจุดยอดสีเดียวกันได้ ปัญหาℓสีที่สอดคล้องกันคือ ปัญหาตัดสินว่า กราฟได้สีที่ มีมากที่สุดℓสี ระบายสีจุดปัญหาที่เกี่ยวข้องคือการ กำหนดจำนวนสีน้อยที่สุดในกราฟได้ coloredwith เนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่าสีℓเป็น NP สมบูรณ์ใด ๆ ℓถาวร≥ 3 มีสนใจมากศึกษาความซับซ้อนของเมื่อจำกัดการเรียนกราฟบาง โดยไม่ต้องสงสัยหนึ่งของผลลัพธ์รู้จักมากที่สุดในความเคารพนี้เป็นℓ-สีที่เป็น polynomially แก้ไขสำหรับกราฟสมบูรณ์แบบ ข้อมูลเพิ่มเติมในนี้คลาสสิก และในสามารถพบได้ทั่วไปแรงจูงใจ เบื้องหลัง และงานที่เกี่ยวข้องในปัญหาจำกัดกราฟพิเศษสอนระบายสีในการสำรวจหลาย [18,20] ในหัวข้อนี้เรายังคงศึกษาความซับซ้อนคำนวณสีℓและปัญหาระบายสีจุดยอดจำกัดให้กราฟโดยน้อยห้ามเกิด subgraphs ปัญหานี้มีการศึกษาในเอกสารต่าง ๆ โดยกลุ่มแตกต่างกันของนักวิจัย [3 – 5,7,9 – 14,17,20,21]ถ้ากราฟ G ประกอบด้วย subgraph การเหนี่ยวนำให้ที่ isomorphic กับกราฟ H แล้ว G จะเรียกว่า H-ฟรี โดยรวมผลต่าง ๆ จากวรรณคดี มีผลลัพธ์ใหม่เรารับผลลัพธ์ต่อไปนี้ที่จะจัดเก็บสำหรับการprecoloring นามสกุลรุ่น 3 สี [4] ที่นี่ ป่าเชิงเส้นเป็นการเคลื่อนตัวของคอลเลกชันของเส้นทางทฤษฎีบทที่ 1 ([4]) ให้ H เป็นกราฟถาวรบน atmost 6 จุดยอด แล้ว กราฟเพิ่ม H problemfor 3 สีเป็นเวลาพหุนามแก้ไขถ้า H เป็นป่าเชิงเส้น มิฉะนั้น มันจะทำ NPสถานะความซับซ้อนของปัญหา 3 สีจำกัดฟรี H กราฟเป็นกราฟหลาย H ในเจ็ดเปิด หรือเพิ่มเติมจุดยอด โดยเฉพาะอย่างยิ่งในเส้นทาง จึงไม่รู้จักว่ามีแบบถาวรจำนวนเต็ม k ≥ 7 ที่มี 3 สีNP-เสร็จสมบูรณ์สำหรับกราฟฟรี Pk ที่นี่ คือแสดงเส้นทางบนจุดยอด k

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

การระบายสีกราฟที่เกี่ยวข้องกับการติดฉลากของจุดยอดของกราฟที่กำหนดโดยจำนวนเต็มเรียกสีดังกล่าวว่าไม่มีสองติดกัน
จุดรับสีเดียวกัน ที่ℓ - สีปัญหา คือ ปัญหาในการตัดสินใจว่า กราฟสามารถ
สีที่มีสีℓที่สุด ที่เกี่ยวข้องกับปัญหาการระบายสีเพื่อหาจำนวนที่น้อยที่สุดของสีกราฟ
สามารถ coloredwith .เนื่องจากℓสีเป็น NP - สมบูรณ์สำหรับการใด ๆแก้ไขℓ≥ 3 มี
สนใจมากในการศึกษาความซับซ้อนของมันเมื่อต้องเรียนกราฟบาง โดยไม่ต้องสงสัยหนึ่งในที่มีชื่อเสียงที่สุดของผลลัพธ์ในส่วนนี้คือ ℓ
- สีเป็น polynomially แก้ปัญหาได้สำหรับกราฟที่สมบูรณ์แบบ ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับผลนี้คลาสสิกและ
แรงจูงใจทั่วไปประวัติและงานที่เกี่ยวข้อง ในการระบายสีปัญหาจำกัดเรียนกราฟพิเศษสามารถพบได้หลายแบบ 18,20
[ ]
เราต่อไปในหัวข้อนี้ ผลของการคำนวณที่ซับซ้อนของℓ - สีและยอดปัญหาการระบายสีกราฟจำกัด
เพื่อลักษณะโดยหนึ่งหรือมากกว่าหนึ่งห้ามเหนี่ยวขนาด . ปัญหานี้ได้ถูกศึกษาในเอกสารหลายโดย
กลุ่มของนักวิจัย [ 3 – 5,7,9 – 14,17,20,21 ] .
ถ้ากราฟ G ไม่ได้มีนดิวซดสับกราฟที่พวกเรากราฟ H , G เรียกว่า h-free . โดยการรวม
หลายผลลัพธ์จากวรรณคดีกับหมายเลขใหม่ของผลลัพธ์ที่เราได้รับผลที่ถือสำหรับ
precoloring ขยายรุ่นของ 3-coloring [ 4 ] ดังต่อไปนี้ ที่นี่ป่าเชิงเส้นเป็นยู่สหภาพของคอลเลกชันของเส้นทาง
1 ทฤษฎีบท ( [ 4 ] ) ปล่อยให้เขาเป็นกราฟในธีแก้ไข 6 จุด . แล้ว 3-coloring เป็นประจำก็ตาม h-free กราฟเป็นพหุนามเวลา
ตาย ถ้า H เป็นป่าโดยตรง มิฉะนั้นมันเป็น NP สมบูรณ์ .
ความซับซ้อนสถานะของ 3-coloring ปัญหาจำกัด h-free กราฟเปิด H กราฟหลายในเจ็ดหรือ
จุดมากขึ้นโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับเส้นทาง มันไม่รู้จักแม้แต่ว่ามีอยู่คงที่จำนวนเต็ม k ≥ 7 เช่นที่ 3-coloring คือ
NP สมบูรณ์สำหรับ PK กราฟฟรี ที่นี่คือ แสดงเส้นทางบน K จุด .