Proposition 3.6. Let X be a self-di

Proposition 3.6. Let X be a self-distributive BE-algebra and I an ideal of
X. Then Iw is an ideal of an CI-algebra X.
Proof. Let x ∈ X and a ∈ Iw. Then we have w ∗ a ∈ I, and so w ∗ (x ∗ a)= (w ∗ x) ∗ (w ∗ a) ∈ X ∗ I ⊆ I from (I1). This implies x ∗ a ∈ Iw. Now let a, b ∈ Iw and x ∈ X. Then we obtain w ∗ a ∈ I and w ∗ b ∈ I. Thus we get w∗((a∗(b∗x))∗x)=(w∗((a∗(b∗x))))∗(w∗x)=((w∗a)∗(w∗(b∗x)))∗(w∗x)= ((w ∗ a) ∗((w ∗ b) ∗(w ∗x)))∗ (w ∗x)=((w ∗a)∗((w ∗ b) ∗(w ∗x)))∗ (w ∗x) ∈ I by (I2). This implies (a ∗ (b ∗ x)) ∗ x ∈ Iw. This completes the proof.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เสนอ 3.6 ให้ X เป็นพีชคณิตจะ self-distributive และเหมาะเป็นของX. อัพแล้ว Iw จะเหมาะของ X CI-พีชคณิตหลักฐานการ ให้ x ∈ X และ∈ Iw แล้วเรามี w ∗∈เป็นฉัน และ∗ w ดังนั้น (x ∗การ) = (w ∗ x) ∗ (w ∗เป็น) ∈ X ∗ฉัน⊆ฉันจาก (I1) นี้หมายถึง∗ x ∈ Iw ให้ a, b ∈ Iw และ x ∈ X แล้วเราได้รับ w ∗∈เป็นฉันและ w ∗ b ∈ฉัน ดังนั้น เราได้ w∗((a∗(b∗x))∗x)=(w∗((a∗(b∗x)))∗(w∗x)=((w∗a)∗(w∗(b∗x)))∗(w∗x) = ((w ∗ a) ∗∗ ((w ∗ข ∗(w ∗x))) (w ∗x) = ((w ∗a) ∗ ((w ∗ b) ∗ (w ∗x))) ∈∗ (w ∗x) ฉัน ด้วย (I2) นี้หมายถึง (∗การ (b ∗ x)) ∗ x ∈ Iw เสร็จสิ้นการพิสูจน์

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

โจทย์ 3.6 ให้ X เป็น พ.ศ. พีชคณิตตนเองจำหน่ายและผมในอุดมคติของ
เอ็กซ์ จากนั้นอิลลินอยส์เป็นอุดมคติของ CI-พีชคณิตเอ็กซ์
หลักฐาน ให้ x ∈ X และ∈อิลลินอยส์ แล้วเรามี W * ∈ผมและอื่น ๆ W * (* x) = (ก * x) * (ก *) ∈ X * ฉัน⊆ฉันมาจาก (I1) นี่ก็หมายความ x * ∈อิลลินอยส์ ตอนนี้ขอข∈อิลลินอยส์และ x ∈เอ็กซ์จากนั้นเราได้รับ W * ∈ I และ W * ข∈ I. ดังนั้นเราจึงได้รับ W * ((* ​​(b * x)) * x) = (ก * ( (* (b * x)))) * (ก * x) = ((ก *) * (ก * (b * x))) * (ก * x) = ((ก *) * ( (ก * ข) * (ก * x))) * (ก * x) = ((ก *) * ((ก * ข) * (ก * x))) * (ก * x) ∈ผมโดย (I2) นี้มีความหมาย (* (b * x)) * x ∈อิลลินอยส์ เสร็จสมบูรณ์หลักฐาน