The motivation behind this work is

The motivation behind this work is Mayhem problem M396 in the May
2009 issue of CRUX with MAYHEM [1℄. Let us restate the problem.
M396. The re
tangle ABCD has side lengths AB = 8 and BC = 6.
Cir
les with
entres O1 and O2 are ins
ribed in triangles ABD and BCD.
Determine the distan
e between O1 and O2.
As we shall see, the distan
e
O1O2 is 2
√
5. The points O1 and O2
are the in
entres of the
ongruent right
triangles ABD and BCD, whi
h are
in fa
t Pythagorean triangles with a

ommon hypotenuse BD of length 10.
Note that the quadrilateral BO1DO2
is, in fa
t, a parallelogram with the diagonals
O1O2 and BD interse
ting at
their
ommon midpoint. Now, pi
ture
the general
ase in whi
h the re
tangle
ABCD is formed by glueing together
two
ongruent Pythagorean triangles
ABD and BCD. It turns out that the
distan
e between the two in
entres is
always an irrational number (a quadrati
irrational). Also, of the four side
lengths O1D =BO2 and BO1 =DO2,
.
.............
................
.
.............
.................
. ........................ .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... ..........................
.................................................................................................................................................................................
.
.
.
.
..........
..........
.
..........
..........
A
B C
D
O1
O2
ρ
ρ
6
8
s
s
Figure 1
two (equal) ones are always irrational. The other two (equal) ones
an be, in
fa
t, integers. We give pre
ise
onditions as to when this o

urs; otherwise,
they are also irrational.
In the general
ase, we will denote the in
entres by I1 and I2 instead of
O1 and O2. Also, for reasons of
onvenien
e, relabel the re
tangle ABCD
as BCAD, as in Figure 2 on the next page. In Figure 2, BI1AI2 is a parallelogram
and ρ stands for the inradii of the two
ongruent right triangles
BCA and ADB.
As usual we set BC = a, CA = b, AB = c, and we also introdu
e
y = BT2 = BT3, x = AT3 = AT1, and z = CT2 = CT1 = ρ; where T1, T2,
and T3 are the three points of tangen
y of the in
ir
le of triangle BCA with
the sides CA, CB, and BA, respe
tively.
Copyright
c 2011 Canadian Mathemati
al So
iety
Crux Mathemati
orum with Mathemati
al Mayhem, Volume 36, Issue 8
541
Our main result is
Theorem With the above notation,
(a) The side length ℓ2 = AI1 = BI2 is always an irrational number.
(b) The side length ℓ1 = AI2 = BI1 is an integer pre
isely when either
m = k
2
1 − k
2
2
and n = 2k1k2 ; or m = 2k1k2 and n = k
2
1 − k
2
2
; where
k1 and k2 are relatively prime positive integers of opposite parity and
with k1 > k2; and su
h that m > n.
(
) The length of the diagonal I1I2 is always an irrational number.
A triple (a, b, c) of positive integers
a, b, and c, with c being
the hypotenuse length, is said to be
a Pythagorean triple pre
isely when
a
2 + b
2 = c
2
. The parametri
formulas
we will use are well known,
and they generate the entire family of
Pythagorean triples (or triangles
orresponding
to these triples).
The interested reader
an nd
a wealth of histori
al information
in L.E. Di
kson's monumental book,
History of the Theory of Numbers,
Vol. II [2℄, as well as in W. Sierpinski's
book, Elementary Theory of
Numbers [4℄. For a more textbook
type approa
h, see Rosen [3℄; and for
a derivation of formulas (1), refer to
Sierpinski [4℄ or Rosen [3℄.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

แรงจูงใจอยู่เบื้องหลังงานนี้เป็นการทำร้ายร่างกายปัญหา M396 ในอาจ2009 ปัญหาของปมกับประทุษร้าย [1℄ ให้เราย้ำปัญหาM396 Reพัน ABCD มีความยาวด้าน AB = 8 และ BC = 6Cirles ด้วย entres O1 และ O2 จะเติมribed ในรูปสามเหลี่ยม BCD และชิวชิวDistan การตรวจสอบอีระหว่าง O1 และ O2เราจะเห็น ที่ distanอีO1O2 คือ 2√5. จุด O1 และ O2มีความในentres ของการ ongruent ขวาสามเหลี่ยม BCD เพลย์สและชิวชิวมี hใน faสามเหลี่ยมพีทาโกรัส t กับการommon ตรง BD ยาว 10หมายเหตุที่ BO1DO2 สี่เหลี่ยมเป็น ใน fat คณิตศาสตร์กับทแยงO1O2 และ BD interseติ๊งที่ของพวกเขา ommon จุดกึ่งกลาง ตอนนี้ pitureทั่วไป ase ในนักh reไม่พันกันABCD จะเกิดขึ้นจาก glueing กันสอง สามเหลี่ยมพีทาโกรัส ongruentชิวชิวและ BCD ปรากฎว่าการdistanอีระหว่างทั้งสองในเป็น entresเสมอเป็นจำนวนอตรรกยะ (เป็น quadrati ไม่มีเหตุผล) ยัง ของด้านทั้งสี่ความยาว O1D = BO1 และ BO2 = DO2.............................................................. ........................ .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... ........................................................................................................................................................................................................................................................AB CDO1O2ΡΡ68ssรูปที่ 1สองคน (เท่า) มักไม่มีเหตุผล สอง (เท่ากับ) คนอื่น ๆ ความสามารถ ในfat จำนวนเต็ม เราให้ก่อนอิเสะ onditions ว่าเมื่อ o นี้urs มิฉะนั้นพวกเขาจะยังไม่มีเหตุผลในทั่วไป ase เราจะแสดงตัวในentres โดย I1 และ I2 แทนO1 และ O2 นอกจากนี้ สำหรับเหตุผลของการ onveniene สับใบเรียก reพัน ABCDเป็น BCAD เหมือนในรูปที่ 2 หน้าถัดไป ในรูปที่ 2, BI1AI2 คือ คณิตศาสตร์และρย่อมาจาก inradii ของทั้งสอง สามเหลี่ยมขวา ongruentBCA และ ADBตามปกติเราตั้ง BC = CA a, b, AB = = c และเรายัง introduอีy = BT2 BT3 = x = AT3 = AT1 และ z = CT2 = CT1 =ρ ที่ T1, T2และ T3 tangen จุดสามy ของการในirของสามเหลี่ยม BCA เลอด้วยด้าน CA, CB และ BA, respetivelyลิขสิทธิ์ c 2011 แคนาดา Mathematiอัลดังนั้นietyMathemati ปมorum กับ Mathematiอัลทำร้ายร่างกาย ปริมาณ 36, 8 ปัญหา541ผลลัพธ์หลักของเราคือทฤษฎีบทกับสัญลักษณ์ข้างต้น(ก)ด้านความยาว ℓ2 = AI1 = BI2 อยู่เสมอเป็นจำนวนอตรรกยะ(b ℓ1)ความยาวด้าน = AI2 = BI1 จะเป็นจำนวนเต็มก่อนisely เมื่อใดm = k21 − k22และ n = 2k1k2 หรือ m = 2k1k2 และ n = k21 − k22; ที่k1 และ k2 เป็นจำนวนเต็มบวกที่ค่อนข้างสำคัญของเท่าเทียมกันตรงข้าม และด้วย k1 > k2 และ suh ที่ m > n() ความยาวของ I1I2 ทแยงมุมอยู่เสมอเป็นจำนวนอตรรกยะสาม (a, b, c) ของจำนวนเต็มบวกa, b และ c, c เป็นความยาวตรง กล่าวได้ว่าเป็นก่อนทริปเปิลพีทาโกรัสisely เมื่อมี2 + b2 = c2. Parametri การ สูตรเราจะใช้รู้จักกันดีและพวกเขาสร้างครอบครัวทั้งหมดของพีทาโกรัส triples (หรือสามเหลี่ยม orrespondingการ triples เหล่านี้)ผู้อ่านที่สนใจ มี ndhistoriข้อมูลอัลในแอลอีดีหนังสืออนุสรณ์ของ ksonประวัติของทฤษฎีตัวเลขฉบับ II [2℄ เช่นใน W. Sierpinskiหนังสือ ทฤษฎีระดับประถมศึกษาตัวเลข [4℄ สำหรับหนังสือเรียนเพิ่มเติมพิมพ์ approah ดูโร [3℄ และดูแหล่งที่มาของสูตร (1),Sierpinski [4℄ หรือโร [3℄

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

แรงจูงใจที่อยู่เบื้องหลังงานนี้เป็นปัญหาประทุษร้าย M396 ในเดือนพฤษภาคม
ปี 2009 ปัญหาของ CRUX กับ MAYHEM [1℄ ขอให้เราย้ำปัญหา.
M396 อีก
ยุ่งเหยิง ABCD มีด้านยาว AB = 8 และ BC = 6.
Cir
Les กับ
entres O1 และ O2 มีอิน
ribed ในสามเหลี่ยม ABD และ BCD.
กำหนด distan
E ระหว่าง O1 และ O2.
ในฐานะที่เราจะได้เห็นการ distan
E
O1O2 คือ 2
√
5 จุด O1 และ O2
อยู่ใน
entres ของ
ongruent ขวา
สามเหลี่ยม ABD และ BCD, WHI
H อยู่
ในเอฟเอ
ทีพีทาโกรัสสามเหลี่ยมที่มี

ด้านตรงข้ามมุมฉาก ommon BD ของความยาว 10
หมายเหตุว่า BO1DO2 รูปสี่เหลี่ยม
คือในเอฟเอคั
T, สี่เหลี่ยมด้านขนานกับที่ เส้นทแยงมุม
O1O2 และ BD interse
Ting ที่
พวกเขา
จุดกึ่งกลาง ommon ตอนนี้พี่
ture
ทั่วไป
ASE ใน WHI
H อีก
ยุ่งเหยิง
ABCD จะเกิดขึ้นโดย glueing ด้วยกัน
สอง
รูปสามเหลี่ยมพีทาโกรัส ongruent
ABD และ BCD แต่กลับกลายเป็นว่า
distan
E ระหว่างสองใน
entres เป็น
เสมอจำนวนอตรรกยะ (ก quadrati
ไม่มีเหตุผล) นอกจากนี้ด้านทั้งสี่
ยาว O1D = BO2 และ BO1 = DO2,
.
.............
................
.
.... .........
.................
. ....................... . .......................... ....................... ... .......................... ..................... ..... .......................... ................... .......
........................................... .................................................. .................................................. ..................................
.
.
.
.
..........
.. ........
.
..........
.......... B C D O1 O2 ρ ρ 6 8 s s รูปที่ 1 สอง (เท่ากับ) คนที่มักจะไม่มีเหตุผล . อีกสองคน (เท่ากับ) คนที่สามารถนำมาในเอฟเอคัT, จำนวนเต็ม เราจะให้ก่อนISE onditions ว่าเมื่อ o นี้Urs; มิฉะนั้นพวกเขาจะยังไม่ลงตัว. ในทั่วไปASE เราจะแสดงในentres โดย I1 และ I2 แทนO1 และ O2 นอกจากนี้สำหรับเหตุผลของonvenien E, สับอีกABCD ยุ่งเหยิงเป็น BCAD เช่นเดียวกับในรูปที่ 2 ในหน้าถัดไป ในรูปที่ 2 BI1AI2 เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานและρยืนสำหรับ inradii ของทั้งสองongruent สามเหลี่ยมขวาเก็บกวาดและ ADB. ตามปกติเราตั้ง BC = A, CA = B, AB = C และเรายัง introdu E Y = BT2 = 3 บาท , x = = AT3 AT1 และ Z = = CT2 CT1 = ρ; ที่ T1, T2, T3 และเป็นสามจุด Tangen Y ของในIR Le ของ BCA รูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน CA, CB, และปริญญาตรีที่ respe ลำดับ. ลิขสิทธิ์C 2011 แคนาดาคณิตศาสตร์อัลดังนั้นiety ปมคณิตศาสตร์Orum กับคณิตศาสตร์อัลประทุษร้าย เล่มที่ 36, ฉบับที่ 8 541 ผลหลักของเราคือทฤษฏีสัญกรณ์ดังกล่าวข้างต้น(ก) ความยาวด้านℓ2 = AI1 = Bi2 อยู่เสมอจำนวนอตรรกยะ. (ข) ความยาวด้านℓ1 = AI2 = BI1 เป็นจำนวนเต็มก่อนisely เมื่อทั้งM = K 2 1 - K 2 2 และ n = 2k1k2; หรือ M = 2k1k2 และ n = k 2 1 - K 2 2 ; ที่K1 และ K2 เป็นจำนวนเต็มบวกความสำคัญของความเท่าเทียมกันตรงข้ามกับ K1> K2; และ Su H ที่ m> n. ( ) ความยาวของ I1I2 เส้นทแยงมุมอยู่เสมอจำนวนอตรรกยะ. สาม (A, B, C) ​​ของจำนวนเต็มบวกA, B และ C กับ C เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุมฉากกล่าวคือ จะเป็นพีทาโกรัสก่อนสามisely เมื่อ2 + B 2 = C 2 parametri สูตรเราจะใช้เป็นที่รู้จักกันดีและพวกเขาสร้างครอบครัวทั้งหมดของพีทาโกรัสอเนกประสงค์ (หรือสามเหลี่ยมorresponding เพื่ออเนกประสงค์เหล่านี้). ที่มีความสนใจของผู้อ่านND ความมั่งคั่งของประวัติศาสตร์เมืองข้อมูลอัลใน Le Di หนังสืออนุสาวรีย์ kson ของประวัติศาสตร์ของทฤษฎี ตัวเลขฉบับ ครั้งที่สอง [2℄เช่นเดียวกับในดับบลิว Sierpinski ของหนังสือพื้นฐานทฤษฎีเบอร์ [4℄ สำหรับตำราเพิ่มเติมประเภท approa H, ดูโรเซ็น [3℄; และแหล่งที่มาของสูตร (1) โปรดดูSierpinski [4℄หรือ Rosen [3℄

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

แรงจูงใจที่อยู่เบื้องหลังการทำงานนี้คือปัญหา m396 ประทุษร้ายในอาจ2009 ปัญหาของปมที่มีประทุษร้าย [ 1 ℄ . ขอย้ำ ปัญหาm396 . อีกครั้งยุ่งเหยิง ABCD มีด้านความยาว AB = BC = 8 และ 6cirเลส กับentres 01 และ O2 เป็นอินribed ในสามเหลี่ยม ABD กับ BCD .หา distanอีระหว่าง 01 และ 02 .เราก็จะเห็น distanอีo1o2 2√5 . จุด 01 และโอทูเป็นในentres ของongruent ขวาและสามเหลี่ยม ABD BCD , whiH คือในเอฟเอสามเหลี่ยมพีทาโกรัส T กับommon ด้านตรงข้ามมุมฉาก BD ของความยาว 10โปรดทราบว่า bo1do2 รูปสี่เหลี่ยมคือ ฟ้าT , รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีเส้นทแยงมุมo1o2 BD interse และติ่ง ที่ของพวกเขาommon จุดกึ่งกลาง ตอนนี้พีtureโดยทั่วไปase ใน WHIH อีกครั้งยุ่งเหยิงABCD เป็นรูปแบบโดย glueing ด้วยกันสองongruent พีทาโกรัสสามเหลี่ยมอับดุล และ BCD . ปรากฎว่าdistanและระหว่างสองในentres คือหมายเลข ( quadrati ไร้เหตุผลเสมอไม่มีเหตุผล ) นอกจากนี้ ใน 4 ด้านความยาว o1d = = do2 และ bo2 bo1 ,.ซื้.................ซื้.................. ........................ .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... ................................................................................................................................................................................................................ . .. . ... . .. . .เป็นบี ซีD01โอทูρρ68 .ssรูปที่ 12 ( เท่ากับ ) ที่มักจะไม่มีเหตุผล อีก 2 คน ( เท่ากับ ) ที่การเป็นฟ้าt เป็นจำนวนเต็ม . เราให้ก่อนค้นหาonditions เป็นเมื่อโอUrs มิฉะนั้นพวกเขายังมีที่ไร้เหตุผลในทั่วไปase เราจะแสดงในentres โดย i1 I2 แทนและ01 และ 02 . นอกจากนี้ เหตุผลของonvenienRe relabel Eยุ่งเหยิง ABCDเป็น bcad เหมือนในรูปที่ 2 ในหน้าถัดไป รูปที่ 2 bi1ai2 เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานρและยืนสำหรับ inradii ของทั้งสองongruent สามเหลี่ยมขวาและปัญหาที่เกี่ยวข้องปกติเราตั้งค่า BC = , CA = B , AB = C , และเรายัง introduอีY = 2 บาท = 3 , X = 3 = 1 , และ Z = = = ct2 ct1 ρ ; T1 , T2 ,T3 และเป็นสามจุดของ tangenและของในและเลอของ BCA สามเหลี่ยมด้วยด้าน CA , CB , BA , respeมี .ลิขสิทธิ์ค 2554 mathemati แคนาดาal ดังนั้นietymathemati ปมorum กับ mathematiอัล ประทุษร้าย เล่ม 36 , ฉบับที่ 8อ๊ะผลหลักของเราคือทฤษฎีบทที่มีหมายเหตุข้างต้น( ) ด้านความยาวℓ 2 = = bi2 ai1 เสมอคือหมายเลขที่ไร้เหตุผล( ข ) ด้านความยาวℓ 1 = = bi1 ai2 เป็นจำนวนเต็มก่อนisely เมื่อทั้งM = K21 −เค22และ n = 2k1k2 ; หรือ M และ N = k = 2k1k221 −เค22; ที่K1 และ K2 เป็นนายกรัฐมนตรีค่อนข้างเต็มบวกของความเท่าเทียมกัน และตรงข้ามกับ K1 > K2 ; และซูH m > N() ความยาวของเส้นทแยงมุม i1i2 เป็นหมายเลขที่ไร้เหตุผลสาม ( A , B , C ) ของจํานวนเต็มบวกA , B และ C กับ C เป็นด้านยาว ว่า เป็นเป็นสามสิ่งอันดับพีทาโกรัส ก่อนisely เมื่อเป็น2 + B2 = c2. การ parametriสูตรเราจะใช้เป็นที่รู้จักกันดี ,และพวกเขาสร้างครอบครัวของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัส ( หรือรูปสามเหลี่ยมorrespondingกับอเนกประสงค์เหล่านี้ )ผู้อ่านที่สนใจเป็นครั้งความมั่งคั่งของ historiล ข้อมูลใน l.e. ดิkson อนุสาวรีย์ของหนังสือความเป็นมาของทฤษฎีของตัวเลขเล่ม 2 [ 2 ℄เช่นเดียวกับในดับบลิวเซียร์พินสกีศึกษาทฤษฎีของหนังสือตัวเลข [ 4 ℄ . สำหรับตำราเพิ่มเติมประเภท approaH , เห็นโรเซน [ 3 ℄ ; และเป็นรากศัพท์ของสูตร ( 1 ) อ้างถึงเซียร์พินสกี [ 4 ℄หรือโรเซน [ 3 ℄ .