The average value (i.e., the 0th Fo

The average value (i.e., the 0th Fourier Series Coefficients) is a0=0. For n>0 other coefficients the even symmetry of the function is exploited to give
an=2T∫TxT(t)cos(nω0t)dt=2T∫−T2+T2xT(t)cos(nω0t)dt=4T∫0+T2xT(t)cos(nω0t)dt
Between t=0 and t=T/2 the function is defined by xT(t)=A-4At/T so
an=4T∫0+T2(A−4ATt)cos(nω0t)dt=4AT⎛⎝⎜⎜∫0+T2cos(nω0t)dt−4T∫0+T2tcos(nω0t)dt⎞⎠⎟⎟
Perform the integrations (either by hand using integration by parts, or with a table of integrals, or by computer) and use the fact that ω0•T=2•π
an=4AT⎛⎝⎜Tsin(πn)2πn+4TT2(2sin(πn2)2−πnsin(πn))4π2n2⎞⎠⎟
Since sin(π•n)=0 this simplifies to
an=4AT4TT22sin(πn2)24π2n2=8Asin(πn2)2π2n2
This answer is correct, but noting that
n=0,1,2,3,4,5,6,7,...sin(πn2)2=0,1,0,1,0,1,0,...=1−(−1)n2
yields an even simpler result

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ค่าเฉลี่ย (เช่น 0 ฟูริเยร์ซีรีส์สัมประสิทธิ์) เป็น a0 = 0 สำหรับ n> 0 ค่าสัมประสิทธิ์อื่น ๆ แม้สัดส่วนของฟังก์ชั่นที่มีการใช้ประโยชน์ที่จะให้
= 2T∫TxT (t) cos (nω0t) dt = 2T∫-T2 + T2xT (t) cos (nω0t) dt = 4T∫0 + T2xT (t) cos (nω0t) dt
ระหว่าง t = 0 และ t = T / 2 ฟังก์ชั่นจะถูกกำหนดโดย XT (t) = A-4 ที่ / T การผสานรวม (ทั้งด้วยมือโดยใช้บูรณาการโดยชิ้นส่วนหรือตารางของปริพันธ์หรือคอมพิวเตอร์) และใช้ความจริงที่ว่าω0• T = 2 •π = 4AT⎛⎝⎜Tsin (πn) 2πn + 4TT2 (2sin ( πn2) 2 πnsin (πn)) 4π2n2⎞⎠⎟ ตั้งแต่บาป (π• n) = 0 นี้ช่วยลดความยุ่งยากในการ4AT4TT22sin = (πn2) 24π2n2 = 8Asin (πn2) 2π2n2 คำตอบนี้ถูกต้อง แต่สังเกตว่าn = 0 1,2,3,4,5,6,7 ... บาป (πn2) 2 = 0,1,0,1,0,1,0 ... = 1 - (- 1) n2 ผลตอบแทนถัวเฉลี่ย ผลได้ง่าย

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ค่า เฉลี่ย ( เช่น 0th อนุกรมฟูริเยร์สัมประสิทธิ์ ) A0 = 0 สำหรับ n > 0 อื่น ๆความสมมาตรของฟังก์ชันที่ใช้ประโยชน์ให้
an = 2t ∫ txt ( T ) cos ( N ω 0t ) dt = 2t ∫− T2 t2xt ( T ) cos ( N ω 0t ) dt = 4T ∫ 0 t2xt ( T ) cos ( N ω 0t ) DT
ระหว่าง T = 0 T = T / 2 ฟังก์ชันที่นิยามโดย XT ( t ) = a-4at / T ดังนั้น
an = 4T ∫ 0 T2 ( − 4att ) cos ( N ω 0t ) dt = 4at ⎛⎝⎜⎜∫ 0 t2cos ( N ω 0t ) DT − 4T ∫ 0 t2tcos ( N ω 0t ) แฟรช ⎞⎠⎟⎟
แสดงการทำงาน ( ทั้งด้วยมือโดยใช้การผสมผสานด้วยส่วน หรือกับตารางของส่วนประกอบ หรือคอมพิวเตอร์ ) และใช้ความจริงที่ว่าω 0 A4 t = 2 •π
เป็น = 4at ⎛⎝⎜ประเทศจีน ( π n ) 2 π N 4tt2 ( 2sin ( π N2 ) 2 −π nsin ( π n ) ) 4 π 2n2 ⎞⎠⎟
ตั้งแต่บาป ( π• n ) = 0 =

= 4at4tt22sin แบบง่าย ( π N2 ) 8asin 2n2 = 24 π ( π N2 ) 2 π 2n2
คำตอบนี้ถูกต้อง แต่สังเกตว่า
n = 0,1,2,3,4,5,6,7 . . . บาป ( π N2 ) 2 = 0,1,0,1,0,1,0 , . . .= 1 − ( − 1 ) N2

ได้ง่ายกว่าผลผลผลิต