If an equilateral triangle is inscr

If an equilateral triangle is inscribed in a circle then the square on the side of the triangle is three times the (square) on the radius of the circle.
Let there be a circle ABC, and let the equilateral tri-angle ABC have been inscribed in it [Prop. 4.2]. I say that the square on one side of triangle ABC is three times the (square) on the radius of circle ABC.

For let the center, D, of circle ABC have been found [Prop. 3.1]. And AD (being) joined, let it have been drawn across to E. And let BE have been joined.
And since triangle ABC is equilateral, circumference BEC is thus the third part of the circumference of circle ABC. Thus, circumference BE is the sixth part of
the circumference of the circle. Thus, straight-line BE is (the side) of a hexagon. Thus, it is equal to the radius DE [Prop. 4.15 corr.]. And since AE is double DE, the
(square) on AE is four times the (square) on ED—that is to say, of the (square) on BE. And the (square) on AE (is) equal to the (sum of the squares) on AB and BE
[Props. 3.31, 1.47]. Thus, the (sum of the squares) on AB and BE is four times the (square) on BE. Thus, via separation, the (square) on AB is three times the(square) on BE. And BE (is) equal to DE. Thus, the (square) on AB is three times the (square) on DE. Thus, the square on the side of the triangle is three times the (square) on the radius [of the circle]. (Whichis) the very thing it was required to show.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ถ้ารูปสามเหลี่ยมจารึกไว้ในวงกลมแล้วสองด้านของรูปสามเหลี่ยม เป็นครั้งที่สาม (สี่เหลี่ยม) ในรัศมีของวงกลมให้มีวงกลม ABC และให้ equilateral ตรีมุม ABC ได้ถูกจารึกใน [Prop. 4.2] ฉันบอกว่า สี่เหลี่ยมบนด้านหนึ่งของสามเหลี่ยม ABC เป็นครั้งที่สาม (สี่เหลี่ยม) ในรัศมีของวงกลมเอบีซีสำหรับให้ตัว D ของวง ABC พบ [Prop. 3.1] และโฆษณา (การ) ร่วม ให้มันแล้วลากผ่านไปอี และจะให้มีการเข้าร่วมและเส้นรอบวงบีอีซีเป็นส่วนสามของเส้นรอบวงของวงกลม ABC ดังรูปสามเหลี่ยม ABC เป็นรูป ดังนั้น เส้นรอบวงจะอยู่หกเส้นรอบวงของวงกลม ดังนั้น จะเส้นตรงคือ (ด้านข้าง) ของหกเหลี่ยม ดังนั้น มันจะเท่ากับรัศมี DE [Prop. 4.15 corr.] และเนื่องจาก AE คู่เดอ(ตาราง) บน AE เป็นครั้งที่สี่ (สี่เหลี่ยม) ใน ED — คือ ของ (ตาราง) บนจะ และ (สอง) บน AE () เท่ากับ (ผลบวกของสี่เหลี่ยม) AB และจะ[Props. 3.31, 1.47] ดังนั้น (ผลรวมของสี่เหลี่ยม) AB และจะอยู่ครั้งที่สี่ (สี่เหลี่ยม) จะ ดังนั้น ทางแยก (ตาราง) บน AB เป็นสามครั้ง the(square) บนจะ และ (คือ) จะมีค่าเท่ากับเดอ ดังนั้น (ตาราง) บน AB เป็นครั้งที่สาม (สี่เหลี่ยม) ในเดอ ดังนั้น สองด้านของรูปสามเหลี่ยมเป็นครั้งที่สาม (สี่เหลี่ยม) ในการรัศมี [วงกลม] (Whichis) ในสิ่งที่ถูกต้องเพื่อแสดง

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ถ้ารูปสามเหลี่ยมด้านเท่าถูกจารึกไว้ในวงกลมแล้วตารางที่ด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมที่เป็นสามครั้ง (ตาราง) ในรัศมีของวงกลม.
ให้มีวงกลมเอบีซีและให้สามเหลี่ยมด้านเท่าไตรมุมเอบีซีได้รับการจารึกไว้ ในนั้น [Prop 4.2] ผมบอกว่าตารางบนด้านหนึ่งของสามเหลี่ยม ABC เป็นสามครั้ง (ตาราง) ในรัศมีของวงกลมเอบีซี. สำหรับการให้ศูนย์, D, วงเอบีซีได้รับการพบ [Prop 3.1] และโฆษณา (เป็น) เข้าร่วมให้มันได้รับการวาดข้ามไปยังอีและแจ้งให้ได้รับการเข้าร่วม. และตั้งแต่สามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าบีอีซีเส้นรอบวงจึงเป็นส่วนที่สามของเส้นรอบวงของวงกลมเอบีซี ดังนั้นเส้นรอบวง พ.ศ. เป็นส่วนที่หกของเส้นรอบวงของวงกลม ดังนั้นเส้นตรง พ.ศ. คือ (ด้านข้าง) ของรูปหกเหลี่ยม ดังนั้นจึงมีค่าเท่ากับรัศมี DE [การ Prop 4.15 corr.] และตั้งแต่ AE เป็นสองเท่า DE ที่(ตาราง) บน AE เป็นครั้งที่สี่ (ตาราง) บน ED-กล่าวคือของ (ตาราง) เมื่อ พ.ศ. และ (ตาราง) บน AE (เป็น) เท่ากับ (ผลรวมของสี่เหลี่ยม) บน AB และ พ.ศ. [อุปกรณ์ประกอบฉาก 3.31, 1.47] ดังนั้น (ผลรวมของสี่เหลี่ยม) บน AB และ พ.ศ. สี่ครั้ง (ตาราง) เมื่อ พ.ศ. ดังนั้นผ่านทางแยกที่ (ตาราง) บน AB เป็นสามครั้ง (ตาราง) เมื่อ พ.ศ. และ พ.ศ. (เป็น) เท่ากับ DE ดังนั้น (ตาราง) บน AB เป็นสามครั้ง (ตาราง) บน DE ดังนั้นตารางในด้านของรูปสามเหลี่ยมที่เป็นสามครั้ง (ตาราง) ในรัศมี [ของวงกลม] (whichis) สิ่งที่ดีมันก็ต้องแสดง

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ถ้ารูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเป็นจารึกไว้เป็นวงกลมแล้วตารางบนด้านของสามเหลี่ยมเป็นครั้งที่สาม ( สี่เหลี่ยม ) ในรัศมีวงกลม .
ขอให้มีวงกลม ABC และให้มุม ABC มีด้านเท่ากันหมด ตรีได้จารึกไว้ในมัน [ prop 4.2 ) ฉันบอกว่าตารางบนด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยม ABC เป็นสามครั้ง ( สี่เหลี่ยม ) ในรัศมีวงกลม ABC

เพื่อให้ศูนย์ , Dวงกลมของ ABC ได้พบ [ prop 3.1 ] โฆษณา ( และถูก ) เข้าร่วม ให้มันถูกดึงข้ามไป และปล่อยให้ได้เข้าร่วม .
และเนื่องจากรูปสามเหลี่ยม ABC เป็นของปาสกาล เส้นรอบวง บีอีซี จึงเป็นส่วนที่สามของเส้นรอบวงของวงกลม ABC ดังนั้น เส้นรอบวงจะเป็นหกส่วน
เส้นรอบวงของวงกลม ดังนั้น จะเป็นเส้นตรง ( ด้านข้าง ) ของหกเหลี่ยม ดังนั้น