Theorem 2.9. All positive integer s

Theorem 2.9. All positive integer solutions of the equation x2 − xy − y
2 = 5 are given by (x, y) = (L2n, L2n−1) with n ≥ 1.
Theorem 2.10. All positive integer solutions of the equation x2 − xy − y
2 = −5 are given by (x, y) = (L2n+1, L2n) with n ≥ 0.
The proof of the following corollaries are similar to that of Theorem 1.5.
Corollary 2.11. All positive integer solutions of the equation x2 − 3xy + y
2 = 5 are given by (x, y) = (L2n+1, L2n−1) with n ≥ 1.
Corollary 2.12. All positive integer solutions of the equation x2 − 3xy + y
2 = −5 are given by (x, y) = (L2n+2, L2n) with n ≥ 0.
The proof of the following theorem is easy and we omit it.
Theorem 2.13. If positive integers x, y, k and the integer m with gcd (x, m) = 1, satisfy the equation
x
2 − kxy ∓ y
2 ∓ mx = 0,
then x = u
2
and y = uv for some positive integers u and v. If positive integers x, y, k and the integer m with gcd (y, m) = 1,
satisfy the equation
x
2 − kxy − y
2 ∓ my = 0,
then y = u
2
and x = uv for some positive integers u and v.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ทฤษฎีบท 2.9 แก้ไขปัญหาจำนวนเต็มบวกทั้งหมดของสมการ x2 − xy − yมีผู้ให้ 2 = 5 (x, y) = (L2n, L2n−1) ด้วย n ≥ 1ทฤษฎีบท 2.10 แก้ไขปัญหาจำนวนเต็มบวกทั้งหมดของสมการ x2 − xy − y2 = −5 จะได้รับโดย (x, y) = (L2n + 1, L2n) ด้วย n ≥ 0หลักฐานการ corollaries ต่อไปนี้จะคล้ายกับของทฤษฎีบท 1.5Corollary 2.11 แก้ไขปัญหาจำนวนเต็มบวกทั้งหมดของสมการ x2 − 3xy + yมีผู้ให้ 2 = 5 (x, y) = (L2n + 1, L2n−1) ด้วย n ≥ 1Corollary 2.12 แก้ไขปัญหาจำนวนเต็มบวกทั้งหมดของสมการ x2 − 3xy + y2 = −5 จะได้รับโดย (x, y) = (L2n + 2, L2n) ด้วย n ≥ 0หลักฐานของทฤษฎีบทต่อไปได้ และเราไม่ใช้ทฤษฎีบทที่ 2.13 ถ้าจำนวนเต็มบวก x, y, k และ m จำนวนเต็ม ด้วย gcd (x, m) = 1 ตามสมการxY ∓ kxy 2 −2 ∓ mx = 0แล้ว x = u2และ y = uv สำหรับจำนวนเต็มบวกบาง u และ v ถ้าจำนวนเต็มบวก x, y, k และ m จำนวนเต็ม ด้วย gcd (y, m) = 1ตามสมการx2 − kxy − y2 ∓ของฉัน = 0แล้ว y = u2และ x = uv สำหรับจำนวนเต็มบวกบาง u และ v

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ทฤษฎีบท 2.9 โซลูชั่นจำนวนเต็มบวกทั้งหมดของสมการ x2 - XY - Y
2 = 5 จะได้รับจาก (x, y) = (L2n, L2n-1) กับ n ≥ 1.
ทฤษฎีบท 2.10 โซลูชั่นจำนวนเต็มบวกทั้งหมดของ X2 สม - XY - Y
= 2 -5 จะได้รับจาก (x, y) = (L2n + 1, L2n) กับ n ≥ 0.
หลักฐานของผลกระทบต่อไปนี้จะคล้ายกับที่ของทฤษฎีบท 1.5 .
ควันหลง 2.11 โซลูชั่นจำนวนเต็มบวกทั้งหมดของสมการ x2 - 3xy + Y
2 = 5 จะได้รับจาก (x, y) = (L2n + 1, L2n-1) กับ n ≥ 1.
ควันหลง 2.12 โซลูชั่นจำนวนเต็มบวกทั้งหมดของสมการ x2 - 3xy + Y
= 2 -5 จะได้รับจาก (x, y) = (L2n + 2, L2n) กับ n ≥ 0.
พิสูจน์ทฤษฎีบทต่อไปนี้เป็นเรื่องง่ายและเราละเว้นมัน
ทฤษฎีบท 2.13 ถ้าจำนวนเต็มบวก X, Y, K และจำนวนเต็ม M กับ GCD (x, M) = 1 พอใจสม
x
2 - kxy ∓ Y
2 ∓ MX = 0
แล้ว x = U
2
และ y = UV สำหรับจำนวนเต็มบวก . U และ V ถ้าจำนวนเต็มบวก x, Y, K และจำนวนเต็ม M กับ GCD (y, M) = 1
พอใจสม
x
2 - kxy - Y
2 ∓ของฉัน = 0
แล้ว y = U
2
และ x = UV สำหรับจำนวนเต็มบวกบาง U และ V

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ทฤษฎีบท 2.9 . จำนวนเต็มบวกทั้งหมดโซลูชั่นของสมการ x2 y −− XY2 = 5 จะได้รับโดย ( x , y ) = ( l2n l2n , − 1 ) ด้วย≥ 1ทฤษฎีบท 2.10 . จำนวนเต็มบวกทั้งหมดโซลูชั่นของสมการ x2 y −− XY2 = − 5 จะได้รับโดย ( x , y ) = ( l2n + 1 , l2n ) n ≥ 0หลักฐานของผลที่ตามมาดังต่อไปนี้จะคล้ายกับที่ของทฤษฎีบท 1.5ควันหลง 2.11 . จำนวนเต็มบวกทั้งหมดโซลูชั่นของสมการ x2 − 3xy + Y2 = 5 จะได้รับโดย ( x , y ) = ( l2n + 1 , l2n − 1 ) ด้วย≥ 1ควันหลง 2.12 . จำนวนเต็มบวกทั้งหมดโซลูชั่นของสมการ x2 − 3xy + Y2 = − 5 จะได้รับโดย ( x , y ) = ( l2n + 2 l2n ) n ≥ 0ข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทต่อไปนี้เป็นเรื่องง่ายและเราละเว้นมันทฤษฎีบท 2.13 . ถ้าบวกจำนวนเต็ม x , y , K และจำนวนเต็ม m กับ LCD ( x , m ) = 1 , เป็นไปตามสมการxkxy ∓ y − 22 ∓ MX = 0แล้ว x = U2และ Y = UV สำหรับจำนวนเต็มบวก U และ V ถ้าบวกจำนวนเต็ม x , y , K และจำนวนเต็ม m กับ LCD ( Y , M ) = 1ตามสมการxkxy y −− 22 ∓ของฉัน = 0แล้ว Y = U2และ X = UV บางบวกจำนวนเต็ม U และ V