5. Prove (4.0.8).6. Let p and q be

5. Prove (4.0.8).
6. Let p and q be complex numbers. Prove that the distance (ordinary dis-
tance between points in the plane) between p and q is |p − q|. Hint: Use
rectangular form.
7. Verify the distributive law (4.0.4). Suggestion: First prove case (i) where
z is a real number. Next prove case (ii) where z is has norm 1 (use
the fact that the diagonal of a rotated parallelogram is the rotation of
the diagonal of the original parallelogram. Finally prove the general case
where z = rei.
8. This exercise outlines the definitions and properties of complex division.
(a) Notice that the real number 1, considered as the complex number
(1,0), has the property that 1z = z for any complex number z. For
this reason, 1 is called a multiplicative identity for C. Are there any
other multiplicative identities? That is, does there exist any other
complex number u with the property that uz = z for every complex
number z? If so, find one. If not, explain why none exists.
(b) Given two complex numbers u and v with v 6= 0, the quotient of u
divided by v, denoted u/v, is defined to be the complex number z
with the property that u = vz. Write expressions for z = u/v and
w = 1/v in polar form if u = rei and v = sei'.
Note a new definition: we call 1/v the reciprocal or multiplicative
inverse of v, and also write it as v−1. Notice that multiplicative
identity, division and multiplicative inverse are defined the same as
for real numbers.
(c) Suppose that z,w are nonzero complex numbers. Prove that
(1/z)(1/w) = 1/(zw).
(d) Find the multiplicative inverse of z = x + iy in rectangular form
(assume z 6= 0). Hint: Multiply 1/z by z/z and use the previous
exercise. This is called rationalizing the denominator.
9. Express each of the following in rectangular and polar form.
(a)
2 + i
3 − i
(b)
1 + 2i
1 − 2i
(c)
2ei/4
3e−i/2
10. Verify the following formulas. For any complex number z, we have
(a) Re(z) =
z + z
2
, and
(b) Im(z) =
z − z
2i
.
11. Given a nonzero complex number z, explain why z has exactly two square
roots, and explain how to find them.
Mathematical Reasoning I, Course Notes 35
12. Find all complex solutions of the following equations.
(a) z2 + 3z + 5 = 0
(b) (z − i)(z + i) = 1
(c)
2z + i
−z + 3i
= z
13. Derive the double angle identities for cos 2 and sin 2 by computing (ei)2
two ways: in polar form and in rectangular form. Then compare real and
imaginary parts.
14. Graph the solutions to the following complex equations.
(a) |z − 2| = 3
(b) |4z − 2i| = 3
(c) Im(z) = 3
(d) Im(2ei/4z − 2 + 3i) = 0
Mathematical Reasoning I, Course Notes 36
5 Vectors, Linear Maps, and Matrices
Euclidean Space
Let R denote the set of real numbers. For a given positive integer n, the set
Rn = |R × R ×{z· · · × R}
n factors
= {(x1, x2, x3, . . . , xn)}
of ordered n-tuples of real numbers is called n-dimensional Euclidean space or
Euclidean n-space.
The numbers {xi} are called the coordinates of the point x = (x1, . . . , xn). The
space R1 = R is the real number line, R2 is the plane of high school geometry
and algebra, and R3 is the mathematical abstraction for the familiar 3-space in
which we live. The space R0 is defined to be the one point set R0 = {0}.
Vector Operations
Points in Euclidean space are sometimes called vectors, and real numbers are
sometimes called scalars. In multivariate calculus and physics courses, vectors
are often denoted using an arrow decoration like “~x”, but it is also common
to omit any decorations, as we choose to do in these notes. Given two vectors
x = (x1, . . . , xn) and y = (y1, . . . , yn) and a scalar , we define two operations
called scaling and vector addition. The vector x is defined to be
(5.0.9) x = (x1, x2, . . . , xn).
We say that x is the vector x scaled by the factor . The vector x + y, called
the vector sum of x and y, is defined to be
(5.0.10) x + y = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn).
Scalar multiplication and vector addition obey the following distributive law,
which is easy to verify.
(5.0.11)Distributive law for vector operations.For any scalar  and vectors
x, y of the same dimension, we have
(x + y) = x + y.
The vector ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) with a 1 in the ith coordinate and zeroes
in all other coordinates is called the ith standard basis vector in Rn. In R2,
the standard basis vectors e1 = (1, 0) and e2 = (0, 1) are also called i and j,
respectively. In R3, the standard basis vectors e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0)
and e3 = (0, 0, 1) are also called i, j and k, respectively. Given a vector
x = (x1, . . . , xn), we have the following representation of x as a sum of scalar
multiples of the standard basis vectors (note that the summation sign indicates
vector addition).
x =
Xn
i=1
(5.0.12) xiei
Mathematical Reasoning I, Course Notes 37
The inner product or dot product1 of two vectors x = (x1, . . . , xn) and y =
(y1, . . . , yn) is defined to be the scalar quantity
hx, yi = x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn.
In terms of inner product, the ith coordinate xi of the vector x = (x1, . . . , xn)
is given by
(5.0.13) xi = hei, xi
and (5.0.12) becomes
x =
Xn
i=1
(5.0.14) hei, xiei.
Linear Maps and Matrices
Because vector operations are useful, it is natural to consider functions or maps
that respect vector operations. We call these maps linear.
(5.0.15) Definition of Linear Map. A function or map L:Rn ! Rm is called
linear if
(i) L(x) = L(x) , and
(ii) L(x + y) = L(x) + L(y)
for all vectors x, y in Rn and scalars  in R. We describe properties (i) and (ii)
by saying that L preserves or respects vector operations of scaling and addition.
Given a vector x = (x1, . . . , xn) and a linear map L:Rn ! Rm, we have
(5.0.16) L(x) = L(x1, x2, . . . , xn)
= L
0
@
Xn
j=1
xjej
1
A
=
Xn
j=1
L(xjej)
=
Xn
j=1
xjL(ej)
A consequence of this equation is that a linear map is determined by its values
on the standard basis vectors e1, e2, . . . , en. We can write an explicit formula
for the coordinates (y1, y2, . . . , ym) of the value y = L(x). Let f1, f2, . . . , fm
denote the standard basis vectors for Rm. Then we have
(5.0.17) yi = hfi,L(x)i
1In multivariable calculus, the dot product of vectors x and y is denoted by x·y, whence the
name “dot” product. In order to avoid confusion with matrix operations soon to be defined,
we do not use this notation in linear algebra (see the comment preceding 3A on p.143 of the
text).There are many variations in use for inner product notation. Strang uses (x, y), but we
avoid this because it looks like an ordered pair. Physicists use the symbols hx|yi, called Dirac
notation, and refer to the “bra” hx| and the “ket” |yi of the “bracket” hx|yi.
Mathematical Reasoning I, Course Notes 38
= hfi,
Xn
j=1
xjL(ej)i
=
Xn
j=1
xj hfi,L(ej)i.
This last expression shows that the values of a linear function are completely
determined by the numbers
(5.0.18) aij = hfi,L(ej)i
where i is in the range 1  i  m and j is in the range 1  j  n. We call the
rectangular array of numbers
2
666666664
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
ai1 ai2 · · · ain
...
...
...
am1 am2 · · · amn
3
777777775
(5.0.19)
the matrix for L, and denote it by [L] or [aij ]. The numbers aij are called the
entries of the matrix. Rows of the matrix are numbered top to bottom, and
columns are numbered left to right. A matrix with m rows and n columns is
called an m × n matrix.
Written out fully, the equations for the value y = L(x) are the following.
y1 = a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn
y2 = a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn
...
yi = ai1x1 + ai2x2 + · · · + ainxn
...
ym = am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn
(5.0.20)
The expressions on the right sides are inner products.
(5.0.21) yi = h(the ith row of [L]), xi
For the special case when the input vector x is a standard basis vector ej , we
see that
(5.0.22) y = L(ej) = (a1j , a2j , . . . , amj)
or, in words,
(5.0.23) L(ej) is the jth column of [L].
Exercises
1. WPrite each of the following vectors x in the form (x1, x2, . . . , xn) and
xiei. For n = 2, 3, also write x using i, j, k notation.
Example: Given x = 3(2, 4,−1), write x = (6, 12,−3) = 6e1+12e2−3e3 =6i + 12j − 3k.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

5. พิสูจน์ (4.0.8).
6 ให้ p และ q เป็นตัวเลขที่ซับซ้อน พิสูจน์ว่าระยะทาง (โรคสามัญ
ในระยะระหว่างจุดในระนาบ) ระหว่าง p และ q เป็น | p - Q | คำแนะนำ: ใช้
รูปแบบสี่เหลี่ยม.
7 ตรวจสอบกฎหมายการจำหน่าย (4.0.4) คำแนะนำ: ครั้งแรกที่พิสูจน์กรณี (i) ที่
Z เป็นจำนวนจริง ถัดไปพิสูจน์กรณี (ii) ที่ Z จะมีบรรทัดฐานที่ 1 (ใช้
ความจริงที่ว่าเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานหมุนคือการหมุนของ
เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานเดิม. สุดท้ายพิสูจน์กรณีทั่วไป
ที่ Z = Rei ?.
8. การออกกำลังกายนี้โครงร่าง คำนิยามและคุณสมบัติของส่วนที่ซับซ้อน.
(ก) ให้สังเกตว่าจำนวนจริง 1 ถือเป็นตัวเลขที่ซับซ้อน
(1,0) มีทรัพย์สินที่ 1Z = Z for z จำนวนเชิงซ้อนใด ๆ . สำหรับ
เหตุผลนี้ 1 จะเรียกว่า บัตรประจำตัวคูณสำหรับซียังมี
ตัวตนคูณอื่น ๆ นั่นคือไม่มีอยู่อื่น ๆ
จำนวนเชิงซ้อนยูกับทรัพย์สินที่ uz = Z ทุกซับซ้อน
Z จำนวนหรือไม่ถ้าใช่หาหนึ่ง. ถ้าไม่ได้อธิบายว่าทำไมไม่มีใครอยู่
(ข) ได้รับสองตัวเลขที่ซับซ้อน u และ v ด้วย v 6 = 0, ความฉลาดของ u
หารด้วยวีชี้แนะ U / V ถูกกำหนดให้เป็นจำนวนเชิงซ้อน Z
กับทรัพย์สินที่ u = VZ. เขียนแสดงออก for z = U / V และ
W = 1 / V ในรูปแบบเชิงขั้วถ้า u = Rei และ v = เซอิ '?.
หมายเหตุนิยามใหม่: เราเรียกว่า 1 / โวลต์ซึ่งกันและกันหรือคูณ
ผกผันของโวลต์และยังเขียนเป็น V-1 ขอให้สังเกตว่าการคูณ
ตัวตนส่วนและผกผันที่กำหนดไว้เช่นเดียวกับ
ตัวเลขจริง.
(c) สมมติว่า Z w, มีตัวเลขที่ซับซ้อนภัณฑ์ พิสูจน์ว่า
(1 / Z) (1 / w) = 1 / (ZW).
(ง) ค้นหาผกผันของ Z = x + IY ในรูปแบบสี่เหลี่ยม
(สมมติ Z 6 = 0) คำแนะนำ: คูณ 1 / Z โดย z / Z และใช้ก่อนหน้านี้
การออกกำลังกาย นี้เรียกว่าเหตุผลส่วน.
9 แสดงแต่ละคนต่อไปในรูปแบบสี่เหลี่ยมและขั้วโลก.
(ก)
2 + i
3 - ฉัน
(ข)
1 + 2i
1 - 2i
(c)
? 2ei / 4
? 3e-I / 2
10 ตรวจสอบสูตรต่อไปนี้ for z จำนวนเชิงซ้อนใด ๆ เรามี
(ก) เรื่อง (Z) =
Z + Z
2
และ
(ข) อิ่ม (Z) =
Z - Z
2i
.
11 ได้รับหมายเลขซับซ้อนภัณฑ์ Z อธิบายว่าทำไม Z มีตรงสองตาราง
รากและอธิบายวิธีการที่จะพบพวกเขา.
คณิตศาสตร์เหตุผลที่ฉัน, สนามหมายเหตุ 35
12. หาแก้ปัญหาที่ซับซ้อนทั้งหมดของสมการดังต่อไปนี้.
(ก) z2 + 3z + 5 = 0
(ข) (Z - i) (Z + i) = 1
(ค)
2z + i
-z + 3i
Z =
13 สืบทอดมาอัตลักษณ์มุมคู่สำหรับ cos 2 หรือไม่? และบาป 2 หรือไม่? โดยการคำนวณ (EI?) 2
สองวิธีในรูปแบบเชิงขั้วและในรูปแบบสี่เหลี่ยม แล้วเปรียบเทียบจริงและ
ส่วนจินตภาพ.
14 กราฟการแก้ปัญหาต่อไปนี้สมการที่ซับซ้อน.
(ก) | Z - 2 | = 3
(ข) | 4Z - 2i | = 3
(c) อิ่ม (Z) = 3
? (ง) อิ่ม (2ei / 4Z - 2 + 3i) = 0
คณิตศาสตร์เหตุผลผมหมายเหตุหลักสูตร 36
5 เวกเตอร์, แผนที่เชิงเส้นและเมทริกซ์
ยุคลิดอวกาศ
Let R แทนเซตของจำนวนจริง สำหรับจำนวนเต็มบวก n ให้ชุด
Rn = | R × R × {Z ···× R}
n ปัจจัย
= {(x1, x2, x3, xn...)}
สั่ง n-tuples ของจำนวนจริง ที่เรียกว่าพื้นที่ n มิติยุคลิดหรือ
ยุคลิด n พื้นที่.
หมายเลข {} Xi จะเรียกว่าพิกัดของจุด x = (x1,..., xn)
พื้นที่ R1 = R คือเส้นจำนวนจริง R2 เป็นเครื่องบินของเรขาคณิตโรงเรียนมัธยม
และพีชคณิตและ R3 เป็นนามธรรมทางคณิตศาสตร์สำหรับคุ้นเคย 3 พื้นที่ในการ
ที่เราอาศัยอยู่ พื้นที่ R0 ถูกกำหนดให้เป็นจุดหนึ่งตั้ง R0 = {0}.
การดำเนินงานเวกเตอร์
จุดในพื้นที่ยุคลิดจะเวกเตอร์ที่เรียกว่าบางครั้งและตัวเลขจริงจะ
บางครั้งเรียกว่าสเกลาร์ ในแคลคูลัสหลายตัวแปรและหลักสูตรฟิสิกส์เวกเตอร์
จะแสดงมักจะใช้ลูกศรตกแต่งเช่น "~ x" แต่มันก็เป็นธรรมดาที่
จะละเว้นการตกแต่งใด ๆ ที่เราเลือกที่จะทำในบันทึกเหล่านี้ ป.ร. ให้ไว้สองเวกเตอร์
x = (x1,..., xn) และ y = (y1,..., YN) และสเกลาเรากำหนดสองการดำเนินงาน
ที่เรียกว่าการปรับขนาดและนอกจากเวกเตอร์ เวกเตอร์ x ถูกกำหนดให้เป็น
(5.0.9) x = (x1, x2,..., xn).
เราบอกว่า x เป็นเวกเตอร์ x ปรับขนาดโดยปัจจัย เวกเตอร์ x + y เรียกว่า
ผลรวมเวกเตอร์ของ x และ y ที่ถูกกำหนดให้เป็น
(5.0.10) x + y = (x1 + y1, y2 x2 +,..., xn + YN).
คูณสเกลาร์และเวกเตอร์ นอกจากปฏิบัติตามกฎหมายการจำหน่ายต่อไปนี้
ซึ่งเป็นเรื่องง่ายในการตรวจสอบ.
(5.0.11) กฎหมายการกระจายสำหรับเวกเตอร์ operations.For สเกลาร์และเวกเตอร์
x, y ของมิติเดียวกันเรามี
(x + y) = x + y.
เวกเตอร์ = EI (0,..., 0, 1, 0,..., 0) กับ 1 ในบอดประสานงานและศูนย์
ในพิกัดอื่น ๆ จะเรียกว่าเวกเตอร์พื้นฐานบอดมาตรฐานใน Rn ใน R2,
เวกเตอร์พื้นฐานมาตรฐาน E1 = (1, 0) และ E2 = (0, 1) นอกจากนี้ยังเรียกว่า i และ j,
ตามลำดับ ใน R3, เวกเตอร์พื้นฐานมาตรฐาน E1 = (1, 0, 0), E2 = (0, 1, 0)
และ e3 = (0, 0, 1) ยังเรียกฉัน j และ k ตามลำดับ ป.ร. ให้ไว้เวกเตอร์
x = (x1,..., xn) เรามีการแสดงต่อไปนี้ของ x เป็นผลรวมของสเกลาร์
หลายรายการเวกเตอร์พื้นฐานมาตรฐาน (โปรดทราบว่าสัญญาณบวกที่บ่งชี้
นอกจากเวกเตอร์).
x =
Xn
i = 1
(5.0.12) xiei
คณิตศาสตร์เหตุผลผมหมายเหตุหลักสูตร 37
สินค้าภายในหรือ Product1 จุดของสองเวกเตอร์ x = (x1,..., xn) และ y =
(y1,..., YN) ถูกกำหนดให้เป็น ปริมาณสเกลาร์
HX, ยี่ = x1y1 + X2Y2 + ··· + xnyn.
ในแง่ของผลิตภัณฑ์ภายในบอดประสานงาน Xi ของเวกเตอร์ x = (x1,..., xn)
จะได้รับจาก
(5.0.13) Xi = Hei ซีอาน
และ (5.0.12) กลายเป็น
x =
Xn
i = 1
(5.0.14) Hei, xiei.
เชิงเส้นแผนที่และเมทริกซ์
เพราะการดำเนินงานเวกเตอร์ที่มีประโยชน์มันเป็นธรรมชาติที่จะต้องพิจารณาการทำงานหรือแผนที่
ที่เคารพการดำเนินงานเวกเตอร์ เราเรียกแผนที่เหล่านี้เชิงเส้น.
(5.0.15) ความหมายของการเชิงเส้นแผนที่ ฟังก์ชั่นหรือแผนที่ L: Rn! Rm เรียกว่า
เชิงเส้นถ้า
(i) L (x) = L (x) และ
(ii) L (x + y) = L (x) + L (Y)
สำหรับเวกเตอร์ทั้งหมด x, y ใน Rn และสเกลาร์ในการวิจัย . เราอธิบายคุณสมบัติ (i) และ (ii)
โดยบอกว่ารักษา L หรือการดำเนินการประการเวกเตอร์ของการปรับขนาดและนอกจากนี้.
กำหนดเวกเตอร์ x = (x1, xn...) และแผนที่เชิงเส้น L: Rn! Rm เรามี
(5.0.16) L (x) = L (x1, x2,..., xn)
= L
0
@
Xn
J = 1
xjej
1 = Xn J = 1 L (xjej) = Xn J = 1 XJL (EJ) ผลที่ตามมาของสมการนี้คือแผนที่เชิงเส้นจะถูกกำหนดโดยค่าของตนที่เวกเตอร์พื้นฐานมาตรฐาน E1, E2, . . , en เราสามารถเขียนสูตรอย่างชัดเจนสำหรับพิกัด (y1, y2,..., YM) ของค่า y = L (x) ขอ F1, F2, . . , เอฟเอ็มแสดงเวกเตอร์พื้นฐานมาตรฐานสำหรับ Rm แล้วเรามี(5.0.17) ยี่ = HFI, L (x) ฉัน1in แคลคูลัสหลายตัวแปรผลิตภัณฑ์จุดของเวกเตอร์ x และ y จะเขียนแทนด้วย x ·และดังนั้นชื่อ "จุด" ผลิตภัณฑ์ เพื่อที่จะหลีกเลี่ยงความสับสนกับการดำเนินงานเมทริกซ์เร็ว ๆ นี้จะกำหนดเราไม่ได้ใช้เครื่องหมายนี้ในพีชคณิตเชิงเส้น (ดูความคิดเห็นก่อนหน้านี้เมื่อวันที่ 3A p.143 ของข้อความ) บ้านจะประกอบไปหลายรูปแบบในการใช้งานสำหรับโน้ตสินค้าภายใน แปลกใช้ (x, y) แต่เราหลีกเลี่ยงปัญหานี้เพราะดูเหมือนว่าทั้งคู่ได้รับคำสั่ง นักฟิสิกส์ใช้สัญลักษณ์ HX | ยี่เรียกว่าแรคสัญกรณ์และหมายถึง "ชุดชั้นใน" HX | และ "เกตุ" | ยี่ของ "วงเล็บ" HX |. ยี่คณิตศาสตร์เหตุผลผมหมายเหตุหลักสูตร 38 = HFI, Xn J = 1 XJL (EJ) ฉัน= Xn J = 1 XJ HFI, L (ญ) i. นี้การแสดงออกที่ผ่านมาแสดงให้เห็นว่าค่าของฟังก์ชันเชิงเส้นจะสมบูรณ์กำหนดโดยตัวเลข(5.0.18) AIJ = HFI, L (ญ) ฉันที่ฉันอยู่ในช่วง 1? i? เมตรและเจอยู่ในช่วง 1? J? n เราเรียกอาร์เรย์สี่เหลี่ยมของตัวเลข2 666666664 A11 A12 ··· a1n a21 a22 ··· a2n ... ... ... ai1 Ai2 ··· Ain ... ... ... AM1 AM2 ··· AMN 3 777,777,775 (5.0.19) เมทริกซ์สำหรับ L และแสดงมันด้วย [L] หรือ [AIJ] หมายเลข AIJ จะเรียกว่ารายการของเมทริกซ์ แถวของเมทริกซ์จะมีหมายเลขบนลงล่างและคอลัมน์จะมีหมายเลขซ้ายไปขวา เมทริกซ์ที่มี m แถวและ n คอลัมน์เรียกว่าม. ×เมทริกซ์ n. เขียนออกมาอย่างเต็มที่สมการสำหรับค่า y = L (x) มีดังต่อไปนี้. y1 = a11x1 + a12x2 + ··· + a1nxn y2 = a21x1 + a22x2 + ··· + a2nxn ... ยี่ ai1x1 + = ai2x2 + ··· + ainxn ... YM = am1x1 + am2x2 + ··· + amnxn (5.0.20) การแสดงออกในด้านขวาเป็นผลิตภัณฑ์ภายใน(5.0.21) ยี่ h = (แถวที่ i ของ [L]) Xi สำหรับกรณีพิเศษเมื่อป้อนข้อมูลเวกเตอร์ x เป็นพื้นฐานที่มาตรฐานเวกเตอร์ EJ เราเห็นว่า(5.0.22) y = L (ญ) = (a1j, a2j,..., AMJ) หรือในคำ(5.0.23) L (ญ) เป็นคอลัมน์ที่ j ของ [L]. การออกกำลังกาย1 WPrite แต่ละเวกเตอร์ต่อไปนี้ x ในรูปแบบ (x1, x2,..., xn) และxiei สำหรับ n = 2, 3, ยังเขียน x ใช้ I, J, สัญกรณ์ k. ตัวอย่าง: ให้ x = 3 (2, 4, -1) เขียน x = (6, 12, -3) = 6E1 + 12e2-3e3 = 6i + 12j - 3k

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

5 . พิสูจน์ ( 4.0.8 )
6 ให้ p และ q เป็นตัวเลขที่ซับซ้อน พิสูจน์ว่าระยะทาง ( สามัญ dis -
ไประหว่างจุดในระนาบ ) ระหว่าง P และ Q เป็น | P − Q | . คำแนะนำ : ใช้รูปแบบสี่เหลี่ยม
.
7 ตรวจสอบกฎหมายการกระจาย ( 4.0.4 ) คำแนะนำ : ก่อนพิสูจน์กรณี ( ผม ) ที่
Z เป็นจํานวนจริง ต่อไปพิสูจน์คดี ( II ) ที่ ซี ได้ปกติ ( ใช้
1ความจริงที่ว่าเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานหมุนคือการหมุนของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ต้นฉบับ ในที่สุดพิสูจน์กรณีทั่วไป
ที่ Z = เรย์  .
8 การออกกำลังกายนี้สรุปนิยามและคุณสมบัติของหน่วยซับซ้อน .
( A ) สังเกตว่าจริงหมายเลข 1 ถือว่าเป็น
จำนวนเชิงซ้อน ( 1,0 ) มีคุณสมบัติที่ 1z = Z สำหรับใด ๆสำหรับเลขเชิงซ้อน Z
เหตุผลนี้1 จะเรียกว่าเอกลักษณ์การคูณสำหรับ C มี
อื่นๆการคูณอัตลักษณ์ ? นั่นคือไม่มีอยู่ ๆ
เลขเชิงซ้อน U กับทรัพย์สินที่ UZ = Z ทุกซับซ้อน
เลขที่ Z ? ถ้าหาเจอ ถ้าไม่อธิบายว่าทำไมไม่มีอยู่จริง .
( B ) ให้สองจำนวนเชิงซ้อน U และ V กับ V 6 = 0 , หารของ U
แบ่งตาม V แทน U / V , กำหนดเป็นเลขเชิงซ้อน z
ด้วยคุณสมบัติที่ U = VZ . เขียนนิพจน์สำหรับ Z = u / V และ W = 1
/ V ในรูปแบบขั้วโลกถ้า u = V = เซย์เรย์  ' .
หมายเหตุนิยามใหม่ : เราเรียก 1 / 5 ส่วนกลับหรือการคูณ
3 V , และยัง เขียน มันเป็น V − 1 สังเกตเห็นว่า การคูณ
เอกลักษณ์ และกองตัวผกผันการคูณเป็นนิยามเดียวกับจำนวนจริง
.
( C ) สมมติว่า z , w เป็น 0 จำนวนเชิงซ้อน . พิสูจน์ว่า
( 1 ) Z ( 1 / W ) = 1 / ( ZW )
( D ) พบผกผันการคูณของ z = x เองในรูปแบบสี่เหลี่ยม ( สมมติ z
6 = 0 ) คำใบ้ : คูณ 1 / Z โดย Z / Z และออกกำลังกายก่อน

นี้เรียกว่า rationalizing ตัวส่วน .
9 แสดงแต่ละต่อไปนี้ในรูปแบบสี่เหลี่ยมและขั้วโลก .
( )
2 ผม
3 −ผม
( B )
1
1 − 2i 2i
( C )
4
2ei  / 3E −ผม  / 2
10 ตรวจสอบสูตรต่อไปนี้ สำหรับเลขเชิงซ้อน Z ,เรามี
( A ) Re ( z ) =
z z
2
,
( b ) อิม ( z ) = − Z

z 2i
.
11 ได้รับ 0 เลขเชิงซ้อน Z , อธิบายว่าทำไม Z ได้ว่าสองสี่เหลี่ยม
รากและอธิบายวิธีการหาพวกเขา .
การใช้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ ชั้น หลักสูตร 3
12 บันทึก ค้นหาโซลูชั่นที่ซับซ้อนทั้งหมดของสมการต่อไปนี้ .
( ) 3z กขึ้น 5 = 0 =
( b ) ( Z ( Z ) − 1 ) = 1
( C )
2z ผม

= − Z 3I Z
13รับคู่มุมเอกลักษณ์สำหรับคอส 2  และบาป 2  โดยคอมพิวเตอร์ ( EI  ) 2
2 วิธี : ในรูปแบบขั้วโลกและในรูปแบบสี่เหลี่ยม แล้วเปรียบเทียบจริงและชิ้นส่วนจินตนาการ
.
14 กราฟการแก้ไขสมการเชิงซ้อนต่อไปนี้ .
( Z ) | | − 2 = 3
( b ) | 4Z − 2i | = 3
( C ) อิม ( z ) = 3
( D ) ม ( 2ei  / 4Z − 2 3 ลิตร ) = 0 =
การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ผมแน่นอนบันทึก 0
5 เวกเตอร์ แผนที่เชิงเส้นและเมทริกซ์
ใช้พื้นที่
ให้ R แทนเซตของจำนวนจริง ให้จำนวนเต็มบวก n ชุด
Rn = | r × r × { z · · ·× R }
n ปัจจัย
= { ( x1 , x2 , x3 , . . . . . . . . คริสเตียน ) } ,
สั่ง n-tuples ตัวเลขที่แท้จริง คือ เรียกใช้ หรือใช้ n-space พื้นที่ n-dimensional
.
{ 11 } เลขเรียกพิกัดของจุด x = ( x1 , . . . . . . . . คริสเตียน , )
พื้นที่ R1 = r เป็นเส้นจํานวนจริงอาร์ทูเป็นเครื่องบินของ
เรขาคณิตโรงเรียนมัธยมและพีชคณิตและ R3 เป็นนามธรรมทางคณิตศาสตร์สำหรับ 3-space คุ้นเคยใน
ที่เราอาศัยอยู่ การ r0 พื้นที่ที่ถูกกําหนดให้เป็นจุดหนึ่งชุด r0 = { 0 } .

เวกเตอร์จุดในการใช้พื้นที่บางครั้งเรียกว่าพาหะ และตัวเลขจริง
บางครั้งเรียกว่า scalars . ในแคลคูลัสหลายตัวแปรและฟิสิกส์หลักสูตร
เวกเตอร์มักใช้ลูกศรแทน ตกแต่งเหมือน " ~ X " แต่ยังเป็นทั่วไป
ละเว้นใด ๆตกแต่งที่เราเลือกที่จะทำในบันทึกนี้ ได้รับสองเวกเตอร์
x = ( x1 , . . . . . . . . คริสเตียน ) , Y = ( y1 , . . . . . . . . ใน ) , และสเกลาร์ เรานิยามสองปฏิบัติการ
เรียกว่าหินน้ำลายและการบวกเวกเตอร์ . เวกเตอร์ x กำหนดให้
( 5.0.9 ) x = ( x1 , x2 , . . . . . . . .
, คริสเตียน )เราว่า X เป็นเวกเตอร์ x ปรับขนาด โดยมีปัจจัย . เวกเตอร์ฟรีเกี่ยวกับ X Y เรียก
ผลรวมของ X และ Y ถูกกำหนดให้
( 5.0.10 ) x y = ( y1 y2 X1 , X2 , . . . . . . . . คริสเตียนใน ) , .
การคูณสเกลาร์และเวกเตอร์เชื่อฟังกฎหมายและการกระจายต่อไปนี้
ซึ่งเป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบ .
( 5.0.11 ) กฎหมายการกระจายงานเวกเตอร์ สำหรับ สเกลาร์และเวกเตอร์
x , y ในมิติเดียวกัน เรามี
( x = y ) X Y
เวกเตอร์ EI = ( 0 ) . . . . . . . , 0 , 1 , 0 , . . . . . . . . 0 กับ 1 ใน ith ประสานงานและ zeroes
ในพิกัดอื่น ๆเรียกว่า ith มาตรฐานพื้นฐานเวกเตอร์ใน RN . ใน R2
มาตรฐาน E1 = พื้นฐานเวกเตอร์ ( 1 , 0 ) และ E2 = ( 0 , 1 ) ที่เรียกว่าฉันและ J ,
) ใน R3 , มาตรฐาน E1 = พื้นฐานเวกเตอร์ ( 1 , 0 , 0 ) , E2 = ( 0 , 1 , 0 ) และ ( E3
= 0 , 0 , 1 ) ที่เรียกว่า I , J และ K ,ตามลำดับ ให้เวกเตอร์
x = ( x1 , . . . . . . . . คริสเตียน ) , เรามีต่อไปนี้เป็นตัวแทนของ x เป็นผลรวมของการคูณสเกลาร์
ของเวกเตอร์พื้นฐานมาตรฐาน ( หมายเหตุ รวมสัญญาณบ่งชี้
การบวกเวกเตอร์ )
x =

ฉันคริสเตียน = 1
( 5.0.12 ) xiei
การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ , หลักสูตร 37
ผลิตภัณฑ์ภายในหรือจุด product1 ของ สองเวกเตอร์ x = หมายเหตุ ( x1 , . . . . . . . . คริสเตียน ) , Y =
( y1 , . . . . . . . . ,ใน ) คือกำหนดเป็นปริมาณสเกลาร์
ทำให้ยี = x1y1 x2y2 · · · xnyn .
ในแง่ของผลิตภัณฑ์ด้านใน , ith ประสานงาน Xi ของเวกเตอร์ x = ( x1 , . . . . . . . . คริสเตียน ) , ให้ (

5.0.13 ) ซี = สวัสดี , ซี
( 5.0.12 ) กลายเป็น
x =

ฉันคริสเตียน = 1
( 5.0.14 ) เฮ้ย xiei .

เพราะแผนที่เชิงเส้นเวกเตอร์และเมทริกซ์การดำเนินงานเป็นประโยชน์ มันเป็นเรื่องธรรมชาติที่จะต้องพิจารณาการทำงานหรือแผนที่
ที่เคารพการปฏิบัติเวกเตอร์ .เราเรียกแผนที่เชิงเส้นเหล่านี้ .
( 5.0.15 ) ความละเอียดของแผนที่เชิงเส้น ฟังก์ชันหรือแผนที่ L : Rn ! RM เรียกว่า

( เส้นผม ) ถ้า L ( x ) = L ( x )
( II ) และ L ( X = Y ) L ( x ) l ( Y )
ทั้งหมดเวกเตอร์ x , y ใน Rn และ scalars ในอาร์ เราอธิบายคุณสมบัติ ( I ) และ ( ii )
โดยกล่าวว่า ผมจะเก็บรักษาหรือการเคารพเวกเตอร์หินน้ำลายและนอกจาก
ได้รับเวกเตอร์ x = ( x1 , . . . . . . . . คริสเตียน ) , และผมเส้นแผนที่ : Rn ! RM ,เราได้
( 5.0.16 ) l ( x ) = L ( x1 , x2 , . . . . . . . . คริสเตียน ) ,
= l
0
@

xjej ซิน
J = 1
1
A
=
ซิน
J = 1
L ( xjej )
=
ซิน
J = 1

xjl ( EJ ) ผลของสมการนี้คือแผนที่เชิงเส้นจะถูกกำหนดโดยค่าของ
บนเวกเตอร์พื้นฐานมาตรฐาน E1 , E2 , . . . . . . . . , a . เราสามารถเขียนเป็นสูตรที่ชัดเจนสำหรับ
y1 y2 พิกัด ( , , . . . . . . . . การ ) , ค่า y = L ( x ) ขอ F1 , F2 , . . . . . . . . FM
แสดงเวกเตอร์พื้นฐานมาตรฐานสำหรับ RM .แล้วเราได้
( 5.0.17 ) อี = Co , L ( x )
1in วิชาแคลคูลัส จุดของผลิตภัณฑ์ของเวกเตอร์ x และ y เขียนโดย X ด้วย Y
ชื่อว่า " จุด " ผลิตภัณฑ์ เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนกับการดำเนินการเมตริกซ์นี้จะกำหนด
เราไม่ใช้สัญกรณ์นี้ในพีชคณิตเชิงเส้น ( ดูความคิดเห็นก่อนหน้านี้ 3A ใน p.143 ของ
ข้อความ ) . มีหลายรูปแบบในการใช้สัญกรณ์ผลคูณภายใน แปลกใช้ ( XY ) แต่เรา
หลีกเลี่ยง เพราะมันเหมือนสั่งคู่ นักฟิสิกส์ใช้สัญลักษณ์ HX | ยีที่เรียกว่าดิเรก
โน้ต และอ้างถึง " บรา " HX | และ " เกตุ " | ยีของ " วงเล็บ " HX | ยี .
การใช้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ผมแน่นอน 38
= Co บันทึก
ซิน
J = 1
xjl ( เฮ้ ) ผม
= ซิน

J = 1
XJ Co , L ( EJ ) I
เมื่อสีหน้าแสดงให้เห็นว่าค่าของฟังก์ชันเชิงเส้นถูกกำหนดโดยตัวเลข

( 5.0 .18 ) aij = Co , L ( เฮ้ ) ผม
ที่ผมอยู่ในช่วง 1  ผม  M และ J อยู่ในช่วง 1  J  เราเรียก
สี่เหลี่ยมเรย์ของตัวเลข
2
4
66666666 A11 A12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . ai1 ai2 · · ·น่ะ


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
am1 แบบ· · · 77777777 AMN
3
5
( 5.0.19 )
เมทริกซ์ L , และแสดงโดย [ L ] หรือ [ aij ] ตัวเลข aij เรียกว่า
รายการของเมทริกซ์แถวของเมทริกซ์จะนับจากบนลงล่างและ
คอลัมน์นับซ้ายไปขวา เมทริกซ์กับ m แถวและคอลัมน์จะเรียกว่า m × n

เขียนเต็มเมทริกซ์สมการค่า Y = L ( x ) มีดังต่อไปนี้ a11x1
y1 = a12x2 · · · a1nxn
2 = a21x1 a22x2 · · · a2nxn
. .
= ai1x1 ai2x2 ด้วยด้วยอี ด้วย ainxn
. .
) = am1x1 am2x2 · · · amnxn

( 5.0.20 )การแสดงออกด้านขวาเป็นผลิตภัณฑ์ภายใน .
( 5.0.21 ) อี = H ( อ. แถวของ [ L ] ) , ซี
สำหรับกรณีพิเศษเมื่อป้อนข้อมูลเวกเตอร์ x ที่เป็นมาตรฐานพื้นฐานเวกเตอร์ EJ เรา

( เห็น 5.0.22 ) Y = L ( EJ ) = ( a1j a2j , , . . . . . . . . 1 )
, หรือ , คำพูด ,
( 5.0.23 ) L ( EJ ) เป็น jth คอลัมน์ของ [ L ] .
แบบฝึกหัด
1 wprite แต่ละต่อไปนี้เวกเตอร์ x ในรูป ( x1 , x2 , . . . . . . . . คริสเตียน ) ,
xiei . n = 2 , 3 ,ยังเขียน X ใช้ I , J , K หมายเหตุ .
ตัวอย่าง : ให้ x = 3 ( 2 , 4 , − 1 ) , เขียน ( x = 6 , 12 , − 1 ) = = 6i 12j 3e3 6e1 12e2 −− 3 K