Journal of Inequalities in Pure and

Journal of Inequalities in Pure and
Applied Mathematics
http://jipam.vu.edu.au/
Volume 5, Issue 4, Article 114, 2004
ON MULTIPLICATIVELY e-PERFECT NUMBERS
JÓZSEF SÁNDOR
DEPARTMENT OF MATHEMATICS
BABE ¸S-BOLYAI UNIVERSITY
STR. KOGALNICEANU, 400084 CLUJ-NAPOCA
ROMANIA.
[e-mail]
Received 14 June, 2004; accepted 16 December, 2004
Communicated by L. Tóth
ABSTRACT. Let Te(n) denote the product of exponential divisors of n. An integer n is called
multiplicatively e-perfect, if Te(n) = n2. A characterization of multiplicatively e-perfect and
similar numbers is given.
Key words and phrases: Perfect number, exponential divisor, multiplicatively perfect, sum of divisors, number of divisors.
2000 Mathematics Subject Classification. 11A25, 11A99.
1. INTRODUCTION
If n = p1
1 . . . pr
r is the prime factorization of n > 1, a divisor d|n, called an exponential
divisor (e-divisor, for short), of n is d = pb1
1 . . . pbr
r with bi|i (i = 1, r). This notion is due
to E. G. Straus and M. V. Subbarao [11]. Let e(n) be the sum of divisors of n. For various
arithmetic functions and convolutions on e-divisors, see J. Sándor and A. Bege [10]. Straus and
Subbarao define n as exponentially perfect (or e-perfect for short) if
(1.1) e(n) = 2n.
Some examples of e-perfect numbers are: 22 · 32, 22 · 33 · 52, 24 · 32 · 112, 24 · 33 · 52 · 112, etc.
If m is squarefree, then e(m) = m, so if n is e-perfect, and m = squarefree with (m, n) = 1,
then m · n is e-perfect, too. Thus it suffices to consider only powerful (i.e. no prime occurs to
the first power) e-perfect numbers.
Straus and Subbarao [11] proved that there are no odd e-perfect numbers, and that for each r
the number of e-perfect numbers with r prime factors is finite.
Is there an e-perfect number which is not divisible by 3? Straus and Subbarao conjecture that
there is only a finite number of e-perfect numbers not divisible by any given prime p.
J. Fabrykowski and M.V. Subbarao [3] proved that any e-perfect number not divisible by 3
must be divisible by 2117, greater than 10664, and have at least 118 distinct prime factors.
P. Hagis, Jr. [4] showed that the density of e-perfect numbers is positive.
ISSN (electronic): 1443-5756
c

2004 Victoria University. All rights reserved.
120-04
2 JÓZSEF SÁNDOR
For results on e-multiperfect numbers, i.e. satisfying
(1.2) e(n) = kn
(k > 2), see W. Aiello, G. E. Hardy and M. V. Subbarao [1]. See also J. Hanumanthachari, V.
V. Subrahmanya Sastri and V. Srinivasan [5], who considered also e-superperfect numbers, i.e.
numbers n satisfying
(1.3) e(e(n)) = 2n.
2. MAIN RESULTS
Let T(n) denote the product of divisors of n. Then n is said to be multiplicatively perfect (or
m-perfect) if
(2.1) T(n) = n2
and multiplicatively super-perfect, if
T(T(n)) = n2.
For properties of these numbers, with generalizations, see J. Sándor [8].
A divisor d of n is said to be "unitary" if

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

สมุดรายวันของความเหลื่อมล้ำทางในบริสุทธิ์ และคณิตศาสตร์ประยุกต์http://jipam.vu.edu.au/เล่มที่ 5 ฉบับที่ 4 บทความ 114, 2004หมายเลข MULTIPLICATIVELY อีเหมาะJÓZSEF SÁNDORภาควิชาคณิตศาสตร์BABE ¸S BOLYAI มหาวิทยาลัยSTR. KOGALNICEANU, 400084 CLUJ-NAPOCAโรมาเนีย[e-mail]14 มิถุนายน 2004 ได้รับ ยอมรับ 16 ธันวาคม 2004สื่อสาร โดย L. Tóthบทคัดย่อ ให้แสดงสินค้าตัวหารของ n เนน Te(n) เรียกว่า n เป็นจำนวนเต็มถ้า multiplicatively e-สมบูรณ์ Te(n) = n2 คุณสมบัติของ multiplicatively อีสมบูรณ์ และตัวเลขที่คล้ายกันจะได้รับศัพท์และวลี: จำนวนสมบูรณ์ หารเนน multiplicatively สมบูรณ์ จำนวนหาร เลขตัวหารการจัดประเภทเรื่องคณิตศาสตร์ 2000 11A25, 11A991. บทนำถ้า n = p 11... p rr คือ แยกตัวประกอบเฉพาะของ n > 1, d|n การหาร เรียกการเนนหาร (อีหาร สั้น ๆ), n เป็น d = pb11... pbrr กับ bi| ฉัน (ฉัน = 1, r) ความคิดนี้จะครบกำหนดStraus E. กรัมและ Subbarao V. M. [11] ให้ e(n) เป็นผลรวมตัวหารของ n สำหรับต่าง ๆฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์และ convolutions บนอีหาร ดู J. Sándor และ A. Bege [10] Straus และSubbarao กำหนด n เป็นสร้างโก (หรืออีสมบูรณ์แบบสั้น ๆ)(1.1) e(n) = 2nตัวอย่างเช่นจำนวนอีเหมาะ: 22 · 32, 22 · 33 · 52, 24 · 32 · 112, 24 · 33 · 52 · 112 ฯลฯถ้า m เป็น squarefree แล้ว e(m) = m ดังนั้น ถ้า n e สมบูรณ์ และ m = squarefree ด้วย (m, n) = 1แล้ว m · n คืออีสมบูรณ์ เกินไป ดัง นั้น suffices จะพิจารณาเฉพาะประสิทธิภาพ (เช่นนายกไม่เกิดขึ้นกับพลังงานแรก) หมายเลข e-สมบูรณ์Subbarao [11] และ Straus พิสูจน์ว่า มีเลขไม่ดีอีคี่ และที่สำหรับแต่ละ rมีจำกัดจำนวนเลขอีเหมาะกับปัจจัยเฉพาะ rมีหมายเลขอีดีที่ไม่โดย 3 Straus และ Subbarao นึกที่มีเพียงจำนวนจำกัดหมายเลข e เหมาะไม่ได้หารได้ โดย p เฉพาะใด ๆ ให้J. Fabrykowski และ M.V. Subbarao [3] พิสูจน์ใด ๆ อีเหมาะที่เลขไม่หารได้ 3ต้องสามารถแบ่งได้ โดย 2117 มากกว่า 10664 และมีตัวประกอบเฉพาะแตกต่างกันน้อย 118P. Hagis จูเนียร์ [4] พบว่าความหนาแน่นสมบูรณ์อีจำนวนบวกนอก (อิเล็กทรอนิกส์): 1443-5756cมหาวิทยาลัยวิคตอเรีย 2004 สงวนลิขสิทธิ์ทั้งหมด120-042 JÓZSEF SÁNDORสำหรับผลลัพธ์เลขอี multiperfect เช่นความพึงพอใจe(n) (1.2) =ช็อปปิ้ง(k > 2), ดู W. Aiello, G. E. Hardy และ M. V. Subbarao [1] ดู J. Hanumanthachari, VV. Subrahmanya Sastri และ V. Srinivasan [5], ซึ่งถือว่ายังหมายเลข e-superperfect เช่นหมายเลข n ความพึงพอใจ(1.3) e (e(n)) = 2n2 ผลลัพธ์หลักให้แสดงสินค้าตัวหารของ n T(n) แล้ว n กล่าวได้ว่า เป็นโก multiplicatively (หรือถ้าถือ m)(2.1) T(n) = n2และถ้า multiplicatively เตอร์รุ่นโกT(T(n)) = n2สำหรับคุณสมบัติของตัวเลขเหล่านี้ generalizations ดู Sándor J. [8]ตัวหารของ n d กล่าวได้ว่า เป็น "unitary" ถ้า