Eigenvalues of Matrices of Low Rank

Eigenvalues of Matrices of Low Rank
Stewart Venit([e-mail]) and Richard Katz ([e-mail])California State University , Los Angeles , CA 90032

While it can be difficult, or even impossible, to find exact eigenvalues of an matrix in general, we will illustrate a simple method that works when the rank of the matrix is small. This technique can be used for student discovery in a linear algebra class; an instructor can assign a sequence of exercises requiring students to solve special cases, make conjectures about generalizations, and then prove their conjectures.
The eigenvalues of a matrix A are the zeroes of its characteristic polynomial, det( - ), which can be written as
(1)
It is well known (see, for example, [3, p. 251]) that the coefficients and in (1) are, respectively, the trace of A(the sum of its diagonal entries) and the determinant of A. In fact, all coefficients in (1) can be expressed in terms of k-rowed principal minors of A. (A k-rowed principal minor of an matrix A is the determinant of a submatrix of A whose entries,
, have indices and that are the elements of the same k-element subset of {1, 2, …, }.)
For example, if
B =
then:
the 1- rowed principal minors of B are the diagonal entries 1 , 5 , 9
the 2- rowed principal minors of B are
det det det
and the only 3- rowed principal minor of B is det(B) = 0.
The following theorem is the key to the subsequent results.It dates back to 1875 (see[2, p. 295]), but is not so well-known today. A proof can be found in [1, p. 215].

Theorem 1. Let Abe an matrix. Then, for k = 1, 2, …, n, the coefficient in the characteristic polynomial (1) is given by the sum of the k- rowed principal minors of A.

For example, the characteristic polynomial of the matrix B of the previous example is where 1 + 5 + 9 = 15, and Thus,
Theorem 1 dose not usually provide an efficient way to compute the characteristic polynomial of A; computing det directly generally requires fewer operations. When the rank of A is small, however, this theorem does provide an efficient means of finding the eigenvalues of A.
It is well known (see, for example, [3, p. 202]) that the rank of A is equal to the order of the largest nonzero minor of A the largest square submatrix of A with nonzero determinant. Since a k-rowed principal minor is a special type of minor, the following theorem follows immediately from this result.

Theorem 2. Let Abe an n n matrix. Then, the order of the largest nonzero k-rowed principal minor of A is less then or equal to the rank of A.

It follows from Theorems 1 and 2 that if A is an matrix and the rank of A is r, then for k> r. Thus, the characteristic polynomial of such a matrix has the form



and we obtain the following result.

Corollary.Let Abe an matrix with rank r. Then, all nonzero eigenvalues of A are among the zeros of the polynomial
(2)
Where for k = 1, 2, … , r, is given by the sum of the k-rowed principal minors of A.

So, the exact eigenvalues of a matrix of rank 1 or 2 can be found by solving a linear or quadratic equation. For example, the matrix B of the previous examples has rank 2, and its two nonzero eigenvalues are the zeros of
The entries of the matrix B, when read from left to right and top to bottom, are those of an arithmetic sequence with common difference equal to 1. Every matrix whose entries form an arithmetic sequence has rank less than or equal to 2. (This can be seen by subtracting the first row from each of the others, leading to a row-reduced matrix with at most two nonzero rows.)Therefore, such matrices have eigenvalues that can be easily found. For example, let

It entries form an arithmetic sequence, and H has rank 2. So, two of its eigenvalues are equal to 0 and, by the Corollary, the other two satisfy the quadratic equation Thus, the eigenvalues ofH are 0, 0, 15 and
There is an easy way to generate additional examples to which the Corollary can be applied: If the entries of an matrix A are the terms of a geometric sequence, then its rank is 1 (unless all its entries are zero); if the entries of A are consecutive terms of the Fibonacci sequence {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, …}, then its rank is 2 for all n .
The results presented in this article can be used

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เวกเตอร์ของเมทริกซ์ของอันดับต่ำสุดVenit สจ๊วต (ส่วน [e-mail]) และริชาร์ดทซ ([e-mail]) มหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย Los Angeles, CA 90032แม้ว่าจะเป็นการยากลำบาก หรือ ไม่ได้ หาเวกเตอร์แน่นอนของเมทริกซ์การทั่วไป เราจะแสดงวิธีการง่ายที่ทำงานเมื่ออันดับของเมทริกซ์มีขนาดเล็ก เทคนิคนี้สามารถใช้สำหรับการค้นพบนักเรียนในชั้นเรียนพีชคณิตเชิงเส้น ผู้สอนสามารถกำหนดลำดับของการออกกำลังกายที่ต้องการศึกษา การแก้ปัญหากรณีพิเศษ ทำ conjectures เกี่ยวกับ generalizations พิสูจน์ conjectures ของพวกเขาแล้วเวกเตอร์ของเมทริกซ์ A เป็นศูนย์ของความลักษณะพหุนาม เดช (-), ซึ่งสามารถเขียนเป็น (1)เป็นที่รู้จัก (ดู ตัวอย่าง, [3, p. 251]) ที่สัมประสิทธิ์ และ มี (1) ตามลำดับ การสืบค้นกลับของ A (ผลรวมของรายการแนวทแยง) และดีเทอร์มิแนนต์ของอ. สามารถแสดงสัมประสิทธิ์ทั้งหมดใน (1) ใน k rowed สาขาหลักของความเป็นจริง (k rowed หลักเด็กอมมือที่เมทริกซ์ A คือ ดีเทอร์มิแนนต์ของ submatrix ของ A มีรายการ มีดัชนีและองค์ประกอบของชุดย่อยองค์ประกอบ k เดียวของ {1, 2,..., }) ตัวอย่าง ถ้าB = แล้ว: 1 - rowed สาขาหลักของ B มีเส้นทแยงมุมรายการ 1, 5, 9 2-สาขาหลัก rowed ของ B มีเดชเดชเดช และเดียว 3 - วิชารองหลัก rowed ของ B คือ det(B) = 0 ทฤษฎีบทต่อไปนี้เป็นสำคัญเพื่อผลลัพธ์ตามมา วันกลับไป 1875 (ดู [2, p. 295]), แต่ไม่รู้จักดังนั้นวันนี้ หลักฐานที่สามารถพบได้ใน [1, p. 215]ทฤษฎีบทที่ 1 ให้อะเบะเมทริกซ์การ แล้ว สำหรับ k = 1, 2,..., n สัมประสิทธิ์ในลักษณะพหุนาม (1) ถูกกำหนด โดยผลรวมของ k - rowed สาขาหลักของ ตัวอย่าง พหุนามลักษณะของเมทริกซ์ B ตัวอย่างก่อนหน้านี้เป็นตำแหน่ง 1 + 5 + 9 = 15 ดัง นี้ และ ทฤษฎีบท 1 ยามักจะไม่ให้วิธีที่มีประสิทธิภาพจะคำนวณโพลิโนเมียลักษณะของ A คำนวณเดชโดยตรงโดยทั่วไปต้องการดำเนินการน้อยลง เมื่อตำแหน่งของ A มีขนาดเล็ก อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีบทนี้ให้หมายถึงการมีประสิทธิภาพค้นหาเวกเตอร์ของ จึงรู้จัก (ดู ตัวอย่าง, [3, p. 202]) ตำแหน่ง A เท่าลำดับวิชารอง nonzero ที่ใหญ่ที่สุดของ A submatrix สแควร์ที่ใหญ่ที่สุดของ A กับดีเทอร์มิแนนต์ nonzero การ เนื่องจากเป็น k rowed รองเป็นวิชารองชนิดพิเศษ ทฤษฎีบทต่อไปตามทันทีจากผลนี้ทฤษฎีบทที่ 2 ให้อะเบะเป็นเมตริกซ์ n n แล้ว ใบสั่งของที่ใหญ่ที่สุด nonzero k rowed หลักผู้เยาว์ของ A เป็นแล้วน้อยกว่า หรือเท่ากับลำดับของ เป็นไปตามทฤษฎี 1 และ 2 ที่ถ้า A เป็นเมทริกซ์การและลำดับของ A r แล้ว สำหรับ k > r ดังนั้น พหุนามลักษณะของเมทริกซ์ดังกล่าวมีรูปแบบ และเราได้รับผลลัพธ์ต่อไปนี้อะเบะ Corollary.Let เมทริกซ์การกับ r อันดับ แล้ว เวกเตอร์ nonzero ทั้งหมดของ A มีศูนย์ของโพลิโนเมีย (2)ที่สำหรับ k = 1, 2,..., r ถูกกำหนด โดยผลรวมของตัว k rowed หลักสาขาของดังนั้น เวกเตอร์แน่นอนของเมทริกซ์ของอันดับ 1 หรือ 2 สามารถพบ โดยการแก้สมการเชิงเส้น หรือกำลังสอง ตัวอย่าง เมตริกซ์ B ตัวอย่างก่อนหน้านี้มีอันดับ 2 และเวกเตอร์ของ nonzero สอง ศูนย์ของ รายการของเมตริกซ์ B เมื่ออ่านจากซ้ายไปขวาและบนลงล่าง เป็นผู้ที่มีลำดับเลขคณิตมีผลต่างร่วมเท่ากับ 1 ทุกเมทริกซ์เป็นลำดับเลขคณิตแบบฟอร์มรายการมีอันดับต่ำกว่า หรือเท่ากับ 2 (นี้สามารถดูได้ โดยการลบแถวแรกจากแต่ละอื่น ๆ นำเมทริกซ์ลดแถวมีมากที่สุดสอง nonzero แถวนั้น) ดังนั้น เช่นเมทริกซ์มีเวกเตอร์ที่สามารถพบได้ง่าย กัน มันเป็นลำดับเลขคณิตแบบฟอร์มรายการ และ H ได้อันดับ 2 ดังนั้น สองของเวกเตอร์จะเท่ากับ 0 และ โดย Corollary อีกสองตอบสนองกำลังสองสมการดังนี้ ofH เวกเตอร์เป็น 0, 0, 15 และ มีวิธีง่าย ๆ ในการสร้างตัวอย่างเพิ่มเติมซึ่งสามารถนำไปใช้ Corollary ที่: ถ้ารายการมีเมทริกซ์ A มีเงื่อนไขของลำดับเรขาคณิต แล้วอันดับ 1 (ยกเว้นรายการเป็นศูนย์); ถ้ารายการของ A วาระลำดับ Fibonacci {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,...}, แล้วคำเป็น 2 สำหรับ n ทั้งหมด สามารถใช้ผลลัพธ์ที่นำเสนอในบทความนี้

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ต่ำอันดับสจ๊วต Venit ([e-mail]) และริชาร์ดแคทซ์ ([e-mail]) California State University, Los Angeles, CA 90032 ในขณะที่มันอาจเป็นเรื่องยากหรือเป็นไปไม่ได้ที่จะหาค่าลักษณะเฉพาะที่แน่นอนของ เมทริกซ์โดยทั่วไปเราจะแสดงให้เห็นถึงวิธีการง่ายๆที่จะทำงานเมื่อตำแหน่งของเมทริกซ์ที่มีขนาดเล็ก เทคนิคนี้สามารถนำมาใช้สำหรับการค้นพบของนักเรียนในชั้นเรียนพีชคณิตเชิงเส้น . ผู้สอนสามารถกำหนดลำดับของการออกกำลังกายที่ต้องการให้นักเรียนที่จะแก้ปัญหากรณีพิเศษให้คาดเดาเกี่ยวกับภาพรวมแล้วพิสูจน์คิดเห็นของพวกเขาค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์เป็นศูนย์ของพหุนามลักษณะที่เดชอุดม(-) ซึ่งสามารถเขียนเป็น (1) มันเป็นที่รู้จักกันดี (ดูตัวอย่างเช่น [3, p. 251]) ที่ค่าสัมประสิทธิ์และใน (1) ตามลำดับที่ร่องรอยของ A (ผลรวมของรายการในแนวทแยงของ) และปัจจัยของ A . ในความเป็นจริงค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดใน (1) สามารถแสดงออกในแง่ของ k-พายผู้เยาว์หลักของเอ (K-พายเล็ก ๆ น้อย ๆ ที่สำคัญของเมทริกซ์เป็นปัจจัยของ submatrix ของที่มีรายการที่มีดัชนีและที่มีองค์ประกอบของเซต k องค์ประกอบเดียวกันของ {1, 2, ... ,}). ตัวอย่างเช่นถ้าB = แล้ว: 1- พายผู้เยาว์หลักของ B เป็นรายการแนวทแยง 1, 5, 9 2 พายผู้เยาว์หลักของขเดชอุดมเดชอุดมเดชอุดมและมีเพียง3 พายเล็ก ๆ น้อย ๆ ที่สำคัญของ B คือ det (B) = 0 ทฤษฎีบทต่อไปนี้เป็นกุญแจสำคัญในวันที่ results.It ที่ตามมากลับไปที่ 1875 (ดู [2 พี 295]) แต่ไม่เป็นเช่นนั้นที่รู้จักกันดีในวันนี้ หลักฐานสามารถพบได้ใน [1, p 215]. ทฤษฎีบท 1. ให้เอ็บการเมทริกซ์ แล้วสำหรับ k = 1, 2, ... , n ค่าสัมประสิทธิ์ในลักษณะพหุนาม (1) จะได้รับจากผลรวมของ K- ที่พายผู้เยาว์หลักของ A. ตัวอย่างเช่นพหุนามลักษณะของเมทริกซ์ B ของก่อนหน้านี้ ตัวอย่างที่ 1 + 5 + 9 = 15 และดังนั้นทฤษฎีบท1 ยามักจะไม่ให้เป็นวิธีที่มีประสิทธิภาพในการคำนวณพหุนามลักษณะของ; เดชอุดมคอมพิวเตอร์โดยตรงมักจะต้องดำเนินงานน้อยลง เมื่อตำแหน่งของที่มีขนาดเล็ก แต่ทฤษฎีบทนี้ไม่ให้เป็นวิธีที่มีประสิทธิภาพในการหาค่าลักษณะเฉพาะของเอเป็นที่รู้จักกันดี(ดูตัวอย่างเช่น [3, p. 202]) ที่ตำแหน่งของมีค่าเท่ากับ คำสั่งของผู้เยาว์ภัณฑ์ที่ใหญ่ที่สุดของ A submatrix ตารางที่ใหญ่ที่สุดของการที่มีปัจจัยภัณฑ์ ตั้งแต่ k-พายเล็ก ๆ น้อย ๆ ที่สำคัญคือชนิดพิเศษเล็ก ๆ น้อย ๆ ทฤษฎีบทต่อไปดังต่อไปนี้ทันทีจากผลนี้. ทฤษฎีบท 2 ให้เอ็บริกซ์ NN จากนั้นคำสั่งของภัณฑ์ที่ใหญ่ที่สุด k-พายเล็ก ๆ น้อย ๆ ที่สำคัญของที่มีน้อยกว่าหรือเท่ากับการจัดอันดับของเอมันดังมาจากทฤษฎีบทที่1 และ 2 ว่าถ้าเป็นเมทริกซ์และยศเป็น R, k แล้ว > อา ดังนั้นพหุนามลักษณะของเมทริกซ์ดังกล่าวมีรูปแบบและเราได้รับผลดังต่อไปนี้. Corollary.Let เอ็บเมทริกซ์กับอายศ จากนั้นทั้งหมดภัณฑ์ค่าลักษณะเฉพาะของเป็นหนึ่งในศูนย์ของพหุนาม (2) ในกรณีที่สำหรับ k = 1, 2, ... , R, จะได้รับจากผลรวมของ k-พายผู้เยาว์หลักของ A. ดังนั้นค่าลักษณะเฉพาะที่แน่นอนของ เมทริกซ์ของการจัดอันดับ 1 หรือ 2 สามารถพบได้โดยการแก้สมการเชิงเส้นหรือสมการกำลังสอง ยกตัวอย่างเช่นเมทริกซ์ B ตัวอย่างก่อนหน้านี้มีการจัดอันดับที่ 2 และสองค่าลักษณะเฉพาะภัณฑ์ที่มีศูนย์ของรายการของเมทริกซ์B เมื่ออ่านจากซ้ายไปขวาและบนลงล่างเป็นของลำดับเลขคณิตมีความแตกต่างที่พบบ่อย เท่ากับ 1. เมทริกซ์ทุกรายการที่มีรูปแบบลำดับเลขคณิตมียศน้อยกว่าหรือเท่ากับ 2 (ซึ่งสามารถมองเห็นได้โดยการลบแถวแรกจากแต่ละอื่น ๆ ที่นำไปสู่เมทริกซ์แถวลดลงอย่างมากที่สุดสองแถวภัณฑ์ .) ดังนั้นการฝึกอบรมดังกล่าวมีลักษณะเฉพาะที่สามารถพบได้ง่าย ตัวอย่างเช่นสมมติมันรายการรูปแบบลำดับเลขคณิตและ H มียศ 2. ดังนั้นทั้งสองค่าลักษณะเฉพาะของมันเท่ากับ 0 และโดยผลที่ตามมาอีกสองตอบสนองความสมดังนั้นค่าลักษณะเฉพาะ OFH เป็น 0, 0, 15 และมีวิธีที่ง่ายในการสร้างตัวอย่างเพิ่มเติมซึ่งผลที่สามารถนำมาใช้: ถ้ารายการของเมทริกซ์ที่มีเงื่อนไขของลำดับเรขาคณิตแล้วอันดับ 1 (ยกเว้นกรณีที่รายการทั้งหมดของมันเป็นศูนย์); ถ้ารายการของ A มีวาระติดต่อกันของลำดับฟีโบนักชี {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... } แล้วอันดับ 2 ทั้งหมด n. ผลที่นำเสนอในบทความนี้สามารถนำมาใช้