Affine structure EditThere are seve

Affine structure Edit

There are several equivalent ways to specify the affine structure of an n-dimensional complex affine space A. The simplest involves an auxiliary space V, called the difference space, which is a vector space over the complex numbers. Then an affine space is a set A together with a simple and transitive action of V on A. (That is, A is a V-torsor.)

Another way is to define a notion of affine combination, satisfying certain axioms. An affine combination of points p1,...,pk ∈ A is expressed as a sum of the form

{displaystyle a_{1}mathbf {p} _{1}+cdots +a_{k}mathbf {p} _{k}} a_1mathbf p_1+cdots+a_kmathbf p_k
where the scalars ai are complex numbers that sum to unity.

The difference space can be identified with the set of "formal differences" p − q, modulo the relation that formal differences respect affine combinations in an obvious way.

Affine functions Edit
A function f: A→ℂ is called affine if it preserves affine combinations. So

{displaystyle f(a_{1}mathbf {p} _{1}+cdots +a_{k}mathbf {p} _{k})=a_{1}f(mathbf {p} _{1})+cdots +a_{k}f(mathbf {p} _{k})} f(a_1mathbf p_1+cdots+a_kmathbf p_k)=a_1f(mathbf p_1)+cdots+a_kf(mathbf p_k)
for any affine combination

{displaystyle a_{1}mathbf {p} _{1}+cdots +a_{k}mathbf {p} _{k}} a_1mathbf p_1+cdots+a_kmathbf p_k in A.
The space of affine functions A* is a linear space. The dual vector space of A* is naturally isomorphic to an (n+1)-dimensional vector space F(A) which is the free vector space on A modulo the relation that affine combination in A agrees with affine combination in F(A). Via this construction, the affine structure of the affine space A can be recovered completely from the space of affine functions.

The algebra of polynomials in the affine functions on A defines a ring of functions, called the affine coordinate ring in algebraic geometry. This ring carries a filtration, by degree in the affine functions. Conversely, it is possible to recover the points of the affine space as the set of algebra homomorphisms from the affine coordinate ring into the complex numbers. This is called the maximal spectrum of the ring, because it coincides with its set of maximal ideals. There is a unique affine structure on this maximal spectrum that is compatible with the filtration on the affine coordinate ring.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

โครงสร้าง affine แก้มีหลายเทียบเท่าวิธีการระบุโครงสร้าง n มิติซับซ้อน affine พื้นที่ A. affine ง่ายที่สุดเกี่ยวข้องกับพื้นที่เสริม V เรียกว่าพื้นที่ความแตกต่าง ซึ่งเป็นเวกเตอร์พื้นที่ซ้อน แล้วพื้นที่ affine เป็นชุด A พร้อมกับการดำเนินการง่าย และ transitive ของ V ใน A. (นั่นคือ A เป็น V-torsor)อีกวิธีหนึ่งคือการ กำหนดถึง affine ชุด หลักการบางอย่างที่น่าพอใจ ที่จุด p1,..., pk ∈ A รวม affine แสดงเป็นผลรวมของแบบฟอร์ม{ displaystyle a_ { 1 } mathbf {p } _ { 1 } + cdots a_ {k } mathbf {p } _ {k } } a_1mathbf p_1 cdots + a_kmathbf p_kที่ scalars ai เป็นจำนวนเชิงซ้อนซึ่งรวมถึงความสามัคคีเราสามารถระบุพื้นที่แตกต่างกับชุดของ "อย่างเป็นทางการแตก p − q, modulo ความสัมพันธ์ว่า ความแตกต่างทางการเคารพ affine ชุดในลักษณะเห็นได้ชัดฟังก์ชัน affine แก้แบบ f:ฟังก์ชัน A→ℂ ถูกเรียก affine ถ้ามันเก็บรักษาชุด affine ดังนั้น{ displaystyle f(a_{1}mathbf {p} _{1}+cdots +a_{k}mathbf {p} _{k}) = f a_ { 1 } (mathbf {p } _ { 1 }) + cdots a_ {k } f (mathbf {p } _ {k }) } f (a_1mathbf p_1 cdots + a_kmathbf p_k) = a_1f(mathbf p_1) + cdots + a_kf (mathbf p_k)สำหรับชุดใด ๆ affine{ displaystyle a_ { 1 } mathbf {p } _ { 1 } + cdots a_ {k } mathbf {p } _ {k } } a_1mathbf p_1 cdots + a_kmathbf p_k ในก.พื้นที่ของฟังก์ชัน affine A * เป็นพื้นที่เชิงเส้น สองเวกเตอร์พื้นที่ของ A * เป็นธรรมชาติ isomorphic (n + 1) -มิติเวกเตอร์พื้นที่ F(A) ซึ่งเป็นเวกเตอร์เนื้อที่ว่างบน A modulo ความสัมพันธ์ที่ผสม affine ใน A ตกลง ด้วยชุด affine ใน F(A) ผ่านการก่อสร้างนี้ affine โครงสร้างของพื้นที่ affine A สามารถกู้คืนอย่างสมบูรณ์จากพื้นที่ affine ฟังก์ชันพีชคณิตของดำรงพระพุทธศาสนาในฟังก์ชัน affine บน A กำหนดแหวนของฟังก์ชัน เรียกว่าแหวนพิกัด affine ในเรขาคณิตพีชคณิต วงแหวนนี้มีกรอง โดยปริญญาฟังก์ชัน affine มันเป็นไปได้ที่จะกู้คืนจุดพื้นที่ affine เป็นชุดของ homomorphisms พีชคณิตจากแหวน affine พิกัดเป็นตัวเลขเชิงซ้อน เรียกว่าคลื่นความถี่สูงสุดของแหวน เนื่องจากมันเกิดขึ้นพร้อมกับชุดของอุดมคติสูงสุด มีโครงสร้างแบบ affine เฉพาะบนสเปกตรัมนี้สูงสุดที่รองรับการกรองบนวงแหวนพิกัด affine

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

โครงสร้างเลียนแบบแก้ไข

มีวิธีการหลายเทียบเท่าเพื่อระบุโครงสร้างเลียนแบบของ n มิติที่ซับซ้อน A. พื้นที่เลียนแบบที่ง่ายที่สุดที่เกี่ยวข้องกับพื้นที่ V เสริมพื้นที่ที่แตกต่างกันซึ่งเป็นปริภูมิเวกเตอร์มากกว่าตัวเลขที่ซับซ้อนจะเรียกว่า แล้วพื้นที่เลียนแบบเป็นชุดพร้อมกับการดำเนินการที่ง่ายและสกรรมกริยาของ V บน A. (นั่นคือเป็น V-torsor.)

อีกวิธีหนึ่งคือการกำหนดความคิดของการรวมกันเลียนแบบเป็นที่น่าพอใจหลักการบางอย่าง การรวมกันที่เลียนแบบของจุด P1, ... , PK ∈ A จะถูกแสดงเป็นผลรวมของรูปแบบ

{ displaystyle a_ {1} mathbf {p} _ {1} + cdots + a_ {K} mathbf {p } _ {k}} A_1 mathbf P_1 + cdots + a_k mathbf p_k
ที่สเกลาออกฤทธิ์เป็นตัวเลขที่ซับซ้อนรวมความสามัคคีที่.

พื้นที่แตกต่างที่สามารถยึดติดกับชุดของ "ความแตกต่างอย่างเป็นทางการ" พี - Q, modulo ความสัมพันธ์ ที่แตกต่างอย่างเป็นทางการเคารพรวมกันเลียนแบบในทางที่เห็นได้ชัด.

ฟังก์ชั่นเลียนแบบแก้ไข
ฟังก์ชัน f: เป็น→ℂเรียกว่าเลียนแบบถ้ามันจะเก็บรักษารวมกันเลียนแบบ ดังนั้น

{ displaystyle f (a_ {1} mathbf {p} _ {1} + cdots + a_ {K} mathbf {p} _ {k}) = a_ {1} f ( mathbf {p} _ {1}) + cdots + a_ {K} f ( mathbf {p} _ {k})} f (A_1 mathbf P_1 + cdots + a_k mathbf p_k) = a_1f ( mathbf P_1) + cdots + a_kf ( mathbf p_k)
สำหรับการรวมกันเลียนแบบใด ๆ

{ displaystyle a_ {1} mathbf {p} _ {1} + cdots + a_ {K} mathbf {p} _ {k}} A_1 mathbf P_1 + cdots + a_k mathbf p_k ใน A.
พื้นที่ของฟังก์ชั่นเลียนแบบ A * เป็นพื้นที่เชิงเส้น พื้นที่เวกเตอร์ที่สองของ A * เป็นธรรมชาติ isomorphic ไปยัง (N + 1) ปริภูมิเวกเตอร์มิติ F (A) ซึ่งเป็นพื้นที่เวกเตอร์ฟรีที่ A แบบโมดูโลความสัมพันธ์ว่าการรวมกันเลียนแบบในการตกลงกับการรวมกันเลียนแบบใน f (A) . ผ่านการก่อสร้างนี้โครงสร้างเลียนแบบของพื้นที่เลียนแบบสามารถกู้คืนได้อย่างสมบูรณ์จากพื้นที่ของฟังก์ชั่นเลียนแบบ.

พีชคณิตของพหุนามในฟังก์ชั่นเลียนแบบที่ A กำหนดแหวนของฟังก์ชั่นที่เรียกว่าเลียนแบบแหวนประสานงานในเรขาคณิตพีชคณิต แหวนวงนี้ดำเนินการกรองโดยปริญญาในฟังก์ชั่นเลียนแบบ ในทางกลับกันก็เป็นไปได้ที่จะกู้คืนจุดของพื้นที่เลียนแบบเป็นชุดของ homomorphisms พีชคณิตจากเลียนแบบการประสานงานแหวนลงในตัวเลขที่ซับซ้อน นี้เรียกว่าคลื่นความถี่สูงสุดของแหวนเพราะมันเกิดขึ้นพร้อมกับชุดของอุดมคติสูงสุด มีโครงสร้างเลียนแบบที่ไม่ซ้ำกันบนคลื่นความถี่สูงสุดที่เข้ากันได้กับการกรองในการประสานงานเลียนแบบแหวน

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

รวมแก้ไขโครงสร้างมีหลายวิธีที่จะระบุเทียบเท่าเลียนแบบโครงสร้างของ n-dimensional ซับซ้อนรวมพื้นที่ A ง่ายที่สุดที่เกี่ยวข้องกับการ เสริม พื้นที่ 5 , เรียกว่าพื้นที่ที่แตกต่างซึ่งเป็นปริภูมิเวกเตอร์เหนือตัวเลขที่ซับซ้อน แล้วรวมพื้นที่เป็นชุดพร้อมกับง่าย และการกระทำของ V . ( คือเป็น v-torsor )อีกวิธีหนึ่งคือการกำหนดความคิดของการเลียนแบบที่น่าพอใจบางอย่างสัจพจน์ . การเลียนแบบการรวมกันของจุด P1 , . . . , PK ∈คือแสดงเป็นผลรวมของแบบฟอร์ม{ displaystyle a_ { 1 } mathbf { p } { 1 } + + _ cdots a_ { K } { p } mathbf _ { K } } a_1mathbf p_1 + cdots + a_kmathbf p_kที่ scalars AI ตัวเลขผลรวมถึงความสามัคคีที่ซับซ้อนพื้นที่ที่แตกต่างสามารถระบุได้ ด้วยชุดของ " จำแนกความแตกต่าง " P − Q , โมดูโล่ ความสัมพันธ์ที่เป็นทางการเลียนแบบชุดความแตกต่างเคารพในทางที่ชัดเจนรวมแก้ไขฟังก์ชั่นฟังก์ชัน f : →ℂเรียกว่าเลียนแบบ ถ้ามันรักษา รวมชุด ดังนั้น{ displaystyle F ( a_ { 1 } mathbf { p } { 1 } + + _ cdots a_ { K } { p } mathbf _ { K } { 1 } a_ ) = f ( mathbf _ { p } { 1 } ) + cdots + a_ { K } F ( { P } { K _ mathbf } ) } F ( a_1mathbf p_1 + cdots + a_kmathbf p_k ) = a_1f ( mathbf p_1 ) + cdots + a_kf ( mathbf p_k )เลียนแบบใด ๆรวมกัน{ displaystyle a_ { 1 } mathbf { p } { 1 } + + _ cdots a_ { K } { p } mathbf _ { K } } a_1mathbf p_1 + cdots + a_kmathbf p_k .พื้นที่ของการทำงานเลียนแบบ * เป็นพื้นที่เชิงเส้น สองเวกเตอร์พื้นที่ของ * ธรรมชาติของพวกเรา ( n + 1 ) - มิติปริภูมิเวกเตอร์ F ( ) ซึ่งเป็นปริภูมิเวกเตอร์ฟรีเกี่ยวกับโมดูโล่ ความสัมพันธ์ที่เลียนแบบการรวมกันในที่เห็นด้วยกับการรวม F ( A ) ผ่านการก่อสร้างนี้ เลียนแบบโครงสร้างของพื้นที่เลียนแบบ สามารถกู้คืนได้อย่างสมบูรณ์จากพื้นที่การทำงานเลียนแบบ .พีชคณิตของพหุนามในรวมฟังก์ชันบนแหวนของฟังก์ชันที่กำหนด เรียกว่าเลียนแบบประสานงานแหวนในเรขาคณิตพีชคณิต แหวนวงนี้มีการกรองโดยรวมในระดับหน้าที่ ตรงกันข้ามมันเป็นไปได้ที่จะกู้คืนจุดของพื้นที่รวมเป็นชุดของพีชคณิต homomorphisms จากเลียนแบบประสานงานแหวนเข้าไปในตัวเลขที่ซับซ้อน นี้เรียกว่า ความถี่สูงสุดของแหวน เพราะมันสอดคล้องกับชุดของภาพอุดมคติ มีโครงสร้างเลียนแบบเอกลักษณ์บนคลื่นความถี่สูงสุดนี้ที่เข้ากันได้กับกรองบนพิกัดเลียนแบบแหวน