In Chapter I of his work on the cal

In Chapter I of his work on the calculus of finite differences [1], Boole defines, for all real
valued function of one real variable f(x), the first difference of f(x) (with respect to the
increment 1) as ∆f(x) = f(x+1)−f(x). He then defines, for all integers n ≥ 2, the n-th
difference by the recursive formula ∆nf(x) = ∆∆n−1f(x). This enables him to prove by
induction (see [1], p. 5, (2)) that, for all positive integers n,

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ในบทผมงานของเขาในแคลคูลัสของจำกัดความแตกต่าง [1], หญิงปูเล่กำหนด การจริงทั้งหมดมูลค่าฟังก์ชันหนึ่งตัวแปรจริง f(x), f(x) ต่างครั้งแรก (กับ respect เพื่อเพิ่ม 1) เป็น ∆f(x) = f(x+1)−f(x) เขาแล้วกำหนด สำหรับทุกจำนวนเต็ม n ≥ 2, n-thความแตกต่าง โดย ∆nf(x) สูตรซ้ำ = ∆∆n−1f(x) ทำให้เขาพิสูจน์โดยเหนี่ยวนำ (ดู [1] p. 5, (2)) ว่า สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ในบทที่ผมงานของเขาในแคลคูลัสของความแตกต่างแน่นอน [1], Boole กำหนดสำหรับทุกจริง
ฟังก์ชั่นมูลค่าของหนึ่งตัวแปร f จริง (x), ความแตกต่างแรกของ f (x) (เกี่ยวกับการ
เพิ่มขึ้น 1) เป็น Δf (x) = f (x + 1) -f (x) จากนั้นเขาก็กำหนดสำหรับจำนวนเต็มทั้งหมด n ≥ 2, n-th
แตกต่างจากสูตร recursive Δnf (x) = ΔΔn-1F (x) ซึ่งจะช่วยให้เขาที่จะพิสูจน์โดยการ
เหนี่ยวนำ (ดู [1] พี. 5 (2)) ว่าสำหรับจำนวนเต็มบวกทั้งหมด n,

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ในบทที่ 1 ของงานของเขาในแคลคูลัสของขอบเขตความแตกต่าง [ 1 ] , บูลกำหนด สำหรับฟังก์ชันค่าจริงของตัวแปรที่แท้จริง
f ( x ) , ความแตกต่างของ f ( x ) ( ด้วยความเคารพ
เพิ่ม 1 ) ∆ f ( x ) = f ( x 1 ) บริษัท เวสเทิร์น f ( x ) จากนั้นเขาก็กำหนด สำหรับทุกจำนวนเต็ม n ≥ 2 ความแตกต่าง n-th
โดย recursive สูตร∆ NF ( X ) = ∆∆ n − 1f ( X ) นี้จะช่วยให้เขาเพื่อพิสูจน์โดยอุปนัย ( ดู
[ 1 ] , หน้า 5( 2 ) ว่า สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n