Polynomials are temperamental creat

Polynomials are temperamental creatures. If you force them to behave somewhere, they will go wild in other places." -- Oved Shisha (1932-1998)

Graph of several cubic polynomials

The central "creatures" of this project are the Chebyshev polynomials. Their definition relies on the fact that if n is a positive integer, then cosine of n theta is a polynomial in cosine of theta. For example, it isn't too difficult to show that cosine of three theta equals four cosine cubed theta minus three cosine theta using the identity

addition formula for cosine.

So if x equals cosine theta, then cosine three theta equals 4 x cubed minus three x and we define the third Chebyshev polynomial to be T sub 3 of x equals four x cubed minus three x.

The enth Chebyshev polynomial is defined to be the polynomial, T sub n of x such that cosine of n theta equals T sub n of cosine theta.

Several books and endless articles and research papers have been written on the Chebyshev polynomials. Here are a few directions that you can take in exploring them, none requiring calculus.
1 What are T sub 0 of x, T sub 1 of x, T sub 2 of x, and T sub 4 of x ?
2. Based on your list of the first few Chebyshev polynomials, what patterns do you see? Can you prove that the patterns continue for the whole sequence of polynomials? You might find it useful to use the relationship between T sub n +1 of x, T sub n of x, and T sub n -1 of x, where n greater than or equal to one, which you can use this identity to derive:
cosine of n plus one theta plus cosine of n minus one theta equals two cosine theta times cosine n theta.
3. Use a graphing calculator or computer algebra system to sketch the graphs of the first few Chebyshev polynomials. What further properties can you detect from the graphs? Can you prove them?
4. Do you see patterns in the coefficients of the Chebyshev polynomials? Can you prove them?
5. Suppose that you had been given the sequence the sequence of Chebyshev polynomials dash defined only with the recursive formula that you derived in Question 2. How might you identify the trigonometric connection with this sequence?

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

Polynomials temperamental สิ่งมีชีวิตได้ ถ้าคุณบังคับให้ทำงานบาง พวกเขาจะไปป่าในสถานอื่น ๆ " - Oved Shisha (1932-1998)กราฟของ polynomials หลายลูกบาศก์Chebyshev polynomials เซ็นทรัล "สัตว์" ของโครงการนี้ได้ คำจำกัดความของพวกเขาอาศัยข้อเท็จจริงที่ว่า ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวก แล้วโคไซน์ของทวินเบด n เป็นพหุนามในโคไซน์ของทวินเบด ตัวอย่าง มันไม่ยากเกินไปแสดงว่าโคไซน์ของสามทีตาเท่ากับโคไซน์สี่ลูกบาศก์ทีตาลบทวินเบดโคไซน์สามโดยใช้ข้อมูลประจำตัว สูตรนี้สำหรับโคไซน์ ดังนั้นถ้า x เท่ากับโคไซน์ทีตา แล้วโคไซน์สามทีตาเท่ากับลูกบาศก์ลบ x 3 x 4 และเรากำหนดสาม Chebyshev ลกำลังจะ ย่อย T 3 ของ x เท่ากับลูกบาศก์ลบ x 3 x 4 พหุนาม Chebyshev enth กำหนดให้ พหุนาม T ย่อย n ของ x เช่น ที่โคไซน์ของทวินเบด n เท่ากับ n ย่อย T ของโคไซน์ทีตามีการเขียนหลายเล่ม และสิ้นสุดบทความ และงานวิจัยบน Chebyshev polynomials ที่นี่มีกี่เส้นทางที่คุณสามารถใช้ในการสำรวจเหล่านั้น ไม่ต้องใช้แคลคูลัส 1 ย่อย T 0 ของ x, T ย่อย 1 ของ x, T ย่อย 2 ของ x และ T ย่อย 4 ของ x คืออะไร2. ตามรายการของ polynomials Chebyshev น้อยแรก รูปแบบใดที่คุณเห็น คุณสามารถพิสูจน์ว่า รูปแบบต่อไปลำดับทั้งหมดของ polynomials คุณอาจพบว่ามีประโยชน์ในการใช้ความสัมพันธ์ ระหว่าง T ย่อย n + 1 ของ x, T ย่อย n ของ x, T ย่อย n -1 ของ x ซึ่ง n มากกว่า หรือเท่ากับหนึ่ง ซึ่งคุณสามารถใช้รหัสประจำตัวนี้จะได้รับ: โคไซน์ของ n บวกหนึ่งทีตาบวกโคไซน์ของ n ลบทีตาหนึ่งเท่ากับสองโคไซน์ทีตาเวลาโคไซน์เอ็นทวินเบด3. ใช้การสร้างกราฟเครื่องคิดเลขหรือคอมพิวเตอร์พีชคณิตระบบเพื่อร่างกราฟของ polynomials Chebyshev ไม่กี่ครั้งแรก คุณสมบัติเพิ่มเติมสิ่งที่คุณสามารถตรวจจากกราฟ คุณสามารถพิสูจน์ได้หรือไม่4. คุณเห็นรูปแบบในสัมประสิทธิ์ Chebyshev polynomials คุณสามารถพิสูจน์ได้หรือไม่5. สมมติว่า คุณได้รับลำดับลำดับของ Chebyshev polynomials รีบกำหนดเท่ากับสูตรเกิดซ้ำที่คุณได้มา 2 คำถาม คุณอาจระบุการเชื่อมต่อกับลำดับนี้ตรีโกณมิติเป็นวิธี

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

พหุนามเป็นสิ่งมีชีวิตที่อารมณ์แปรปรวน ถ้าคุณบังคับให้พวกเขาทำที่พวกเขาจะไปป่าในสถานที่อื่น ๆ . . . " oved ชิชา ( 1932-1998 )

กราฟของพหุนาม

หลายลูกบาศก์กลาง " สิ่งมีชีวิต " ของโครงการนี้เป็นเซฟชื่อที่ประกอบด้วยหลายคำ . คำนิยามของพวกเขาขึ้นอยู่กับความจริงที่ว่าถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวกแล้วโคไซน์ของ theta เป็นพหุนามโคไซน์ของเธต้า ตัวอย่างเช่นมันไม่ยากเกินไปที่จะแสดงให้เห็นว่าโคไซน์สามทีตาเป็นสี่โคไซน์ cubed Theta ลบสามโคไซน์ Theta โดยใช้เอกลักษณ์

นอกจากสูตรโคไซน์

ถ้า X มีค่าเท่ากับโคไซน์ theta แล้วโคไซน์สามทีตาเท่ากับ 4 x cubed ลบสาม x และเรากำหนด 3 เซฟพหุนามเป็น t ย่อยที่ 3 ของ x มีค่าเท่ากับ 4 x cubed ลบสาม

Xการ enth เซฟพหุนามที่กำหนดไว้เป็นพหุนาม , T ย่อยของ X ที่ cosine ของ N Theta เท่ากับ T ย่อยของโคไซน์ theta

หลายหนังสือและบทความที่ไม่มีที่สิ้นสุดและงานวิจัยได้ถูกเขียนขึ้นในเซฟชื่อที่ประกอบด้วยหลายคำ . ที่นี่มีไม่กี่เส้นทางที่คุณสามารถใช้ในการสำรวจพวกเขาไม่มีต้องใช้แคลคูลัส
1 แล้วไม่ย่อย 0 x , t ย่อย 1 x , t ย่อย 2 x ,และ T ย่อย 4 X ?
2 . ตามรายการแรกไม่กี่เซฟชื่อที่ประกอบด้วยหลายคำของคุณ สิ่งที่รูปแบบที่คุณเห็น ? คุณสามารถพิสูจน์ได้ว่า รูปแบบต่อไปสำหรับการเรียงลำดับทั้งหมดของชื่อที่ประกอบด้วยหลายคำ ? คุณอาจพบว่ามีประโยชน์ที่จะใช้ความสัมพันธ์ระหว่าง T ซับ N 1 x , t ย่อย n ของ x , T sub - 1 x , ที่ N มากกว่าหรือเท่ากับหนึ่งซึ่งคุณสามารถใช้ตัวนี้เพื่อสืบทอด :
โคไซน์ของบวกหนึ่งที พลัสโคไซน์ของ N ลบหนึ่ง theta เป็นสองโคไซน์ Theta ครั้งโคไซน์ n theta .
3 ใช้เครื่องคิดเลขกราฟหรือระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์วาดกราฟแรกไม่กี่เซฟชื่อที่ประกอบด้วยหลายคำ . คุณสมบัติเพิ่มเติมที่คุณสามารถตรวจสอบจากกราฟ ? คุณสามารถพิสูจน์ได้ว่าพวกเขา
4 ดูในรูปแบบค่าสัมประสิทธิ์การเซฟชื่อที่ประกอบด้วยหลายคำ ? คุณสามารถพิสูจน์ได้ว่าพวกเขา
5สมมติว่าคุณได้รับการเรียงลำดับเซฟชื่อที่ประกอบด้วยหลายคำเส้นประที่กำหนดด้วย recursive สูตรที่คุณได้มาในข้อ 2 . แล้วคุณอาจจะระบุค่าการเชื่อมต่อกับลำดับนี้