General theory[edit]A MWC sequence

General theory[edit]
A MWC sequence is based on arithmetic modulo a base b, usually b = 232, because arithmetic modulo of that b is automatic in most computers. However, sometimes a base such as b = 232 − 1 is used, because arithmetic for modulus 232 − 1 requires only a simple adjustment from that for 232, and theory for MWC sequences based on modulus 232 has some nagging difficulties avoided by using b = 232 − 1.

In its most common form, a lag-r MWC generator requires a base b, a multiplier a, and a set of r+1 random seed values, consisting of r residues of b,

x0, x1, x2 ,..., xr−1,
and an initial carry cr−1 < a.

The lag-r MWC sequence is then a sequence of pairs xn, cn determined by

x_n=(ax_{n-r}+c_{n-1}),mod,b, c_n=leftlfloorfrac{ax_{n-r}+c_{n-1}}{b}
ight
floor, nge r,
and the MWC generator output is the sequence of x's,

xr , xr+1 , xr+2, ...
The period of a lag-r MWC generator is the order of b in the multiplicative group of numbers modulo abr − 1. It is customary to choose a's so that p = abr − 1 is a prime for which the order of b can be determined. Because 2 is a quadratic residue of numbers of the form 8k±1, b = 232 cannot be a primitive root of p = abr − 1. Therefore there are no MWC generators for base 232 that have the maximum possible period, one of the difficulties that use of b = 232 − 1 overcomes.

A theoretical problem with MWC generators, pointed out by Couture and l'Ecuyer (1997) is that the most significant bits are slightly biased; complementary-multiply-with-carry generators do not share this problem: "We shall see that, for the complementary MWC, each bit of the output value is fair, that is, the two binary digits will appear equally often in a full period, a property not shared by MWC generators." They do not appear to elaborate further as to the extent of the bias. Complementary-multiply-with-carry generators also require slightly more computation time per iteration, so there is a tradeoff to evaluate depending on implementation requirements.

Comparisons with linear congruential generators[edit]
Linear congruential generators are implemented as

x_{n+1}=(ax_n+c) mod,2^{32},
because most arithmetic processors are able to put the multiplier a and the current x in 32-bit registers, form the 64-bit product in adjoining registers, and take the lower 32 bits as the product, that is, form

a imes x mod,2^{32}.
Adding the 32-bit c to that lower half then provides (ax+c) mod 232. If a mod 8 is 3 or 5 and c is odd, the resulting base 232 congruential sequence will have period 232.

A lag-1 multiply-with-carry generator allows us to make the period nearly 263 by using those same computer operations, except that this time the top half of the 64-bit product is used rather than ignored after the 64 bits are formed. It is used as a new carry value c rather than the fixed carry value of the standard congruential sequence: Get ax+c in 64-bits, then form a new c as the top half of those 64 bits, and the new x as the bottom half.

With multiplier a specified, each pair of input values x, c is converted to a new pair,

xleftarrow (ax+c),mod,2^{32}, cleftarrow leftlfloorfrac{ax+c}{2^{32}}
ight
floor.
If x and c are not both zero, then the period of the resulting multiply-with-carry sequence will be the order of b = 232 in the multiplicative group of residues modulo ab − 1, that is, the smallest n such that bn = 1 mod (ab − 1). If we choose an a of 28 to 31 bits such that ab−1 is a "safe prime", that is both ab − 1 and ab/2 − 1 are prime, then the period will be ab/2 − 1, approaching 263, which in practice may be an acceptably large subset of the number of possible 32-bit pairs (x, c).

Following are some maximal values of a for computer applications which satisfy the above safe prime condition:

Bits in a b Maximum a Such That ab−1 is a Safe Prime Period
15 216 215−50 = 32,718 1,072,103,423
16 216 216−352 = 65,184 2,135,949,311
31 232 231−563 = 2,147,483,085 4,611,684,809,394,094,079
32 232 232−178 = 4,294,967,118 9,223,371,654,602,686,463
64 264 264−742 = 18,446,744,073,709,550,874 170,141,183,460,469,224,887,945,252,369,640,456,191
128 2128 2128−10,408 2127(2128−10,408)−1
256 2256 2256−9166 2255(2256−9166)−1
512 2512 2512−150,736 2511(2512−150,736)-1
However, as being a safe prime does not affect the randomness of the sequence, one may instead simply choose a such that the order of b is ab/2 − 1. The following are again maximum values of a of various sizes.

Bits in a b Maximum a Such that b has order ab/2−1 Period
15 216 215−29 = 32,739 1,072,791,551
16 216 216−22 = 65,514 2,146,762,751
31 232 231−68 = 2,147,483,580 4,611,685,872,398,499,839
32 232 232−76 = 4,294,967,220 9,223,371,873,646,018,559
63 264 263−140 = 9,223,372,036,854,775,668 85,070,591,730,234,614,574,571,566,698,273,439,743
64 264 264−116 = 18,446,744,073,709,551,500 170,141,183,460,469,230,661,776,147,440,730,111,999
Here is a comparison of congruential and MWC sequences for the simple case of arithmetic modulo 10; here the "registers" are a single digit, adjoining registers are two digits:

Starting with x_0=1, the congruential sequence

x_n=(7x_{n-1}+3),mod,10,
has this sequence of adjoining registers:

10,03,24,31,10,03,24,31,10,ldots,
and the output sequence of x's, (the rightmost register), has period 4:

0,3,4,1,0,3,4,1,0,3,4,1,ldots
Starting with x_0=1,c_0=3, the MWC sequence

x_n=(7x_{n-1}+c_{n-1}),mod,10, c_n=leftlfloorfrac{7x_{n-1}+c_{n-1}}{10}
ight
floor,
has this sequence of adjoining registers

10,01,07,49,67,55,40,04,28,58,61,13,22,16,43,25,37,52,19,64,34,31 10,01,07,...
with output sequence of x's having period 22:

0,1,7,9,7,5,0,4,8,8,1,3,2,6,3,5,7,2,9,4,4,1 0,1,7,9,7,5,0,...
Notice that if those repeated segments of x values are put in reverse order starting from a x_{22n+20},

449275cdots97101,449275cdots9710144cdots
we get the expansion j/(ab−1) with a=7, b=10, j=31:

frac{31}{69}=.4492753623188405797101,4492753623ldots
This is true in general: The sequence of x's produced by a lag-r MWC generator:

x_n=(ax_{n-r}+c_{n-1})mod,b,, c_n=leftlfloorfrac{ax_{n-r}+c_{n-1}}{b}
ight
floor,
when put in reverse order, will be the base-b expansion of a rational j/(abr − 1) for some 0 < j < abr.

Also notice that if, starting with x_0=34, we generate the ordinary congruential sequence

x_n=7x_{n-1},mod,69,
we get the period 22 sequence

31,10,1,7,49,67,55,40,4,28,58,61,13,22,16,43,25,37,52,19,64,34, 31,10,1,7,...
and that sequence, reduced mod 10, is

1,0,1,7,9,7,5,0,4,8,8,1,3,2,6,3,5,7,2,9,4,4, 1,0,1,7,9,7,5,0,...
the same sequence of x's resulting from the MWC sequence.

This is true in general, (but apparently only for lag-1 MWC sequences):

Given initial values x_0,c_0, the sequence x_1,x_2,ldots resulting from the lag-1 MWC sequence

x_n=(ax_{n-1}+c_{n-1}),mod b,, c_n=leftlfloorfrac{ax_{n-1}+c_{n-1}}{b}
ight
floor
is exactly the congruential sequence yn = ayn − 1 mod(ab − 1), reduced modulo b.

Choice of initial value y0 merely rotates the cycle of x's.

Complementary-multiply-with-carry generators[edit]
Establishing the period of a lag-r MWC generator usually entails choosing multiplier a so that p=abr − 1 is prime. If p is a safe prime, then the order of b will be p − 1 or (p − 1)/2. Otherwise, it is likely that p − 1 will have to be factored in order to find the order of b mod p, and p = abr − 1 may be difficult to factor.

But a prime of the form p = abr + 1 will make p−1 easy to factor, so a version of multiply-with-carry that involves the order of b for a prime p = abr + 1 would reduce considerably the computational number theory required to establish the period of a MWC sequence.

Fortunately, a slight modification of the MWC procedure leads to primes of the form abr + 1. The new procedure is called complementary-multiply-with-carry (CMWC),

and the setup is the same as that for lag-r MWC: multiplier a, base b, r + 1 seeds

x0, x1, x2, ..., xr−1, and cr − 1.
There is a slight change in the generation of a new pair (x, c): x_n=(b-1)-(ax_{n-r}+c_{n-1}),mod,b, c_n=leftlfloorfrac{ax_{n-r}+c_{n-1}}{b}
ight
floor.

That is, take the complement, (b−1)−x, when forming the new x.

The resulting sequence of x's produced by the CMWC RNG will have period the order of b in the multiplicative group of residues modulo abr+1, and the output x's, in reverse order, will form the base b expansion of j/(abr+1) for some 0

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ทฤษฎีทั่วไป [แก้ไข]MWC ลำดับตามเลขคณิต modulo b พื้นฐาน ปกติ b = 232 เนื่องจากเลขคณิต modulo ของ b ที่เป็นไปโดยอัตโนมัติในคอมพิวเตอร์ส่วนใหญ่ อย่างไรก็ตาม บางฐานเช่น b = 232 − 1 ใช้ เพราะเลขคณิตสำหรับโมดูลัส 232 − 1 ต้องการเพียงปรับปรุงง่าย ๆ จากที่สำหรับ 232 และทฤษฎีใน MWC ลำดับตามโมดูลัส 232 มีปัญหาหลุดบางหลีกเลี่ยง โดยใช้ b = 232 − 1แบบทั่วไป การกำเนิด MWC r ความล่าช้าต้อง b ฐาน การคูณ และชุดของ r + ค่าสุ่มเมล็ด 1 ประกอบด้วย r ตกของ bx 0, x 1, x 2,..., xr−1และเริ่มต้นการดำเนินการ cr−1 <ลำดับ MWC r ความล่าช้าอยู่แล้วคู่ xn, cn ตามลำดับที่ x_n = (ax_ { n r } + c_ { n-1 }) ,mod,b, c_n leftlfloorfrac {ax_ {n-r } + c_ {n-1 } } = {b }
ight
floor, nge rและผลผลิตเครื่องกำเนิดไฟฟ้า MWC ลำดับของรายxr, xr + xr 1 + 2, ...ระยะเวลาของการกำเนิด MWC r ความล่าช้าเป็นลำดับของ b ในกลุ่มเชิงการคูณเลข modulo abr − 1 มันเป็นขนบธรรมเนียมให้เลือกเป็นของที่ p = abr − 1 เป็นนายกที่ซึ่งสามารถกำหนดลำดับของ b เนื่องจาก 2 ตกค้างกำลังสองของเลขแบบฟอร์ม 8k±1, b = 232 ไม่รากดั้งเดิมของ p = abr − 1 ดังนั้นจึง มีกำเนิดไม่ MWC ใน 232 ฐานที่มีสูงสุดหนึ่งรอบระยะเวลา เป็นไปได้ของความยากลำบากที่ใช้ b = 232 overcomes − 1ปัญหาทฤษฎีกำเนิด MWC ชี้ให้เห็น โดย Couture และ l'Ecuyer (1997) ได้ว่า บิตที่สำคัญมีเล็กน้อยลำเอียง เสริมคูณมีถือกำเนิดร่วมกันปัญหานี้: "เราจะเห็นว่า MWC เสริม แต่ละบิตของมูลค่าผลผลิตเป็นธรรม คือ เลขฐานสองสองหลักจะเท่า ๆ กันบ่อยในช่วงเต็มรูปแบบ คุณสมบัติที่ใช้ร่วมกัน โดยกำเนิด MWC ไม่" พวกเขาไม่สามารถอธิบายรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับขอบเขตของความโน้มเอียง มื้อคูณมีถือกำเนิดยังต้องใช้เวลาคำนวณเพิ่มเติมเล็กน้อยต่อการเกิดซ้ำ ดังนั้นมีข้อดีข้อเสียเพื่อประเมินขึ้นอยู่กับความต้องการใช้งานเปรียบเทียบกับเครื่องกำเนิดไฟฟ้า congruential เชิงเส้น [แก้ไข]กำเนิดเส้น congruential จะดำเนินการเป็นx_ {n + 1 } = (ax_n + c) mod,2^{32 },เนื่องจากตัวประมวลผลทางคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่จะใส่ตัวคูณ เป็น และปัจจุบัน x ใน 32 บิตลง ทะเบียน แบบฟอร์มผลิตภัณฑ์ 64 บิตติดกับเครื่องบันทึกเงินสด และใช้ 32 บิตล่างเป็นผลิตภัณฑ์ กล่าวคือ แบบฟอร์มa imes x mod,2^{32 }เพิ่ม c 32 บิตที่ครึ่งล่างแล้วให้ (ax + c) mod 232 ถ้า mod 8 เป็น 3 หรือ 5 และ c เป็นคี่ ผลลัพธ์ฐาน 232 congruential ลำดับที่จะได้รอบ 232มีความล่าช้า 1 คูณกับยกเครื่องกำเนิดไฟฟ้าช่วยให้เราสามารถทำให้ระยะเวลาเกือบ 263 โดยผู้ผลิตคอมพิวเตอร์เดียวกัน แต่เวลานี้ครึ่งบนของผลิตภัณฑ์ 64 บิตจะใช้ มากกว่าละเว้นหลังจาก 64 บิตจะเกิดขึ้น ใช้เป็นตัวใหม่มีค่า c มากกว่าที่ดำเนินการคงค่าของลำดับ congruential มาตรฐาน: ได้รับ ax + c 64-บิต แล้วแบบ c ใหม่เป็นครึ่งบนของ 64 บิตเหล่านั้น และ x ใหม่เป็นด้านล่างครึ่งหนึ่งมีระบุ ตัวคูณแต่ละคู่ของ x, c จะถูกแปลงเป็นคู่ใหม่,mod,2^ xleftarrow (ax + c) { 32 }, cleftarrow leftlfloorfrac{ax+c}{2^{32}}
ight
floorถ้า x และ c ไม่เป็นศูนย์ทั้งสอง แล้วระยะเวลาของผลคูณด้วยยกลำดับจะเป็นลำดับของ b = 232 ในกลุ่มเชิงการคูณของตก modulo ab − 1 คือ น้อยที่สุด n เช่นที่พัน = 1 mod (ab − 1) ถ้าเราเลือกผิดที่ของบิต 28-31 ให้ ab−1 เป็น "นายกปลอดภัย" คือ ab − 1 และ ab/2 − 1 เป็นนายก แล้วระยะเวลาจะเป็น− ab/2 1, 263 ซึ่งในทางปฏิบัติอาจเป็นการย่อย acceptably ขนาดใหญ่จำนวน 32 บิตได้คู่ (x, c) กำลังต่อไปนี้เป็นบางค่าสูงสุดของการสำหรับการใช้งานคอมพิวเตอร์ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขเฉพาะปลอดภัยข้างต้น:Bits b มากที่สุดเช่นการ ab−1 ที่เป็นระยะ ปลอดภัย นายก15 216 215−50 = 32,718 1,072,103,42316 216 216−352 = 65,184 2,135,949,31131 232 231−563 = 2,147,483,085 4,611,684,809,394,094,07932 232 232−178 = 4,294,967,118 9,223,371,654,602,686,46364 264 264−742 = 18,446,744,073,709,550,874 170,141,183,460,469,224,887,945,252,369,640,456,191128 2128 2128−10, 408 2127 (2128−10, 408) −1256 −1 2256 2256−9166 2255 (2256−9166)512 2512 2512−150, 736 2511(2512−150,736)-1อย่างไรก็ตาม เป็นนายกปลอดภัยไม่มีผลต่อ randomness ลำดับ หนึ่งอาจแทนเพียงเลือกเป็นเช่นลำดับของ b ab/2 − 1 ต่อไปนี้มีค่าสูงสุดของอีกเป็นขนาดต่าง ๆBits b มากที่สุดเช่นการที่ b ได้สั่ง ab/2−1 รอบระยะเวลา15 216 215−29 = 32,739 1,072,791,55116 216 216−22 = 65,514 2,146,762,75131 232 231−68 = 2,147,483,580 4,611,685,872,398,499,83932 232 232−76 = 4,294,967,220 9,223,371,873,646,018,55963 264 263−140 = 9,223,372,036,854,775,668 85,070,591,730,234,614,574,571,566,698,273,439,74364 264 264−116 = 18,446,744,073,709,551,500 170,141,183,460,469,230,661,776,147,440,730,111,999นี่คือการเปรียบเทียบของ congruential และ MWC ลำดับสำหรับกรณีเรื่องของเลขคณิต modulo 10 ที่นี่ "ลงทะเบียน" เลขตัวเดียว ทะเบียนติดเป็นเลขสองหลัก:เริ่มต้น ด้วย x_0 = 1 ลำดับที่ congruentialx_n = (7x_ { n-1 } + 3) ,mod,10มีลำดับนี้ติดกับทะเบียน:10,03,24,31,10,03,24,31,10, ldotsและลำดับการแสดงผลของราย, (ขวาสุดลงทะเบียน), มีระยะ 4:0,3,4,1,0,3,4,1,0,3,4,1, ldotsเริ่มต้น ด้วย x_0 = 1, c_0 = 3 ลำดับที่ MWCx_n = (7x_ { n-1 } + c_ { n-1 }) ,mod,10, c_n = leftlfloorfrac { 7x_ {n-1 } + c_ {n-1 } } { 10 }
ight
floorมีลำดับนี้ติดกับทะเบียน10,01,07,49,67,55,40,04,28,58,61,13,22,16,43,25,37,52,19,64,34,31 10,01,07, ...มีลำดับการแสดงผลของรายมีระยะเวลา 22:0,1,7,9,7,5,0,4,8,8,1,3,2,6,3,5,7,2,9,4,4,1 0,1,7,9,7,5,0, ...สังเกตที่ถ้าผู้ซ้ำส่วนของค่า x ที่ทำในลำดับย้อนกลับตั้งแต่การ x_ { 22n + 20 },449275cdots97101, 449275cdots9710144cdotsเราได้ j/(ab−1) ขยายด้วยตัว = 7, b = 10, j = 31:frac{31}{69}=.4492753623188405797101,4492753623ldotsนี้เป็นจริงโดยทั่วไป: ลำดับของรายผลิต โดยเครื่องกำเนิดไฟฟ้า MWC ที่ r ความล่าช้า: x_n = (ax_ { n r } + c_ { n-1 }) mod,b,, c_n = leftlfloorfrac {ax_ {n-r } + c_ {n-1 } }
ight
floor {b }เมื่อย้ายในลำดับย้อนกลับ จะมีการขยายตัวของฐาน b ของเจเชือด /(abr − 1) สำหรับบาง 0 < เจ < abr.สังเกตเห็นว่า ถ้า เริ่มต้น ด้วย x_0 = 34 เราสร้างลำดับ congruential ธรรมดาx_n = ,mod,69 7x_ {n-1 }เราได้ลำดับที่ 22 ของรอบระยะเวลา31,10,1,7,49,67,55,40,4,28,58,61,13,22,16,43,25,37,52,19,64,34, 31,10,1,7, ...และลำดับ mod ลด 101,0,1,7,9,7,5,0,4,8,8,1,3,2,6,3,5,7,2,9,4,4, 1,0,1,7,9,7,5,0, ...ตามลำดับของรายเกิดจากลำดับ MWCนี้เป็นจริงโดยทั่วไป, (แต่เห็นได้ชัดสำหรับความล่าช้า 1 MWC ลำดับ):กำหนดค่าเริ่มต้น x_0, c_0 การลำดับ x_1, x_2, ldots เกิดจากลำดับ MWC ความล่าช้า 1 x_n = (ax_ { n-1 } + c_ { n-1 }) ,mod b, c_n = leftlfloorfrac {ax_ {n-1 } + c_ {n-1 } }
ight
floor {b }คือว่า yn congruential ลำดับ ayn − 1 = mod (ab − 1), ลด modulo bเลือกค่าเริ่มต้น y0 เพียงหมุนรอบของรายมื้อคูณมีถือกำเนิด [แก้ไข]สร้างรอบระยะเวลาของการกำเนิด MWC r ความล่าช้ามักจะมีการเลือกตัวคูณให้ p = abr − 1 เป็นนายก P คือ นายกปลอดภัย ถ้าจะสั่งของ b p − 1 หรือ (p − 1) / 2 อื่น เป็นไปได้ที่ p − 1 จะมีการแยกตัวประกอบการหาลำดับของ b mod p และ p = abr − 1 อาจจะยากที่จะคูณได้แต่นายกของแบบฟอร์ม p = abr + 1 จะทำให้ p−1 แก่ปัจจัย ดังนั้นรุ่นคูณกับดำเนินการที่เกี่ยวข้องกับลำดับของ b สำหรับ p เฉพาะ = abr + 1 จะลดมากต้องสร้างรอบระยะเวลาของลำดับ MWC ทฤษฎีเลขคำนวณโชคดี การปรับเปลี่ยนกระบวนงาน MWC เล็กน้อยนำไปสู่โรงแรมไพรม์ abr ฟอร์ม + 1 ขั้นตอนใหม่คือเสริมคูณกับยก (CMWC),และการตั้งค่าเหมือนกับความล่าช้า-r MWC: ตัวคูณ มี ฐาน b, r + 1 เมล็ดx 0, x 1, x 2,..., xr−1 และ cr − 1มีการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในการสร้างคู่ใหม่ (x, c): x_n =(b-1)- (ax_ {n-r } + {n-1 } c_) ,mod,b, c_n = leftlfloorfrac {ax_ {n-r } + c_ {n-1 } }
ight
floor {b }นั่นคือ จะเสริม −x (b−1) เมื่อขึ้นรูป x ใหม่ลำดับผลลัพธ์ของรายที่ผลิต โดย CMWC RNG จะมีระยะเวลาการสั่งของบีในกลุ่มตกค้าง modulo abr + 1 และผลลัพธ์เชิงการคูณ ราย ถอย จะเป็นขยายฐาน b ของ j/(abr+1) สำหรับบาง 0ใช้ของ CMWC r ความล่าช้าทำให้ง่ายมากที่จะค้นหารอบระยะเวลาสำหรับ r's ใหญ่ 512, 1024, 2048 ฯลฯ (ทำ r กำลัง 2 ทำให้มันง่ายขึ้นเล็กน้อย (และเร็ว) องค์ประกอบเข้าในอาร์เรย์ที่ประกอบด้วย r รายล่าสุด)ตัวอย่าง: มี b = 232 ระยะของ CMWC 1024 ความล่าช้า x_n =(b-1)- (ax_ {n-1024 } + {n-1 } c_) ,mod,b, c_n = leftlfloorfrac {ax_ {n-1024 } + c_ {n-1 } }
ight
floor {b }จะ acdot232762 เกี่ยวกับ 109867 สำหรับคนเหล่านี้เป็น: 109111 หรือ 108798 หรือ 108517มี b = 232 และ = 3636507990, p = ab1359 − 1 เป็นนายกปลอดภัย ลำดับ MWC ตามที่มีรอบระยะเวลา 3636507990cdot243487 approx1013101มี b = 232, RNG CMWC กับใกล้ช่วงคอร์ดอาจจะยึดเฉพาะ p = 15455296b42658 + 1 ได้ ลำดับของ b สำหรับนายกที่ 241489 * 21365056, 10410928 ประมาณนั้น

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ทฤษฎีทั่วไป [แก้ไข]
ลำดับ MWC จะขึ้นอยู่กับการคำนวณแบบโมดูโลฐานเป็นขมักข = 232 เพราะการคำนวณแบบโมดูโลขที่เป็นไปโดยอัตโนมัติในคอมพิวเตอร์มากที่สุด แต่บางครั้งฐานเช่นข = 232-1 ถูกนำมาใช้เพราะทางคณิตศาสตร์สำหรับโมดูลัส 232-1 ต้องใช้เพียงการปรับตัวง่ายจากที่ 232 และทฤษฎีสำหรับลำดับ MWC ขึ้นอยู่กับโมดูลัส 232 มีความยากลำบากจู้จี้บางหลีกเลี่ยงได้โดยใช้ข = 232 - 1 ในรูปแบบที่พบมากที่สุดของเครื่องกำเนิดไฟฟ้าล่าช้าอา MWC ต้องเป็นขฐานคูณและชุดของ R + 1 ค่าเมล็ดสุ่มประกอบด้วยสารตกค้างอาร์ของขx0, x1, x2, .. , XR-1 และการดำเนินการเริ่มต้น CR-1 <a. ล่าช้า-R ลำดับ MWC แล้วลำดับของคู่ XN, CN กำหนดโดยx_n = (ax_ {} NR + c_ {n-1}) bmod b, c_n = left lfloor frac {ax_ {NR} + c_ {n-1}} {ข} สิทธิ rfloor, n ge R, และการส่งออกเครื่องกำเนิดไฟฟ้า MWC เป็น ลำดับของ x ของXR, XR + 1, XR + 2, ... ระยะเวลาของเครื่องกำเนิดไฟฟ้าล่าช้าอา MWC เป็นคำสั่งของขในกลุ่มคูณของตัวเลขโมดูโล ABR - 1. มันเป็นธรรมเนียมที่จะเลือกเพื่อให้ว่า p = ABR - 1 เป็นสำคัญที่คำสั่งของขสามารถกำหนด เพราะ 2 เป็นสารตกค้างกำลังสองของตัวเลขของรูปแบบ 8k ± 1, B = 232 ไม่สามารถเป็นรากดั้งเดิมของ p = ABR - 1 จึงไม่มีเครื่องปั่นไฟ MWC ฐาน 232 ที่มีระยะเวลาที่เป็นไปได้สูงสุดซึ่งเป็นหนึ่งในความยากลำบาก . ว่าการใช้ข = 232-1 ครอบงำปัญหาทางทฤษฎีกับเครื่องปั่นไฟ MWC ชี้ให้เห็นโดย Couture และแมง Ecuyer (1997) คือบิตที่สำคัญที่สุดคือลำเอียงเล็กน้อย เสริม-คูณกับการพกพาเครื่องกำเนิดไฟฟ้าไม่ใช้ปัญหานี้ "เราจะได้เห็นว่าสำหรับ MWC ประกอบการแต่ละบิตของมูลค่าการส่งออกมีความเป็นธรรมที่เป็นตัวเลขสองหลักไบนารีจะปรากฏขึ้นอย่างเท่าเทียมกันมักจะอยู่ในช่วงเวลาที่เต็มรูปแบบ สถานที่ให้บริการไม่ได้ใช้ร่วมกันโดยกำเนิดสติว. " พวกเขาดูเหมือนจะไม่ได้อธิบายรายละเอียดต่อไปในฐานะที่มีขอบเขตของการมีอคติที่ เครื่องกำเนิดไฟฟ้าเสริม-คูณที่มีการดำเนินการนอกจากนี้ยังต้องใช้เวลาในการคำนวณมากขึ้นเล็กน้อยต่อการทำซ้ำเพื่อให้มีการถ่วงดุลอำนาจที่จะประเมินขึ้นอยู่กับความต้องการการใช้งาน. เปรียบเทียบกับเครื่องปั่นไฟ congruential เชิงเส้น [แก้ไข] เชิงเส้นกำเนิด congruential จะดำเนินการตามx_ {n + 1} = (ax_n + c) bmod 2 ^ {32} เพราะการประมวลผลมากที่สุดทางคณิตศาสตร์มีความสามารถที่จะนำตัวคูณและ x ในปัจจุบันในการลงทะเบียน 32 บิตในรูปแบบผลิตภัณฑ์ 64 บิตในการลงทะเบียนที่อยู่ติดกันและใช้เวลา ต่ำกว่า 32 บิตเป็นผลิตภัณฑ์ที่มีรูปแบบเป็น ครั้ง x bmod 2 ^ {32}. เพิ่ม 32 บิตคที่ลดลงครึ่งหนึ่งจากนั้นจะให้ (ขวาน + c) mod 232 ถ้าสมัยที่ 8 เป็น 3 หรือ 5 และ c คือแปลกฐานผล 232 ลำดับ congruential จะมีระยะเวลา 232 ความล่าช้า-1 คูณกับการพกพาเครื่องกำเนิดไฟฟ้าช่วยให้เราสามารถที่จะทำให้ระยะเวลาเกือบ 263 การดำเนินงานโดยใช้คอมพิวเตอร์เครื่องเดียวกันเหล่านั้นยกเว้นว่าเวลานี้ ครึ่งบนของผลิตภัณฑ์ 64 บิตจะใช้มากกว่าละเว้นหลังจาก 64 บิตจะเกิดขึ้น มันถูกใช้เป็นค่าดำเนินการใหม่ c มากกว่าค่าดำเนินการคงที่ของลำดับ congruential มาตรฐาน: รับขวาน + C 64 บิตแล้วในรูปแบบคใหม่เป็นครึ่งบนของบรรดา 64 บิตและ x ใหม่เป็น ครึ่งล่าง. ด้วยตัวคูณระบุคู่ของค่าที่ป้อนเข้า x แต่ละคจะถูกแปลงเป็นคู่ใหม่, x leftarrow (ขวาน + c) , bmod 2 ^ {32} ค leftarrow ซ้าย lfloor frac {ขวาน + C} {2 ^ {32}} สิทธิ rfloor. ถ้า x และคไม่ได้ทั้งศูนย์แล้วระยะเวลาของผลคูณที่มีการดำเนินการตามลำดับจะเป็นคำสั่งของข = 232 ในกลุ่มของสารตกค้างคูณแบบโมดูโล AB - 1, ที่อยู่, ที่เล็กที่สุดเช่นที่ n = 1 พันล้าน mod (AB - 1) ถ้าเราเลือกของ 28-31 บิตดังกล่าวว่า AB-1 คือ "นายกปลอดภัย" การที่มีทั้งข - 1 และ AB / 2-1 เป็นนายกแล้วระยะเวลาที่จะได้รับ AB / 2-1 ใกล้ 263 ซึ่งในทางปฏิบัติอาจจะเป็นส่วนย่อยที่มีขนาดใหญ่ที่ยอมรับของจำนวนคู่ 32 บิตที่เป็นไปได้ (x, c). ต่อไปนี้เป็นค่าสูงสุดของสำหรับการใช้งานคอมพิวเตอร์ที่ตอบสนองความต้องการดังกล่าวข้างต้นมีความปลอดภัยสภาพที่สำคัญ: บิตใน AB สูงสุดดังกล่าวที่ AB-1 เป็นระยะเวลาที่ปลอดภัยนายกรัฐมนตรี15 216 215-50 = 32718 1072103423 16 216 216-352 = 65184 2135949311 31 232 231-563 = 2147483085 4,611,684,809,394,094,079 32 232 232-178 = 4294967118 9,223,371,654,602,686,463 64 264 264-742 = 18,446,744,073,709,550,874 170,141,183,460,469,224,887,945,252,369,640,456,191 128 2128 2127 2128-10,408 (2128-10,408) -1 256 2256 2255 2256-9166 (2256-9166) -1 512 2512 2512-150,736 2511 (2512-150,736) -1 อย่างไรก็ตามในฐานะที่เป็นนายกปลอดภัยไม่ส่งผลกระทบต่อการสุ่มของ ลำดับหนึ่งอาจแทนเพียงแค่เลือกดังกล่าวว่าคำสั่งของขเป็น AB / 2 - 1 ต่อไปนี้เป็นค่าสูงสุดอีกครั้งของขนาดต่างๆ. บิตใน AB สูงสุดดังกล่าวว่ามีคำสั่งข AB / 2-1 ระยะเวลา216 215-29 15 = 32739 1072791551 16 216 216-22 = 65514 2146762751 31 232 231-68 = 2147483580 4,611,685,872,398,499,839 32 232 232-76 = 4294967220 9,223,371,873,646,018,559 63 264 263-140 = 9,223,372,036,854,775,668 85,070,591,730,234,614,574,571,566,698,273,439,743 64 264 264-116 = 18,446,744,073,709,551,500 170,141,183,460,469,230,661,776,147,440,730,111,999 นี่คือ การเปรียบเทียบของลำดับ congruential และ MWC สำหรับกรณีที่เรียบง่ายของการคำนวณแบบโมดูโล 10; ที่นี่ "" การเป็นหลักเดียวที่อยู่ติดกันมีการลงทะเบียนตัวเลขสองหลัก: เริ่มต้นด้วย x_0 = 1 ลำดับ congruential x_n = (7x_ {n-1} 3) , bmod , 10, มีลำดับของที่อยู่ติดกันนี้ ลงทะเบียน: 10,03,24,31,10,03,24,31,10 ldots, และลำดับการส่งออกของ x ของ (ลงทะเบียนขวาสุด) มีระยะเวลา 4: 0,3,4,1,0, 3,4,1,0,3,4,1, ldots เริ่มต้นด้วย x_0 = 1 c_0 = 3 ลำดับ MWC x_n = (7x_ {n-1} + c_ {n-1}) , bmod 10 c_n = left lfloor frac {7x_ {n-1} + c_ {n-1}} {10} สิทธิ rfloor, มีลำดับของการลงทะเบียนที่อยู่ติดกันนี้10,01,07,49, 67,55,40,04,28,58,61,13,22,16,43,25,37,52,19,64,34,31 10,01,07 ... กับลำดับการส่งออกของ x ของการมี ระยะเวลา 22: 0,1,7,9,7,5,0,4,8,8,1,3,2,6,3,5,7,2,9,4,4,1 0,1, 7,9,7,5,0 ... สังเกตว่าถ้าผู้ที่ซ้ำส่วนของค่า x จะวางในลำดับที่กลับเริ่มต้นจาก x_ {22N + 20} 449,275 cdots97101 449275 cdots9710144 cdots ที่เราได้รับ การขยายตัวเจ / (AB-1) ที่มี = 7, B = 10 เจ = 31: frac {31} {69} = 4492753623188405797101 , 4492753623 ldots. นี้จะเป็นจริงโดยทั่วไป: ลำดับของ x ที่ผลิตโดย ล่าช้าอากำเนิด MWC: x_n = (ax_ {} NR + c_ {n-1}) bmod ข ,, c_n = left lfloor frac {{ax_ NR} + c_ {n-1 }} {ข} สิทธิ rfloor, เมื่อใส่ในลำดับที่กลับจะเป็นการขยายตัวของฐานขของเหตุผลเจ / (ABR - 1). สำหรับบาง 0 <ญ <ABR ยังสังเกตเห็นว่าถ้าเริ่มต้นด้วย x_0 = 34 เราสร้างลำดับ congruential สามัญx_n = 7x_ {n-1} , bmod , 69, เราได้รับระยะเวลา 22 ลำดับ31,10,1,7,49,67,55,40,4,28, 58,61,13,22,16,43,25,37,52,19,64,34, 31,10,1,7 ... และลำดับที่ 10 สมัยที่ลดลงเป็น1,0,1, 7,9,7,5,0,4,8,8,1,3,2,6,3,5,7,2,9,4,4, 1,0,1,7,9,7, 5,0 ... ลำดับเดียวกันของ x ของที่เกิดจากการลำดับ MWC ได้. นี่คือความจริงโดยทั่วไป (แต่เห็นได้ชัดว่าเพียง แต่สำหรับความล่าช้า-1 MWC ลำดับ): ได้รับค่าเริ่มต้น x_0, c_0, x_1 ลำดับ x_2, ldots ที่เกิดจากความล่าช้า-1 ตามลำดับ MWC x_n = (ax_ {n-1} + c_ {n-1}) , bmod ข ,, c_n = left lfloor frac {ax_ {n-1 } + c_ {n-1}} {ข} สิทธิ rfloor ตรงลำดับ congruential yn = Ayn - 1 สมัย (AB - 1) ลดลงขโมดูโล. เลือก y0 ค่าเริ่มต้นเพียงหมุนวงจรของ x ของ. เสริม -multiply กับการพกพาเครื่องกำเนิดไฟฟ้า [แก้ไข] การสร้างช่วงเวลาของความล่าช้า-R กำเนิด MWC มักจะสร้างการเลือกตัวคูณเพื่อให้ p = ABR - 1 เป็นสำคัญ ถ้าหน้าเป็นสำคัญปลอดภัยแล้วคำสั่งของขจะเป็นพี - 1 หรือ (พี - 1) / 2 มิฉะนั้นจะเป็นไปได้ว่าพี - 1 จะต้องมีปัจจัยในการที่จะหาคำสั่งของสมัย p ขและ p = ABR - 1 อาจจะยากที่จะเป็นปัจจัย. แต่ที่สำคัญของรูปแบบพีที่ = ABR + 1 จะทำให้ P-1 ใช้ง่ายปัจจัยดังนั้นรุ่นคูณที่มีการดำเนินการที่เกี่ยวข้องกับคำสั่งของขสำหรับนายก p = ABR + 1 จะลดมากทฤษฎีจำนวนการคำนวณที่จำเป็นในการสร้างช่วงเวลาของการลำดับ MWC ได้. โชคดีที่ การปรับเปลี่ยนเล็กน้อยของขั้นตอน MWC นำไปสู่รูปแบบเฉพาะของ ABR เครื่องหมาย + 1. ขั้นตอนใหม่ที่เรียกว่าเสริม-คูณกับการพกพา (CMWC) และการติดตั้งเป็นเช่นเดียวกับที่ล่าช้าอา MWC: คูณฐาน B, R + 1 เมล็ดx0, x1, x2, ... , XR-1 และ CR - 1. มีการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในการผลิตของคู่ใหม่คือ (x, c): x_n = (B-1) - (ax_ {NR} + c_ {n-1}) , bmod b, c_n = left lfloor frac {ax_ {NR} + c_ {n-1}} {ข} สิทธิ rfloor. นั่นคือการใช้ส่วนประกอบ (b-1) -x เมื่อขึ้นรูป x ใหม่. ลำดับที่เกิดจาก x ของที่ผลิตโดย CMWC RNG จะมีระยะเวลาในการสั่งซื้อของขในกลุ่มคูณตกค้างโมดูโล ABR + 1 และ x การส่งออกของในลำดับที่กลับจะฟอร์มการขยายตัวของฐานขเจ / นี้ (ABR + 1) สำหรับบาง 0





















































































































การใช้ความล่าช้า-R CMWC ทำให้มันง่ายมากที่จะหาช่วงเวลาสำหรับอาร์มีขนาดใหญ่เป็น 512, 1024, 2048 และอื่น ๆ (ทำพลังงานรา 2 ทำให้มันง่ายขึ้นเล็กน้อย (และเร็วขึ้น) ในการเข้าถึงองค์ประกอบในอาร์เรย์ที่มีอาร์มากที่สุด x ล่าสุด). ตัวอย่างบางส่วน: ด้วยข = 232 ระยะเวลาของความล่าช้า 1024 CMWC x_n = (B-1) - (ax_ {n-1024} + c_ {n-1}) , bmod ข . c_n = left lfloor frac {ax_ {n-1024} + c_ {n-1}} {ข} สิทธิ rfloor จะเป็น cdot232762 ประมาณ 109,867 สำหรับทั้งสามเมื่อ: 109111 หรือ 108798 หรือ 108517. กับข = 232 และ = 3636507990, p = ab1359 - 1 เป็นนายกปลอดภัยดังนั้นลำดับ MWC ขึ้นอยู่กับว่ามีระยะเวลา 3636507990 cdot243487 approx1013101. กับข = 232 เป็น RNG CMWC ที่มีระยะเวลาการบันทึกอาจจะอยู่ใกล้ จะขึ้นอยู่กับนายก p = 15455296b42658 + 1 คำสั่งของขสำหรับที่สำคัญคือ 241,489 * 21365056 ประมาณ 10,410,928

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

[ แก้ไข ]
a ทฤษฎีทั่วไปลําดับเลขคณิตมอดุโล MWC อยู่บนพื้นฐาน B ปกติ B = 232 , เลขคณิตมอดุโลเพราะที่ B เป็นอัตโนมัติในคอมพิวเตอร์มากที่สุด อย่างไรก็ตาม บางฐาน เช่น B = 232 − 1 จะใช้ เพราะคณิตศาสตร์สำหรับ 232 − 1 ) ใช้ง่ายเพียงปรับจากที่ 232 ,และทฤษฎียีน MWC ตามัส 232 มีบ่นยากหลีกเลี่ยงได้โดยการใช้ B = 232 − 1 .

ในรูปแบบที่พบมากที่สุด เป็น lag-r MWC เครื่องกำเนิดไฟฟ้าต้องใช้ฐาน B , ตัวคูณ , และชุดค่าสุ่มเมล็ดประกอบด้วย 1 r , R และ B x0

, , x1 , x2 , . . . , 9000 − 1
และเริ่มต้นดำเนินการ CR − 1 < a .

lag-r MWC ดับแล้วดับคู่คริสเตียน , CN โดยกำหนด

x_n = ( ax_ n-r } { c_ { N - 1 } ) n bmod , b , N c_n = เหลือ lfloor frac n-r } { { { ax_ c_ N - 1 } } { b } n rfloor ge r ,
และ MWC เครื่องกำเนิดไฟฟ้า ออก เป็น ลำดับ เอ็กซ์ ,

9000 9000 9000 , 1 , 2 , . . . . . . .
ระยะเวลาของ lag-r MWC เครื่องกำเนิดไฟฟ้าเป็นคำสั่งของ B ในการคูณตัวเลขมอดุโล ABR − 1 มันเป็นประเพณีที่จะเลือกช่างที่ P = ABR − 1 เป็นนายกรัฐมนตรีที่สั่ง B ได้เพราะ 2 ตกค้างกำลังสองของจำนวนแบบ 8K ± 1 , B = 232 ไม่สามารถรากดั้งเดิมของ P = ABR − 1 ดังนั้นไม่มี MWC เครื่องกำเนิดไฟฟ้าฐานนั้นมีระยะเวลาสูงสุดที่เป็นไปได้ หนึ่งของปัญหาที่ใช้ B = 232 − 1 เอาชนะ

ปัญหาเชิงทฤษฎีด้วย MWC เครื่องชี้ให้เห็นโดย couture l'ecuyer ( 1997 ) และที่สำคัญที่สุดคือบิตลำเอียงเล็กน้อย ; ประกอบคูณกับพกตลอด ไม่ใช้ปัญหานี้ : " เราจะเห็นว่า ใน MWC ซึ่งแต่ละบิตของมูลค่าการส่งออกที่ยุติธรรม นั่นคือ สองไบนารีตัวเลขจะปรากฏบ่อยครั้งในช่วงเวลาเท่ากัน เต็มคุณสมบัติที่ไม่ได้ใช้ร่วมกันโดย MWC เครื่องกำเนิดไฟฟ้า" พวกเขาไม่ได้ปรากฏรายละเอียดเพิ่มเติมเป็นขอบเขตของคติ ซึ่งคูณด้วยแบกเครื่องยังต้องเพิ่มเติมเล็กน้อยเวลาต่อการคำนวณซ้ำ ดังนั้นนี่เป็นข้อเสียที่จะประเมิน แล้วแต่ความต้องการใช้งาน เปรียบเทียบกับเส้น

congruential เครื่องปั่นไฟ [ แก้ไข ]
เส้น congruential เครื่องปั่นไฟใช้เป็น

x_ { n } = 1 ( ax_n C ) bmod 2
{ 32 } ,
เนื่องจากการประมวลผลเลขคณิตส่วนใหญ่สามารถใส่ตัวคูณและปัจจุบัน x ใน 32 บิตรีจิสเตอร์แบบ 64 บิตผลิตภัณฑ์ที่ติดทะเบียน และใช้เวลากว่า 32 บิตเป็นผลิตภัณฑ์ที่เป็นรูปแบบ

bmod ครั้ง x 2
{ 32 } .
เพิ่ม 32 องศาเซลเซียส ที่ครึ่งล่างแล้วให้ ( ขวาน C ) mod 232 . ถ้า mod 8 เป็น 3 หรือ 5 และ C เป็นคี่ฐานส่งผลให้มัน congruential ลำดับจะมีระยะเวลา 232 .

lag-1 คูณกับเครื่องกำเนิดไฟฟ้าแบกช่วยให้เราเพื่อให้ระยะเวลาเกือบ 263 โดยใช้เดียวกันเหล่านั้นปฏิบัติการคอมพิวเตอร์ยกเว้นว่าเวลานี้ครึ่งบนของผลิตภัณฑ์ 64 บิตจะใช้มากกว่าไม่สนใจหลังจาก 64 บิตจะเกิดขึ้นมันถูกใช้เป็นใหม่แบกค่า C มากกว่าคงแบกค่าของลำดับ congruential มาตรฐาน : รับขวาน C ใน 64 บิต แล้วรูปแบบใหม่ C เป็นครึ่งบนของ 64 บิตและใหม่ X เป็นครึ่งล่าง

กับตัวคูณที่กำหนด แต่ละคู่ใส่ค่า x , C จะถูกแปลงเป็นคู่ใหม่

X leftarrow ( ขวาน C ) N bmod 2
{ 32 } , lfloor C leftarrow ซ้ายขวาน N frac { C } { 2
{ 32 } } n rfloor .
ถ้า x และ C ไม่ได้ทั้งศูนย์ แล้วระยะเวลาของผลคูณกับลำดับอุ้มจะสั่ง B = 232 ในกลุ่มการคูณของตกค้าง โมดูโล่ AB − 1 นั่นคือที่ n เช่นที่ BN = 1 − 1 ( mod . ) ถ้าเราเลือกเป็น 28 กับ 31 บิตเช่น− AB 1 เป็นปลอดภัย " นายกรัฐมนตรี " ที่เป็นทั้ง AB AB − 1 / 2 − 1 เป็นจำนวนเฉพาะแล้วระยะเวลาจะเป็น AB / 2 − 1 ใกล้แล้ว ซึ่งในทางปฏิบัติอาจจะย่อยยอมรับขนาดใหญ่จำนวน 32 คู่เป็นไปได้ ( x , c )

ต่อไปนี้เป็นคุณค่าสูงสุดของคอมพิวเตอร์โปรแกรมที่ตอบสนองข้างต้นปลอดภัยนายก เงื่อนไข : บิต

ใน B สูงสุดเป็น เช่น− AB 1 เป็นช่วง
นายกรัฐมนตรีปลอดภัย 15 216 215 − 50 = 32718 1072103423
16 216 216 352 = − 2135949 65184 ,311
31 232 − 231 563 = 2147483085 4611684809394094079
32 232 232 − 178 = 4294967118 9223371654602686463
64 264 264 − 742 = 18446744073709550874 170141183460469224887945252369640456191
128 2128 2128 − 10408 1555 ( 2128 −− 1
10408 ) 256 2256 2256 − ( − 9166 ครั้ง 2256 9166 ) − 1
512 2512 2512 − ( 150736 2422 2512 − 150736 ) - 1
อย่างไรก็ตามในฐานะที่เป็นนายกรัฐมนตรีปลอดภัยไม่มีผลต่อการสุ่มของลำดับหนึ่งอาจเพียงแต่เลือกที่คำสั่งของ B AB / 2 − 1 ต่อไปนี้เป็นอีกคุณค่าสูงสุดของขนาดต่าง ๆ บิต

ใน B สูงสุดเป็นเช่นที่ B สั่งซื้อ AB / 2 − 1 คาบ
15 216 215 − 29 = 32739 1072791551
16 216 216 − 22 = 65514 2146762751
31 231 232 − 0 = 2147483580 4611685872398499839
32 232 232 − 1 = 4294967220 9223371873646018559
63 264 − 263 140 = 9223372036854775668 85070591730234614574571566698273439743
64 264 264 − 1 = 18446744073709551500 170141183460469230661776147440730111999
ที่นี่คือการเปรียบเทียบและ congruential MWC ลำดับสำหรับกรณีที่เรียบง่ายของเลขคณิตมอดุโล 10 ; ที่นี่ " ลงทะเบียน " เป็นเลขหลักเดียวติดทะเบียนเป็นเลขสองหลัก :

เริ่ม x_0 = 1 , congruential ลำดับ

x_n = ( 7x_ { 3 N - 1 } ) n bmod 10
มีลำดับติดกันลงทะเบียน :

10,03,24,31,10,03,24,31,10 N ldots
, และการส่งออกลำดับ x , ( ตำแหน่ง ลงทะเบียน ) มีระยะเวลา 4 :

0,3,4,1,0,3,4,1,0,3,4,1 N ldots
เริ่ม x_0 = 1 , c_0 = 3 , MWC ลำดับ

x_n = ( 7x_ c_ { N - 1 } { N - 1 } ) n bmod , 10 c_n = ซ้าย lfloor frac { 7x_ { N - 1 } c_ { N - 1 } } { 10 } n rfloor
, มีลำดับติดกันลงทะเบียน

10,01,07,49,67,55,40,04,28,58,61,13,22,16,43,25,37,52,19,64,34,31 10,01,07 . .
กับผลผลิตลำดับ x มีระยะเวลา 22 :

0,1,7,9,7,5,0,4,8,8,1,3,2,6,3,5,7,2,9,4,4,1 0,1,7,9,7,5,0 . .
สังเกตว่าถ้าส่วนที่ซ้ำ ของค่าจะใส่ในลำดับที่กลับเริ่มต้นจาก x_ 22n

{ 20 } ,449275 449275 cdots97101 , cdots9710144 cdots
เราได้รับการขยายตัว J / ( AB − 1 ) = 7 , b = 10 , J = 31 :

frac { 32 } { 3 } = . 4492753623188405797101 4492753623 ldots
นี้เป็นจริงโดยทั่วไป : ลำดับของเอ็กซ์ ผลิตโดย lag-r MWC Generator :

x_n = ( ax_ n-r } { c_ { N - 1 } ) bmod B , , c_n = ซ้าย lfloor frac n-r } { { { ax_ c_ N - 1 } } { 2 } n rfloor
เมื่อใส่ในลำดับที่กลับ , ,จะมีการขยายตัวของการ base-b J / ( ABR − 1 ) บาง 0 < J < ABR

ยังสังเกตว่า ถ้าเริ่มต้นด้วย x_0 = 34 , เราสร้างสามัญ congruential ลำดับ

x_n = 7x_ N - 1 } { bmod 69
เราได้รับระยะเวลา 22 ลำดับ 31,10,1,7,49,67,55,40,4,28,58,61,13,22,16,43,25,37,52,19,64,34 31,10,1,7

, ,
. . . . . . . และลำดับการ mod 10 , 1,0,1,7,9,7,5,0,4,8,8,1,3,2,6,3,5,7,2,9,4,4 1,0,1,7,9

, ,7,5,0 . .
ลำดับเดียวกันของ X ที่เกิดจาก MWC ลำดับ

นี้เป็นจริงโดยทั่วไป ( แต่แค่ lag-1 MWC ลำดับ ) :

ให้เริ่มต้นที่ค่า x_0 c_0 , ลำดับ , x_1 x_2 , N ldots ที่เกิดจาก lag-1 MWC ลำดับ

x_n = ( ax_ { c_ N - 1 } { N - 1 } ) n bmod B , , c_n = ซ้าย lfloor frac { ax_ { N - 1 } c_ { N - 1 } } { b } n rfloor
เป็นลำดับใน congruential Ayn − 1 = Mod ( AB − 1 )การโมดูโล่ บี

เลือก y0 ค่าเริ่มต้นเพียงหมุนวงจรของ x .

ประกอบคูณกับพกตลอด [ แก้ไข ]
สร้างช่วงของ lag-r MWC เครื่องกำเนิดไฟฟ้ามักจะใช้เลือกตัวคูณให้ P = ABR − 1 เป็นจำนวนเฉพาะ ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะที่ปลอดภัย แล้วคำสั่งของ B จะเป็น P หรือ− 1 ( P − 1 ) / 2 มิฉะนั้นมันเป็นโอกาสที่ P − 1 จะต้องเป็นปัจจัยหนึ่งในการค้นหาลำดับของ B mod p , p = ABR − 1 อาจจะยากที่จะปัจจัย

แต่เฉพาะของรูปแบบ P = ABR 1 จะให้ P − 1 ง่ายต่อการประกอบดังนั้น รุ่นคูณกับพกที่เกี่ยวข้องกับคำสั่งของ B สำหรับจำนวนเฉพาะ p = ABR 1 จะลดมากตัวเลขการคำนวณทฤษฎีต้องสร้างช่วงของ MWC ลำดับ

โชคดีที่ปรับเปลี่ยนเล็กน้อยของงาน MWC นำไปสู่รูปแบบของรูปแบบ ABR 1 ขั้นตอนใหม่เรียกว่าทรานซิสเตอร์คูณกับพก

( cmwc )และติดตั้งอยู่เหมือนกันสำหรับ lag-r MWC : คูณเป็นฐาน b , R 1 เม็ด

x0 X1 , X2 , . . . , 9000 − 1 , − CR 1 .
มีการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในรุ่นของคู่ใหม่ ( x , c ) : x_n = ( B-1 ) - ( ax_ n-r } { c_ { N - 1 } ) n bmod , b , N c_n = เหลือ lfloor frac n-r } { { { ax_ c_ N - 1 } } { b } n rfloor

ที่ใช้เสริม ( 2 −− 1 ) X , เมื่อ สร้างใหม่

x