The concept of Bounded Boolean exte

The concept of Bounded Boolean extension of an group is due to A.L.Foster[1]. He demonstrated that each element of a p-ring R with unity can be represented as a type of Boolean vector over the Boolean algebra of all the idempotent elements of R. Later Penning [4] and Zemmer [9] have simplified the proof of A. L. Foster concerning a basis consisting of non zero elements of the additive subgroup of R by
 
1356 K. Venkateswarlu and N. Amarnath
its unity element. Subrahmanyam [ 5 ] motivated by the concept of A.L.Foster has introduced the notion of abstract vector space over a Boolean algebra ( simply Boolean vector space).In fact Boolean vector space is a natural generalization of this idea of A.L.Foster. The contribution of Subrahmanyam’s work is in [ 5,6,7]. Later Raja Gopala rao [2] has generalized the concept of B-vector spaces to vector spaces over regular rings ( simply R-vector spaces) . He studied several properties of these spaces in [ 2,3] , generalizing the results of Subrahmanayam. Also Venkateswarlu [8] has introduced the concept of direct sums in R- vector spaces and has proved that ) (∑ n i iG )* is a basis for ) (∑ n i iV if V1…..Vn are vector spaces over the same regular ring R having bases G1* , ……Gn* respectively. In this paper we introduce the concept of strong linear homomorphism from an R- Vector space V into another R-Vector space W and give a necessary and sufficient condition of a linear homomorphism to be strongly linear homomorphism ( see theorem 2.5) .Also we prove that G* is a basis for V then T(G*) is a basis for T(V) where T : V → W is an isomorphism(see theorem 2.6)

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

แนวคิดของบูลีนล้อมรอบส่วนขยายของกลุ่มได้เนื่องจาก A.L.Foster[1] เขาแสดงให้เห็นว่า แต่ละองค์ประกอบของ R p วงแหวนที่มีความสามัคคีสามารถแสดงเป็นรูปชนิด Boolean เวกเตอร์ผ่านพีชคณิตบูลีนองค์ประกอบ idempotent ทั้งหมดของอาร์ Penning ภายหลัง [4] และ Zemmer [9] ได้ประยุกต์หลักฐาน A. L. Foster เกี่ยวกับพื้นฐานประกอบด้วยไม่ใช่องค์ประกอบของกลุ่มย่อยสารเติมแต่งของ R โดยศูนย์  N. Amarnath และ Venkateswarlu เค. 1356 องค์ประกอบของความสามัคคี Subrahmanyam [5] แรงจูงใจจากแนวคิดของ A.L.Foster ได้แนะนำความคิดของเวกเตอร์นามธรรมผ่านการพีชคณิตแบบบูล (Boolean เพียงเวกเตอร์พื้นที่) ในความเป็นจริงเวกเตอร์ Boolean เป็นลักษณะทั่วไปเป็นธรรมชาติของความคิดนี้ของ A.L.Foster ผลงานของการทำงานของ Subrahmanyam อยู่ใน [5,6,7] ภายหลังราว Gopala ราชา [2] มีทั่วไปแนวคิดของพื้นที่ B เวกเตอร์เวกเตอร์พื้นที่ผ่านแหวนปกติ (เพียงเวกเตอร์ R พื้นที่) เขาศึกษาคุณสมบัติหลาย ๆ อย่างของใน 2 [3], generalizing ผลลัพธ์ของ Subrahmanayam ยัง Venkateswarlu [8] ได้แนะนำแนวคิดของผลรวมโดยตรงใน R - เวกเตอร์พื้นที่ และได้พิสูจน์ที่) (∑ n ผม iG) * ยังเป็นพื้นฐาน) (∑ n ผม iV ถ้า V1... Vn เป็นเวกเตอร์พื้นที่ผ่านเหมือนมีวงแหวนปกติ R ฐาน G1 *, ... Gn * ตามลำดับ ในเอกสารนี้ เราแนะนำแนวคิดของ homomorphism เชิงเส้นที่แข็งแรงจากการ R - เวกเตอร์ V เป็นเวกเตอร์ R พื้นที่อื่น W และให้เงื่อนไขจำเป็น และเพียงพอของ homomorphism แบบเชิงเส้นจะ homomorphism ขอเชิงเส้น (ดูทฤษฎีบท 2.5) เราพิสูจน์ว่า G * เป็นพื้นฐานสำหรับ V แล้ว T(G*) เป็นพื้นฐานสำหรับ T(V) ที่ T: V → W เป็นการ isomorphism (ดูทฤษฎีบท 2.6)

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

แนวคิดของการขยายขอบเขตบูลีนของกลุ่มเป็นเพราะ ALFoster [1] เขาแสดงให้เห็นว่าองค์ประกอบของ R P-แหวนสามัคคีแต่ละสามารถแสดงเป็นประเภทของบูลีเวกเตอร์พีชคณิตบูลีนของทุกองค์ประกอบ idempotent ของอาร์ต่อคอก [4] และ Zemmer [9] ได้ง่ายหลักฐานการ AL ที่ ฟอสเตอร์เกี่ยวกับพื้นฐานที่ประกอบด้วยองค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์ของกลุ่มย่อยของสารเติมแต่งโดย R 1356 เค Venkateswarlu และเอ็น Amarnath องค์ประกอบความสามัคคี Subrahmanyam [5] แรงบันดาลใจจากแนวคิดของ ALFoster ได้นำความคิดของปริภูมิเวกเตอร์นามธรรมมากกว่าพีชคณิตแบบบูล (ปริภูมิเวกเตอร์บูลีนเพียงแค่) ในพื้นที่ความเป็นจริงแบบบูลเวกเตอร์เป็นลักษณะทั่วไปตามธรรมชาติของความคิดของ ALFoster นี้ ผลงานของการทำงาน Subrahmanyam อยู่ใน [5,6,7] ภายหลังราชา Gopala ราว [2] ได้ทั่วไปแนวคิดของพื้นที่ B-เวกเตอร์เพื่อเวกเตอร์พื้นที่มากกว่าปกติแหวน (เพียงพื้นที่ R-เวกเตอร์) เขาศึกษาคุณสมบัติหลาย ๆ อย่างของช่องว่างเหล่านี้ใน [2,3] generalizing ผลการ Subrahmanayam นอกจากนี้ยัง Venkateswarlu [8] ได้นำแนวคิดของผลบวกโดยตรงในการ R- เวกเตอร์พื้นที่และได้พิสูจน์ให้เห็นว่า) (Σพรรณี iG) * เป็นพื้นฐานสำหรับ a) (Σพรรณี iV ถ้า V1 ... ..Vn ช่องว่างเวกเตอร์มากกว่าปกติเดียวกัน แหวน R มีฐาน G1 * * * * * ...... Gn ตามลำดับ. ในบทความนี้เรานำเสนอแนวคิดของ homomorphism เชิงเส้นที่แข็งแกร่งจาก R- เวกเตอร์พื้นที่วีไปยังอีกพื้นที่ R-W เวกเตอร์และให้เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอของ homomorphism เส้น จะ homomorphism เชิงเส้นอย่างยิ่ง (ดูทฤษฎีบท 2.5) นอกจากนี้เราพิสูจน์ให้เห็นว่า G * เป็นพื้นฐานสำหรับ V แล้ว T (G *) เป็นพื้นฐานสำหรับ T (V) ที่ T A: V → W เป็นมอร์ฟ (ดูทฤษฎีบท 2.6)