Y. Imai and K. Is´eki introduced tw

Y. Imai and K. Is´eki introduced two classes of abstract algebras: BCK-algebras and
BCI-algebras ([3, 4]).
It is known that the class
of BCK-algebras is a
proper
subclass
of the class of BCI-algebras. In [1, 2] Q. P. Hu and X. Li introduced a wide class of
abstract algebras: BCH-algebras. They have shown that the class of BCI-algebras is a
proper subclass of the class of BCH-algebras. J. Neggers and H. S. Kim ([9]) introduced
the notion of d-algebras which is another generalization of BCK-algebras, and also they
introduced the notion of B-algebras ([10, 11]), i.e., (I) x ∗ x = 0; (II) x ∗ 0 = x; (III)
(x ∗ y) ∗ z = x ∗ (z ∗ (0 ∗ y)), for any x, y, z ∈ X, which is equivalent in some sense to the
groups. Moreover, Y. B. Jun, E. H. Roh and H. S. Kim ([7]) introduced a new notion,
called an BH-algebra, which is a generalization of BCH/BCI/BCK-algebras, i.e., (I); (II)
and (IV) x ∗ y = 0 and y ∗ x = 0 imply x = y for any x, y ∈ X. A. Walendziak obtained
the another equivalent axioms for B-algebra ([12]). H. S. Kim, Y. H. Kim and J. Neggers
([6]) introduced the notion a (pre-) Coxeter algebra and showed that a Coxeter algebra is
equivalent to an abelian group all of whose elements have order 2, i.e., a Boolean group. C.
B. Kim and H. S. Kim ([5]) introduced the notion of a BM-algebra which is a specialization
of B-algebras. They proved that the class of BM-algebras is a proper subclass of B-algebras
and also showed that a BM-algebra is equivalent to a 0-commutative B-algebra. In this
paper, as a generalization of a BCK-algebra, we introduce the notion of a BE-algebra, and
using the notion of upper sets we give an equivalent condition of the filter in BE-algebras.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

Y. Imai and K. Is´eki introduced two classes of abstract algebras: BCK-algebras andBCI-algebras ([3, 4]). It is known that the class of BCK-algebras is a proper subclassof the class of BCI-algebras. In [1, 2] Q. P. Hu and X. Li introduced a wide class ofabstract algebras: BCH-algebras. They have shown that the class of BCI-algebras is aproper subclass of the class of BCH-algebras. J. Neggers and H. S. Kim ([9]) introducedthe notion of d-algebras which is another generalization of BCK-algebras, and also theyintroduced the notion of B-algebras ([10, 11]), i.e., (I) x ∗ x = 0; (II) x ∗ 0 = x; (III)(x ∗ y) ∗ z = x ∗ (z ∗ (0 ∗ y)), for any x, y, z ∈ X, which is equivalent in some sense to thegroups. Moreover, Y. B. Jun, E. H. Roh and H. S. Kim ([7]) introduced a new notion,called an BH-algebra, which is a generalization of BCH/BCI/BCK-algebras, i.e., (I); (II)and (IV) x ∗ y = 0 and y ∗ x = 0 imply x = y for any x, y ∈ X. A. Walendziak obtainedthe another equivalent axioms for B-algebra ([12]). H. S. Kim, Y. H. Kim and J. Neggers([6]) introduced the notion a (pre-) Coxeter algebra and showed that a Coxeter algebra isequivalent to an abelian group all of whose elements have order 2, i.e., a Boolean group. C.B. Kim and H. S. Kim ([5]) introduced the notion of a BM-algebra which is a specializationof B-algebras. They proved that the class of BM-algebras is a proper subclass of B-algebrasและยัง พบว่า BM-พีชคณิตจะเทียบเท่ากับการสลับ 0 B พีชคณิต ในที่นี้กระดาษ เป็นลักษณะของ BCK-พีชคณิต เราแนะนำของจะพีชคณิต และเราใช้ของชุดบนให้สภาพเทียบเท่าของตัวกรองใน algebras จะ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

วาย Imai และเค Is'eki แนะนำสองชั้นเรียนของพีชคณิตนามธรรม: BCK-จีบและ
. BCI-จีบ ([3, 4])
เป็นที่รู้จักกันว่าชั้น
ของ BCK-จีบเป็น
ที่เหมาะสม
subclass
ของชั้นเรียนของ BCI -algebras ใน [1, 2] QP Hu และ X ลี่แนะนำระดับกว้างของ
พีชคณิตนามธรรม: BCH-จีบ พวกเขาได้แสดงให้เห็นว่าการเรียนของ BCI-จีบเป็น
คลาสย่อยที่เหมาะสมของชั้นเรียนของ BCH-จีบ เจ Neggers และ HS คิม ([9]) แนะนำ
ความคิดของ D-จีบราซึ่งเป็นลักษณะทั่วไปของ BCK-จีบอื่นและนอกจากนี้พวกเขา
นำความคิดของ B-จีบรา (ที่ [10, 11]) คือ (I) x * x = 0; (II) X * 0 = x; (III)
(x * y) * Z = X * (* Z (0 * y)) สำหรับ X ใด ๆ Y, Z ∈ X ซึ่งเทียบเท่าในความรู้สึกบางอย่างกับ
กลุ่ม นอกจากนี้ YB มิ.ย. EH ต้าและ HS คิม ([7]) แนะนำความคิดใหม่
ที่เรียกว่า BH-พีชคณิตซึ่งเป็นลักษณะทั่วไปของ BCH / BCI / BCK-จีบคือ (ผม); (II)
และ (iv) X * Y = 0 และ y * x = 0 บ่งบอก X = Y สำหรับ X ใด ๆ , y ∈ XA Walendziak ได้
อีกสัจพจน์เทียบเท่า B-พีชคณิต ([12]) HS คิมยุนโฮคิมและเจ Neggers
([6]) นำความคิดที่ (ก่อน) Coxeter พีชคณิตและแสดงให้เห็นว่าพีชคณิต Coxeter เป็น
เทียบเท่ากับคริสต์กลุ่มทั้งหมดขององค์ประกอบที่มีคำสั่งที่ 2 คือกลุ่มบูลีน ซี
บีคิมและ HS คิม ([5]) แนะนำความคิดของ BM-พีชคณิตซึ่งเป็นความเชี่ยวชาญ
ของ B-จีบ พวกเขาพิสูจน์ให้เห็นว่าระดับของ BM-จีบเป็นคลาสย่อยที่เหมาะสมของ B-จีบ
และยังแสดงให้เห็นว่า BM-พีชคณิตเทียบเท่ากับ 0 สับเปลี่ยน B-พีชคณิต ในการนี้
กระดาษเป็นลักษณะทั่วไปของ BCK พีชคณิตเราแนะนำความคิดของ BE-พีชคณิตและ
การใช้ความคิดของชุดบนที่เราให้เทียบเท่ากับเงื่อนไขของตัวกรองใน BE-จีบ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

วาย อิมาอิ และ K . เป็นใหม่ eki แนะนำสองชั้นของพีชคณิตนามธรรม bck พีชคณิตและพีชคณิต BCI ( [ 3 , 4 ] )มันเป็นที่รู้จักกันว่าคลาสของ bck พีชคณิตคือที่เหมาะสมคลาสย่อยของชั้นเรียนของพีชคณิต BCI . ใน [ 1 , 2 ] Q . P . Hu Li และแนะนำหลากหลายรุ่น Xพีชคณิตนามธรรมพีชคณิต : bch . พวกเขาได้แสดงให้เห็นว่าระดับของพีชคณิต BCI คือคลาสย่อยที่เหมาะสมของชั้นเรียนของ BCH พีชคณิต . เจ neggers และ H . S . Kim ( [ 9 ] ) แนะนำความคิดของ d-algebras ซึ่งเป็นอีกความเห็นของ bck พีชคณิต และยังแนะนำแนวคิดของ b-algebras ( [ 10 , 11 ) ได้แก่ ( i ) x ∗ x = 0 ; ( 2 ) x ∗ 0 = x ; ( 3 )( x ∗ Y ) ∗ z = x ∗ ( Z ∗ ( 0 ∗ Y ) ) สำหรับ x , y , z ∈ X , ซึ่งเทียบเท่ากับในความรู้สึกบางอย่างกลุ่ม นอกจากนี้ วาย บี จุน อี. เอช. เอช. เอส. คิมและ ROH ( [ 7 ] ) นำความคิดใหม่เรียกว่า BH พีชคณิตซึ่งเป็นลักษณะทั่วไปของ BCH / / bck พีชคณิต BCI ได้แก่ ( i ) ; ( 2 )และ ( 4 ) x ∗ Y = 0 Y ∗ x = 0 หมายความว่า x = y สำหรับ x , y ∈ X . . walendziak ได้รับอีกเทียบเท่าสัจพจน์สำหรับ b-algebra ( [ 12 ] ) . . คิม คิมเจและ neggers Y h( [ 6 ] ) แนะนำความคิด ( pre - ) Coxeter Coxeter พีชคณิตพีชคณิต และพบว่าเป็นเท่ากับเป็นอาบีเลียนกรุปทั้งหมดที่มีองค์ประกอบมี 2 ใบ คือ กลุ่มตรรกะ . C .บี คิม และ H . S . Kim ( [ 5 ] ) แนะนำความคิดของพีชคณิตซึ่งมีความเชี่ยวชาญงานของ b-algebras . พวกเขาพิสูจน์ว่า รุ่น BM พีชคณิตเป็น subclass ของ b-algebras เหมาะสมและยังพบว่า BM พีชคณิตเทียบเท่ากับ b-algebra 0-commutative . ในนี้กระดาษ เป็นลักษณะทั่วไปของ bck พีชคณิต เราแนะนำว่าเป็นพีชคณิตและการใช้ความคิดของชุดบนเราให้เทียบเท่ากับสภาพของตัวกรองในพีชคณิต .