Forum GeometricorumVolume 5 (2005)

Forum Geometricorum
Volume 5 (2005) 191–195. b b
b
b
FORUM GEOM
ISSN 1534-1178
A Gergonne Analogue of the Steiner - Lehmus Theorem
K. R. S. Sastry
Abstract. In this paper we prove an analogue of the famous Steiner - Lehmus
theorem from the Gergonne cevian perspective.
1. Introduction
Can a theorem be both famous and infamous simultaneously? Certainly there is
one such in Euclidean Geometry if the former is an indicator of a record number
of correct proofs and the latter an indicator of a record number of incorrect ones.
Most school students must have found it easy to prove the following: The angle
bisectors of equal angles of a triangle are equal. However, not many can prove its
converse theorem correctly:
Theorem 1 (Steiner-Lehmus). If two internal angle bisectors of a triangle are
equal, then the triangle is isosceles.
According to available history, in 1840 a Berlin professor named C. L. Lehmus
(1780-1863) asked his contemporary Swiss geometer Jacob Steiner for a proof
of Theorem 1. Steiner himself found a proof but published it in 1844. Lehmus
proved it independently in 1850. The year 1842 found the first proof in print
by a French mathematician [3]. Since then mathematicians and amateurs alike
have been proving and re-proving the theorem. More than 80 correct proofs of the
Steiner - Lehmus theorem are known. Even larger number of incorrect proofs have
been offered. References [4, 5] provide extensive bibliographies on the Steiner -
Lehmus theorem.
For completeness, we include a proof by M. Descube in 1880 below, recorded
in [1, p.235]. The aim of this paper is to prove an analogous theorem in which
we consider the equality of two Gergonne cevians. We offer two proofs of it and
then consider an extension. Recall that a Gergonne cevian of a triangle is the line
segment connecting a vertex to the point of contact of the opposite side with the
incircle.
2. Proof of the Steiner - Lehmus theorem
Figure 1 shows the bisectors BE and CF of ∠ABC and ∠ACB. We assume
BE = CF. If AB
= AC, let AB < AC, i.e., ∠ACB < ∠ABC or C
2 < B
2 . A
Publication Date: December 20, 2005. Communicating Editor: Paul Yiu.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ฟอรั่ม Geometricorumเล่ม 5 (2005) 191-195 บีบีbbGEOM ฟอรั่มนอก 1534-1178อนาล็อก Gergonne ของสไตเนอร์ - ทฤษฎีบท Lehmusคุณ R. S. Sastryบทคัดย่อ ในเอกสารนี้ เราพิสูจน์เป็นอนาล็อกของสไตเนอร์มีชื่อเสียง - Lehmusทฤษฎีบทจากมุมมองของ cevian Gergonne1. บทนำทฤษฎีบทสามารถมีชื่อเสียง และอับอายพร้อมกัน แน่นอนมีหนึ่งเช่นในทางเรขาคณิต Euclidean ถ้าอดีตเป็นตัวบ่งชี้หมายเลขเรกคอร์ดหลักฐานที่ถูกต้องและหลังตัวบ่งชี้จำนวนระเบียนไม่ถูกต้องนักเรียนส่วนใหญ่ต้องพบจะต้องพิสูจน์ต่อไปนี้: มุมbisectors เท่ากับมุมของรูปสามเหลี่ยมเท่ากัน อย่างไรก็ตาม ไม่มากสามารถพิสูจน์ความทฤษฎีบทสนทนาได้อย่างถูกต้อง:ทฤษฎีบทที่ 1 (สไตเนอร์-Lehmus) ถ้าสอง bisectors มุมภายในของรูปสามเหลี่ยมเท่า แล้วรูปสามเหลี่ยมเป็นหน้าจั่วทรงตามประวัติมี ใน 1840 ศาสตราจารย์เบอร์ลินชื่อ C. L. Lehmus(ค.ศ. 1780 - วันที่ 1863) ขอเขา geometer สวิสสมัยยาโคบ Steiner เป็นหลักฐานทฤษฎีบท 1 สไตเนอร์เองพบหลักฐาน แต่เผยแพร่ใน 1844 Lehmusพิสูจน์ได้โดยอิสระใน 1850 ปี 1842 พบหลักฐานครั้งแรกในการพิมพ์โดยนักคณิตศาสตร์เป็นภาษาฝรั่งเศส [3] แล้ว mathematicians และมือสมัครเล่นเหมือนกันมีการพิสูจน์ และการพิสูจน์ทฤษฎีบท หลักฐานที่ถูกต้องมากกว่า 80 ของการสไตเนอร์ - ทฤษฎีบท Lehmus เป็นที่รู้จักกัน มีขนาดใหญ่กว่าจำนวนหลักฐานไม่ถูกต้องการนำเสนอ อ้างอิง [4, 5] ให้ bibliographies หลากหลายสไตเนอร์-ทฤษฎีบท Lehmusสำหรับความสมบูรณ์ เรารวมกัน โดย M. Descube ใน 1880 ด้านล่าง บันทึกใน [p.235 1 ] จุดประสงค์ของเอกสารนี้คือการ พิสูจน์ทฤษฎีบทเป็นคู่ที่เราพิจารณาความเสมอภาคของสอง Gergonne cevians เรามีหลักฐานทั้งสองของมัน และแล้ว พิจารณาส่วนขยาย นึกว่า cevian Gergonne เป็นรูปสามเหลี่ยมบรรทัดเซ็กเมนต์ที่เชื่อมต่อจุดยอดกับจุดของผู้ติดต่อของฝั่งตรงข้ามกับวงกลมแนบใน2. หลักฐานของสไตเนอร์ - ทฤษฎีบท Lehmusรูปที่ 1 แสดง bisectors จะและ CF ของ ∠ABC และ ∠ACB เราคิดว่า= CF. ถ้า AB = AC ให้ AB < AC เช่น ∠ACB < ∠ABC หรือ C2 < B2 Aวันเผยแพร่: 20 ธันวาคม 2005 บรรณาธิการสื่อสาร: Paul Yiu

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ฟอรั่ม Geometricorum
ปริมาณ 5 (2005) 191-195 bb
ข
ข
FORUM GEOM
ISSN 1534-1178
Gergonne อะนาล็อกของทิ - Lehmus ทฤษฎีบท
เค อาร์เอส Sastry
บทคัดย่อ ในบทความนี้เราพิสูจน์อนาล็อกที่มีชื่อเสียงทิ - Lehmus
. ทฤษฎีบทจากมุมมองของ Gergonne cevian
1 บทนำ
ทฤษฎีบทสามารถเป็นได้ทั้งที่มีชื่อเสียงและน่าอับอายไปพร้อม ๆ กัน? แน่นอนว่ามี
อย่างใดอย่างหนึ่งดังกล่าวในรูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิดถ้าอดีตเป็นตัวบ่งชี้ของการบันทึกหมายเลข
. บทพิสูจน์ที่ถูกต้องและหลังตัวบ่งชี้ของการบันทึกหมายเลขของคนที่ไม่ถูกต้อง
ส่วนใหญ่นักเรียนในโรงเรียนจะต้องได้พบว่ามันง่ายที่จะพิสูจน์ต่อไปนี้: มุม
bisectors มุมที่เท่ากันของรูปสามเหลี่ยมเท่ากัน แต่ไม่มากสามารถพิสูจน์ของ
ทฤษฎีบทสนทนาอย่างถูกต้อง:
ทฤษฎีบทที่ 1 (ทิ-Lehmus) หากทั้งสองเส้นแบ่งครึ่งมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมจะ
เท่ากันแล้วรูปสามเหลี่ยมเป็นหน้าจั่ว.
ตามประวัติที่มีอยู่ในปี 1840 เบอร์ลินอาจารย์ชื่อ CL Lehmus
(1780-1863) ถามจาค็อบร่วมสมัยชาวสวิสเรขาคณิตของเขาทิสำหรับการพิสูจน์
ทฤษฎีบท 1. ทิ ตัวเองพบหลักฐาน แต่การตีพิมพ์ใน 1844 Lehmus
พิสูจน์แล้วว่ามันเป็นอิสระในปี ค.ศ. 1850 ในปี 1842 พบหลักฐานครั้งแรกในการพิมพ์
โดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส [3] ตั้งแต่นั้นมานักคณิตศาสตร์และมือสมัครเล่นเหมือนกัน
ได้รับการพิสูจน์และ re-พิสูจน์ทฤษฎีบท กว่า 80 บทพิสูจน์ที่ถูกต้องของ
สทิ - ทฤษฎีบท Lehmus เป็นที่รู้จัก ตัวเลขขนาดใหญ่ของการพิสูจน์ที่ไม่ถูกต้องได้
รับการเสนอ อ้างอิง [4, 5] ให้บรรณานุกรมอย่างกว้างขวางในทิ -
. ทฤษฎีบท Lehmus
เพื่อความสมบูรณ์เรารวมถึงหลักฐานโดยเอ็ม Descube ในปี 1880 ต่ำกว่าที่บันทึกไว้
ใน [1, p.235] จุดมุ่งหมายของการวิจัยนี้คือการพิสูจน์ทฤษฎีบทคล้ายคลึงในการที่
เราพิจารณาความเท่าเทียมกันของสอง cevians Gergonne เรามีสองพยานของมันและ
แล้วพิจารณาขยาย จำได้ว่า cevian Gergonne ของรูปสามเหลี่ยมเป็นสาย
ส่วนการเชื่อมต่อจุดสุดยอดไปยังจุดของการติดต่อของฝั่งตรงข้ามกับ
incircle.
2 หลักฐานการสทิ - ทฤษฎีบท Lehmus
รูปที่ 1 แสดงเส้นแบ่งครึ่ง พ.ศ. และ CF ของ∠ABCและ∠ACB เราคิด
พ.ศ. = CF. ถ้า AB = AC ให้ AB <AC คือ∠ACB <∠ABCหรือ C
2 <B
2
วันที่ตีพิมพ์: วันที่ 20 ธันวาคม 2005 การสื่อสารบรรณาธิการ: พอลยู

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ปริมาณ geometricorum
ฟอรั่ม 5 ( 2005 ) 193 – 195 . B B :
b
B

ชื่อฟอรั่ม กึม 1534-1178
เป็น gergonne อนาล็อกของเนอร์ทฤษฎีบท
K . R . s - lehmus sastry
นามธรรม ในกระดาษนี้เราพิสูจน์อะนาล็อกที่มีชื่อเสียงของเนอร์ - lehmus
ทฤษฎีบทจาก gergonne cevian มุมมอง .
1 บทนำ
สามารถทฤษฎีบทมีทั้งชื่อเสียงและน่าอับอายได้พร้อมกัน แน่นอนว่ามี
เช่นในโบราณคดีเกี่ยวกับความตายหากอดีตเป็นตัวบ่งชี้ของการบันทึกหมายเลข
หลักฐานที่ถูกต้องและหลังตัวบ่งชี้หมายเลขระเบียนที่ไม่ถูกต้อง .
นักเรียนส่วนใหญ่ต้องพบมันง่ายที่จะพิสูจน์ต่อไป : มุม
bisectors ของมุมของรูปสามเหลี่ยมเท่ากันจะเท่ากัน แต่ไม่กี่สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทของ
สนทนาได้อย่างถูกต้อง :
1 ทฤษฎีบท ( Steiner lehmus )ถ้าสองภายในมุมของสามเหลี่ยมเป็น bisectors
เท่ากันแล้ว รูปสามเหลี่ยมเป็นหน้าจั่ว .
ตามประวัติศาสตร์ที่มีอยู่ใน 1840 เบอร์ลินศาสตราจารย์ชื่อ ซี. แอล. lehmus
( 1780-1863 ) ถาม Geometer สวิสร่วมสมัยยาโคบเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบท Steiner
1 สไตเนอร์ตัวเองพบหลักฐานแต่ตีพิมพ์ใน 1844 . lehmus
พิสูจน์มันได้อย่างอิสระใน 1850 ปี 1842 พบหลักฐานแรกพิมพ์
โดยนักคณิตศาสตร์ฝรั่งเศส [ 3 ] จากนั้นนักคณิตศาสตร์และมือสมัครเล่นเหมือนกัน
ได้รับการ พิสูจน์ และพิสูจน์ทฤษฎีบท มากกว่า 80 ถูกต้องหลักฐาน
สไตเนอร์ - lehmus ทฤษฎีบทเป็นที่รู้จักกัน จำนวนของหลักฐานที่ไม่ถูกต้องแม้มีขนาดใหญ่มี
ถูกเสนอ เอกสารอ้างอิง [ 4 , 5 ] ให้กว้างขวางบรรณานุกรมบนสไตเนอร์ -

lehmus ทฤษฎีบท เพื่อความสมบูรณ์ เรารวมพิสูจน์โดยม.descube ในปี 1880 ด้านล่าง บันทึกใน p.235
[ 1 ] วัตถุประสงค์ของการวิจัยนี้คือ เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทที่คล้ายกันซึ่ง
เราพิจารณาความเท่าเทียมกันของทั้งสอง gergonne cevians . เรามีสองปรู๊ฟแล้ว
แล้วพิจารณาส่วนขยาย จำได้ว่า gergonne cevian ของสามเหลี่ยมคือบรรทัด
ส่วนเชื่อมต่อจุดยอดถึงจุดของการติดต่อ ด้านตรงข้ามกับวงกลมแนบใน
.
2ข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบท Steiner -
lehmus รูปที่ 1 แสดง bisectors และ CF ABC และ∠∠ ACB . เราถือว่าเป็น
CF ถ้า AB =
= AC ให้ ab < AC คือ∠ ACB < ∠ ABC หรือ C
2 < b
2 a
ประกาศวันที่ : 20 ธันวาคม 2005 การแก้ไข : พอล หยู