Image and preimage[edit]Main articl

Image and preimage[edit]
Main article: Image (mathematics)

The graph of the function f(x) = x3 − 9x2 + 23x − 15. The interval A = [3.5, 4.25] is a subset of the domain, thus it is shown as part of the x-axis (green). The image of A is (approximately) the interval [−3.08, −1.88]. It is obtained by projecting to the y-axis (along the blue arrows) the intersection of the graph with the light green area consisting of all points whose x-coordinate is between 3.5 and 4.25. the part of the (vertical) y-axis shown in blue. The preimage of B = [1, 2.5] consists of three intervals. They are obtained by projecting the intersection of the light red area with the graph to the x-axis.
If A is any subset of the domain X, then f(A) is the subset of the codomain Y consisting of all images of elements of A. We say the f(A) is the image of A under f. The image of f is given by f(X). On the other hand, the inverse image (or preimage, complete inverse image) of a subset B of the codomain Y under a function f is the subset of the domain X defined by

f^{-1}(B) = {x in X : f(x) in B}.
So, for example, the preimage of {4, 9} under the squaring function is the set {−3,−2,2,3}. The term range usually refers to the image,[7] but sometimes it refers to the codomain.

By definition of a function, the image of an element x of the domain is always a single element y of the codomain. Conversely, though, the preimage of a singleton set (a set with exactly one element) may in general contain any number of elements. For example, if f(x) = 7 (the constant function taking value 7), then the preimage of {5} is the empty set but the preimage of {7} is the entire domain. It is customary to write f−1(b) instead of f−1({b}), i.e.

f^{-1}(b) = {x in X : f(x) = b}.
This set is sometimes called the fiber of b under f.

Use of f(A) to denote the image of a subset A ⊆ X is consistent so long as no subset of the domain is also an element of the domain. In some fields (e.g., in set theory, where ordinals are also sets of ordinals) it is convenient or even necessary to distinguish the two concepts; the customary notation is f[A] for the set { f(x): x ∈ A }. Likewise, some authors use square brackets to avoid confusion between the inverse image and the inverse function. Thus they would write f−1[B] and f−1[b] for the preimage of a set and a singleton.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ภาพและ preimage [แก้]บทความหลัก: ภาพ (คณิตศาสตร์)กราฟ f(x) ฟังก์ชัน = x 3 − 2 + 9 x 23 x − 15 ช่วง = [3.5, 4.25] เป็นเซตย่อยของโดเมน ดังนั้น มันจะแสดงเป็นส่วนหนึ่งของแกน x (สีเขียว) ภาพของ A คือ (โดยประมาณ) ช่วง [−3.08, −1.88] มันจะได้รับ โดยการฉายภาพแกน y (ตามลูกศรสีน้ำเงิน) จุดตัดของกราฟกับพื้นที่สีเขียวอ่อนประกอบด้วยจุดพิกัด x ที่อยู่ระหว่าง 3.5 และ 4.25 ส่วนของแกน y (แนวตั้ง) ที่แสดงเป็นสีน้ำเงิน Preimage ของ B = [1, 2.5] ประกอบด้วยสามช่วง พวกเขาได้รับ โดยการฉายภาพของแสงสีแดงพื้นที่มีกราฟกับแกนถ้า A เป็นเซตย่อยใด ๆ ของโดเมน X แล้ว f(A) เป็นชุดย่อยของ codomain Y ประกอบด้วยรูปภาพทั้งหมดขององค์ประกอบของก. เราบอกว่า f(A) มีภาพของภายใต้ f ภาพของ f ถูกกำหนด โดย f(X) บนมืออื่น ๆ ภาพผกผัน (หรือภาพผกผัน preimage สมบูรณ์) ของชุดย่อย B ของ codomain Y ภายใต้ f ฟังก์ชันเป็นเซตย่อยของ X กำหนดโดยโดเมนf^{-1}(B) = {x in X: f(x) in B }ดังนั้น เช่น preimage ของ {4, 9 } ภายใต้ฟังก์ชัน squaring เป็น { −3,-2, 2, 3 } ช่วงระยะมักจะหมายถึงรูป, [7] แต่บางครั้งมันหมายถึงการ codomainจากนิยามของฟังก์ชัน ภาพขององค์ประกอบ x ของโดเมนจะ y เป็นองค์ประกอบหนึ่งของ codomain ที่ ในทางกลับกัน preimage ของแบบชุด (ชุดเดียวประกอบด้วย) โดยทั่วไปใช้หมายเลขใด ๆ ขององค์ประกอบ เช่น ถ้า f(x) = 7 (การฟังก์ชันคงค่า 7), แล้วชุดว่างเปล่า preimage ของ {5} แต่ preimage ของ {7} ทั้งโดเมน เป็นปกติที่จะเขียน f−1(b) แทน f−1({b}) เช่นf^{-1}(b) = {x in X: f(x) = b }ชุดนี้บางครั้งเรียกว่าเส้นใยของ b ภายใต้ fใช้ f(A) เพื่อแสดงภาพของการ⊆ A ย่อย X ไม่สอดคล้องกันตราบใดที่ยังไม่ย่อยของโดเมนเป็นองค์ประกอบของโดเมน ในฟิลด์บางฟิลด์ (เช่น ในทฤษฎีเซต เลขระบุยังชุดเลขระบุ) จะสะดวก หรือแม้แต่จำเป็นต้องแยกแนวคิดที่สอง แสดงประเพณีไม่ f [A] ชุด { f(x): x ∈ A } ในทำนองเดียวกัน ผู้เขียนบางคนใช้วงเล็บเหลี่ยมเพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนระหว่างภาพผกผันและฟังก์ชันผกผัน ดังนั้น พวกเขาจะเขียน f−1 [B] และ f−1 [b] สำหรับ preimage ของชุดและแบบ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

รูปภาพและ preimage [แก้ไข]
บทความหลัก: ภาพ (คณิตศาสตร์) กราฟของฟังก์ชัน f (x) = X3 - 9x2 + 23x - 15 ช่วง A = [3.5, 4.25] เป็นส่วนหนึ่งของโดเมนจึงเป็น แสดงให้เห็นว่าเป็นส่วนหนึ่งของแกน x (สีเขียว) ภาพของเป็น (โดยประมาณ) ช่วง [-3.08, -1.88] มันจะได้รับโดยการฉายกับแกน y (พร้อมลูกศรสีฟ้า) จุดตัดของกราฟที่มีพื้นที่สีเขียวอ่อนประกอบด้วยทุกจุดที่มีพิกัด x อยู่ระหว่าง 3.5 และ 4.25 ส่วนหนึ่งของ (แนวตั้ง) แกน y ที่แสดงในสีฟ้า preimage ของ B = [1, 2.5] ประกอบด้วยสามช่วง พวกเขาจะได้รับโดยการฉายจุดตัดของพื้นที่สีแดงแสงที่มีกราฟกับแกน x. ถ้าเป็นกลุ่มย่อยของโดเมน X ใด ๆ แล้ว f (A) เป็นส่วนหนึ่งของ Y โคโดเมนประกอบด้วยภาพทั้งหมดขององค์ประกอบของ A. เราบอกว่า f (A) เป็นภาพของภายใต้ฉ ภาพของ F จะได้รับจาก f (x) บนมืออื่น ๆ , ภาพที่ผกผัน (หรือ preimage ภาพผกผันสมบูรณ์) ของระบบย่อย B ของโคโดเมน Y ภายใต้ฟังก์ชัน f เป็นกลุ่มย่อยของโดเมน X ที่กำหนดโดยF ^ {- 1} (B) = {x in x:. f (x) in B } ดังนั้นสำหรับตัวอย่างเช่น preimage ของ {4} 9 ภายใต้ฟังก์ชั่น squaring เป็นชุด {-3, -2,2,3} ช่วงระยะมักจะหมายถึงภาพ [7] แต่บางครั้งก็หมายถึงโคโดเมนได้. ตามคำนิยามของฟังก์ชั่นภาพของ X องค์ประกอบของโดเมนอยู่เสมอ Y องค์ประกอบเดียวของโคโดเมน ตรงกันข้ามแม้ว่า preimage ชุดเดี่ยว (ชุดตรงกับองค์ประกอบหนึ่ง) อาจทั่วไปประกอบด้วยจำนวนขององค์ประกอบใด ๆ ตัวอย่างเช่นถ้า f (x) = 7 (ฟังก์ชั่นการคงค่า 7) แล้ว preimage ของ {5} เป็นเซตว่าง แต่ preimage ของ {7} เป็นทั้งโดเมน มันเป็นธรรมเนียมที่จะเขียน F-1 (ข) แทน F-1 ({ข}) คือF ^ {- 1} (B) = {x in X: f (x) = b }. นี้ ชุดบางครั้งเรียกว่าเส้นใยของ B ภายใต้ฉ. การใช้งานของ f (A) เพื่อแสดงภาพของระบบย่อยของ A ⊆ X สอดคล้องตราบใดที่ระบบย่อยของโดเมนไม่มียังเป็นองค์ประกอบของโดเมนที่ ในบางสาขา (เช่นในการตั้งทฤษฎีที่เลขนี้ยังมีชุดเลข) ก็จะสะดวกหรือแม้กระทั่งความจำเป็นที่จะแยกแยะความแตกต่างทั้งสองแนวคิด; สัญกรณ์จารีตประเพณีเป็น F [A] สำหรับชุด {f (x): x ∈ A} ในทำนองเดียวกันบางคนเขียนใช้วงเล็บเหลี่ยมหลีกเลี่ยงความสับสนระหว่างภาพที่ผกผันและฟังก์ชันผกผัน ดังนั้นพวกเขาจะเขียน F-1 [b] และ F-1 [b] สำหรับ preimage ของชุดและเดี่ยวที่

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ภาพและบุพภาพ [ แก้ไข ]บทความหลัก : ( คณิตศาสตร์ ) ภาพกราฟของฟังก์ชัน f ( x ) = x 3 − 9x2 + 23x − 15 ช่วงเวลา : = [ 3.5 , 4.25 ] เป็นเซตย่อยของโดเมน ดังนั้นมันจึงจะแสดงเป็นส่วนหนึ่งของแกน x ( สีเขียว ) รูปภาพของ ( ประมาณ ) ช่วงเวลา [ − 3.08 , − 1.88 ] มันได้มาจากการฉายในแกน Y ( ตามลูกศรสีฟ้า ) จุดตัดของกราฟที่มีไฟสีเขียว พื้นที่ประกอบด้วยทุกจุดที่มีกลไกควบคุมควบคุมจากภายในอยู่ระหว่าง 3.5 และ 4.25 . ส่วนของ ( แนวตั้ง ) แกน Y แสดงในสีฟ้า ส่วนบุพภาพ B = [ 1 , 2 ] แบ่งออกเป็น 3 ช่วง พวกเขาจะได้รับโดยการแยกไฟแดงบริเวณกับกราฟกับแกน Xถ้าเป็นเซตย่อยของโดเมน x , f ( ) เป็นเซตย่อยของโคโดเมน Y ประกอบด้วยรูปภาพทั้งหมดขององค์ประกอบของ อ. เราบอกว่า F ( ) เป็นภาพของได้ที่ F . ภาพ F ให้ f ( x ) บนมืออื่น ๆ , ภาพตรงกันข้าม ( หรือบุพภาพ , ภาพตรงกันข้ามสมบูรณ์ ) ของส่วนย่อย B ของโคโดเมน Y ภายใต้ฟังก์ชัน f คือเซตย่อยของโดเมนเอ็กซ์ กําหนดโดยf ^ { - 1 } ( B ) = { x x : f ( x ) b }ดังนั้น ตัวอย่างเช่น บุพภาพ { 4 , 9 } ภายใต้ squaring ฟังก์ชันเป็นชุด { − 3 , − 2,2,3 } ช่วงระยะมักจะหมายถึงภาพ [ 7 ] แต่บางครั้งก็หมายถึงการโจโคโบะ .โดยนิยามของฟังก์ชัน ภาพลักษณ์ของธาตุ X ของโดเมนเป็นองค์ประกอบเดียว Y ของโจโคโบะ . ในทางกลับกัน แม้ว่า บุพภาพของ Singleton ชุด ( ชุดตรงกับองค์ประกอบหนึ่ง ) อาจจะโดยทั่วไปประกอบด้วยหมายเลขใด ๆขององค์ประกอบ ตัวอย่างเช่น ถ้า f ( x ) = 7 ( ฟังก์ชันคงค่ารับ 7 ) แล้วบุพภาพ { 5 } เป็นเซตว่างแต่บุพภาพ { 7 } เป็นโดเมนทั้งหมด มันเป็นประเพณีที่จะเขียน F − 1 ( B ) แทน F − 1 ( { b } ) นั่นคือf ^ { - 1 } ( B ) = { x x : f ( x ) = b }ชุดนี้บางครั้งเรียกว่าเส้นใย B ได้ที่ Fใช้ F ( ) เพื่อแสดงถึงภาพลักษณ์ของส่วนย่อยเป็น⊆ x ที่สอดคล้อง ตราบใดที่ไม่ย่อยของโดเมนยังเป็นองค์ประกอบของโดเมน ในบางสาขา เช่น ในทฤษฎีที่ ordinals ยังมีชุด ordinals ) มันสะดวก หรือแม้แต่ต้องแยกสองแนวคิด สัญลักษณ์จารีตประเพณีเป็น F [ ] สำหรับชุด { f ( x ) x ∈เป็น } อนึ่ง ผู้เขียนบางรายใช้วงเล็บเหลี่ยม เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนระหว่างภาพที่ผกผันและฟังก์ชันผกผัน ดังนั้น พวกเขาจะเขียน F − 1 [ / b ] และ [ b ] F − 1 สำหรับบุพภาพชุดและโรงพยาบาล .