Thus not all mathematical theorems

Thus not all mathematical theorems and hence not all the truths of mathematics can be derived from the axioms of logic alone. This means that the axioms of mathematics are not eliminable in favour of those of logic. Mathematical theorems depend on an irreducible set of mathematical assumptions. Indeed, a number of important mathematical axioms are independent, and either they or their negation can be adopted, without inconsister.cy (Cohen, 1966). Thus the second claim of logicism is refuted
To overcome this problem Russell retracted to a weaker version of logicism called ‘if-thenism’, which claims that pure mathematics consists of implication statements of the form ‘A-T’. According to this view, as before, mathematical truths are established as theorems by logical proofs.
Each of these theorems (T) becomes the consequent in an implication statement. The conjunction of mathematical axioms (A) used in the proof are incorporated into the implication statement as its antecedent (see Carnap, 1931). Thus all the mathematical assumptions (A) on which the theorem (T) depends are now incorporated into the new form of the theorem (A-T), obviating the need for mathematical axioms.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

จึงมีทางคณิตศาสตร์ทฤษฎี และดัง จริงไม่ทั้งหมดของวิชาคณิตศาสตร์สามารถได้รับมาจากสัจพจน์ของตรรกะเดียวกัน ซึ่งหมายความ ว่า สัจพจน์ของคณิตศาสตร์ไม่ eliminable ลงของตรรกะ ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ขึ้นอยู่กับสมมติฐานทางคณิตศาสตร์ชุดเป็นอย่างต่ำ จำนวนสัจพจน์ของคณิตศาสตร์ความสำคัญแท้จริง เป็นอิสระ และพวกเขาหรือปฏิเสธความสามารถสามารถนำมา ใช้ โดย inconsister.cy (โคเฮน 1966) จึง เป็นการโต้แย้งอ้างสองของ logicism
จะเอาชนะปัญหานี้รัสเซลหดรุ่น logicism ที่เรียกว่า 'ถ้า-thenism' แข็งแกร่ง ซึ่งอ้างว่า คณิตศาสตร์บริสุทธิ์ประกอบด้วยงบปริยายของแบบ 'A-T' ตามมุมมองนี้ ก่อน เป็น เว็บคณิตศาสตร์จะสร้างเป็นทฤษฎี โดยตรรกะปรู๊ฟ
ของทฤษฎีเหล่านี้ (T) จะตามมาในคำสั่งปริยาย ร่วมของคณิตศาสตร์สัจพจน์ (A) ใช้ในการพิสูจน์จะรวมอยู่ในยอดปริยายเป็น antecedent ของ (ดู Carnap, 1931) ดังนั้น ทั้งหมดที่คณิตศาสตร์สมมติฐาน (A) ขึ้นทฤษฎีบท (T) มีตอนนี้รวมอยู่ในรูปแบบใหม่ของทฤษฎีบท (A-T), obviating สำหรับสัจพจน์ทางคณิตศาสตร์

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ดังนั้นไม่ทั้งหมดทฤษฎีทางคณิตศาสตร์และด้วยเหตุนี้ไม่จริงทั้งหมดของคณิตศาสตร์จะได้รับจากหลักการของตรรกะเพียงอย่างเดียว ซึ่งหมายความว่าหลักการของคณิตศาสตร์ที่ไม่ได้กำจัดในความโปรดปรานของผู้ตรรกะ ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ขึ้นอยู่กับการตั้งค่าที่ลดลงของสมมติฐานทางคณิตศาสตร์ อันที่จริงจำนวนของหลักการทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญมีความเป็นอิสระและทั้งพวกเขาหรือการปฏิเสธของพวกเขาสามารถนำมาใช้โดยไม่ต้อง inconsister.cy (โคเฮน 1966) จึงเรียกร้องที่สองของ logicism จะข้องแวะ
เพื่อเอาชนะปัญหารัสเซลหดไปเป็นรุ่นที่ปรับตัวลดลงของ logicism เรียกว่า 'ถ้า-thenism' ซึ่งอ้างว่าคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ประกอบด้วยงบความหมายของรูปแบบ '-T' นี้ ตามมุมมองนี้เป็นมาก่อนความจริงทางคณิตศาสตร์ที่ได้รับการยอมรับว่าเป็นทฤษฎีโดยพิสูจน์ตรรกะ
แต่ละทฤษฎีบทเหล่านี้ (T) จะกลายเป็นผลเนื่องมาจากในงบความหมาย ร่วมของหลักการทางคณิตศาสตร์ () ที่ใช้ในการพิสูจน์จะรวมอยู่ในคำความหมายเป็นมาก่อน (ดู Carnap 1931) ดังนั้นทุกข้อสมมติฐานทางคณิตศาสตร์ (A) ที่ทฤษฎีบท (T) ขึ้นอยู่จะรวมตอนนี้เป็นรูปแบบใหม่ของทฤษฎีบท (AT), ขจัดความจำเป็นในการหลักการทางคณิตศาสตร์

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์และดังนั้นจึงไม่ทั้งหมดไม่ใช่ความจริงของคณิตศาสตร์สามารถได้มาจากสัจพจน์ของตรรกะเพียงอย่างเดียว นี่หมายความว่า สัจพจน์คณิตศาสตร์ไม่ eliminable ในความโปรดปรานของตรรกะ ทฤษฎีบทคณิตศาสตร์ขึ้นอยู่กับชุดลดข้อสมมติฐานทางคณิตศาสตร์ แน่นอน จำนวนของสัจพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญเป็นอิสระแล้วให้พวกเขาหรือปฏิเสธของพวกเขาสามารถนำมาใช้โดยไม่ inconsister.cy ( Cohen , 1966 ) ดังนั้น ข้อเรียกร้องที่สองของตรรกเป็น refuted
เพื่อเอาชนะปัญหานี้ รัสเซล ถอนฟ้องเพื่อรุ่นแข็งแกร่งของตรรกที่เรียกว่า ' ถ้า thenism ' ซึ่งอ้างว่าคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ประกอบด้วยความนัยในงบของ a-t ฟอร์ม ' ' จากมุมมองนี้ , ก่อนความจริงทางคณิตศาสตร์ โดยก่อตั้งเป็นทฤษฎีบทพิสูจน์ตรรกะ .
แต่ละทฤษฎีบทเหล่านี้ ( T ) จะกลายเป็นผลในความนัยข้อความ การร่วมของสัจพจน์ทางคณิตศาสตร์ ( ) ใช้ในการพิสูจน์จะรวมอยู่ในความหมายของคําสั่งมาก่อนเห็นคาร์แน็ป , 1931 )ดังนั้นทั้งหมดคณิตศาสตร์สมมติฐาน ( ) ที่ทฤษฎีบท ( T ) ขึ้นอยู่ตอนนี้รวมอยู่ในรูปแบบใหม่ของทฤษฎีบท ( a-t ) , obviating
สัจพจน์ทางคณิตศาสตร์