Understanding FractionsStage: 1 and

Understanding Fractions
Stage: 1 and 2
Article by Jennie Pennant and Liz Woodham
Published November 2013.

Introduction
At NRICH, our aim is to offer rich tasks which develop deep understanding of mathematical concepts rather than contexts which promote shallow engagement with the underlying mathematics. Of course, by their very nature, rich tasks will also provide opportunities for children to work like a mathematician and so help them develop their problem-solving skills alongside this conceptual understanding. Such tasks also provide valuable opportunities for you to assess where children have got to in their thinking and so support the next steps on their learning journey.

The new National Curriculum in England becomes statutory in September 2014 and in terms of fractions, it is more demanding compared with the current curriculum. To support children in meeting these higher demands for fractions it is important to make sure they have lots of practical and varied experience using objects, shapes and quantities, have experience of rich tasks that stimulate and challenge their thinking and are given models and images rather than 'tricks' to support their growing understanding of fractions.

In this article, we offer links to rich tasks (found in our Fractions feature) which will help develop the underlying concepts associated with fractions and some suggestions for models and images that help support ideas around fractions.

Why do children find fractions difficult?
Difficulties with fractions often stem from the fact that they are different from natural numbers in that they are relative rather than a fixed amount - the same fraction might refer to different quantities and different fractions may be equivalent (Nunes, 2006). Would you rather have one quarter of £20 or half of £5? The fact that a half is the bigger fraction does not necessarily mean that the amount you end up with will be bigger. The question should always be, 'fraction of what?'; 'what is the whole?'. Fractions can refer to objects, quantities or shapes, thus extending their complexity.

In order to be able to develop their understanding and then generalise about fractions, children need to explore many representations and uses over a significant period of time. In the Early Years, learners will have learnt to generalise the concept of three by having lots of experience of the three-ness of three, yet with fractions we may find in school that their experience is limited to pizzas, sticky paper and chocolate! Do the children have experience of objects, shapes and amounts in equal measure and do they have experience of the whole being something other than 'one'?

What might a fraction be?
1. Part of a shape or shapes






The activity Halving is a good place to start exploring the relationship between the part and the whole. Children are invited to halve paper squares of a particular size in different ways. Each time, they are encouraged to explain how they know it is a half. This can lead into a discussion about the link with area - half of the square is not a particular shape but an amount of space. In his article Early Fraction Development, Bernard describes how he explored the general idea of half a rectangle with some children. Using different sized pieces of paper leads learners to conclude that the same fraction (one half in this case) can refer to different amounts of paper.






Fractional Triangles also encourages children to explore the part-whole relationship but goes beyond halves to include finding quarters, thirds, sixths and ninths. Bryony's Triangle is a wonderful example of a rich task that brings together development of the part-whole concept and reasoning. (Incidentally, it is worth using thin card for this activity.)

Although all these tasks use paper as the medium, of course it is important that children have experience of a range of resources. How would they halve a lump of playdough? How would they halve a weight?






And how often do we vary the 'whole'? Is it always 'one'? What about sharing two pizzas between three? In the NRICH task Chocolate, the 'whole' is one, two or three bars of chocolate. Learners have to make a decision about the best table to stand at if the chocolate on it is shared between everyone at that table. Encouraging children to record their ideas themselves helps us 'see' their thinking and assess what they are doing.

2. Part of a set of discrete objects





Making Longer, Making Shorter builds on part-whole understanding but this time in the context of discrete objects - cubes. You can encourage further exploration of this idea by giving children a handful of items such as counters, beads or acorns and asking them to show you half in as many different ways as they can.

3. Position on a number line: a number in its own right
Here the 'whole' is one unit on the number line. Children need to understand that even though one half may look like a fixed amount it is still in fact one half of a 'whole': in this case the 'whole' is one unit.

Getting started
Fractions as a form of division
In her research, Nunes (2006) suggests that sharing situations can be used as a starting point for children's understanding of fractions since she found that primary school children have some insights into fractions when solving division problems:
They understand the relative nature of fractions: if one child gets half of a big cake and the other gets half of a small one, they do not receive the same amount. They also realise, for example, that you can share something by cutting it in different ways: this makes it ‘different fractions but not different amounts’. Finally, they understand the inverse relation between the denominator and the quantity: the more people there are sharing something, the less each one will get.

The activity Fair Feast offers the context of sharing a picnic and could form the basis of an initial exploratory task.

Talking about fractions: using the language
It is important that children build up a vocabulary with which to talk about fractions. Of course this is a gradual process, but greatly helped by you modeling appropriate language wherever possible and drawing attention to good use of specific vocabulary by children themselves. You could encourage children to write a class definition for your 'working wall' and see if this can be improved on over the time spent on fractions. The articleDeveloping a Classroom Culture That Supports A Problem-solving Approach to Mathematics offers several practical ideas to help your classroom become a classroom that is based on talk.







Digging deeper
Equivalence








The idea of equivalence is a key one to introduce as children's understanding of fractions develops. When tackling equivalence, it is important to give children the opportunity to record in their own way which helps you to see their thinking. (See our Recording Mathematics featurefor further information about recording generally.) Fractional Wall offers a visual stimulus to help learners grapple with equivalence. The higher-level challenge Fractions Jigsaw offers an opportunity to find equivalent fractions and carry out some simple additions and subtractions of fractions in a context that may challenge and motivate learns.

Multiplying fractions using the array
When it comes to calculation of fractions, the danger is that we introduce rules to be memorised and suddenly the conceptual development appears no longer to be valued. However, in the article Models in Mind, Mike Askew demonstrates that the array is a powerful tool for thinking about multiplication of fractions, giving children a visual image to draw on, rather than relying on 'tricks'.

Summary
The concept of fractions is a complex one and it takes time, combined with a rich range of experiences and appropriate mathematical models, for children to develop a deep and rigorous understanding. You may like to try out some of the resources we have recommended in this article to see how they can support the development of children's understanding of fractions. You may also want to look to see what the children's 'fraction diet' is like across the whole school and how it could be usefully strengthened to maximise the opportunities children have to develop a meaningful and thorough understanding of fractions.




Further reading
History of Fractions
Manipulatives in the Primary Classroom

References
Nunes (2006) Fractions: Difficult but crucial in mathematics
learning

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ส่วนความเข้าใจขั้นตอน: 1 และ 2บทความ โดย Jennie วอลดอร์ฟอพาร์ทและ Woodham ลิซประกาศเดือน 2013 พฤศจิกายนแนะนำที่ NRICH เป้าหมายของเราคือการ นำเสนองานรวยซึ่งพัฒนาความเข้าใจลึกของแนวคิดทางคณิตศาสตร์แทนที่เป็นบริบทที่หมั้นตื้นกับคณิตศาสตร์ต้นแบบส่งเสริม แน่นอน โดยธรรมชาติของพวกเขามาก รวยงานจะให้โอกาสเด็กในการทำงานเช่นเป็นนักคณิตศาสตร์ และเพื่อ ช่วยให้พวกเขาพัฒนาทักษะการแก้ปัญหาควบคู่ไปกับการทำความเข้าใจแนวคิดนี้ งานดังกล่าวยังให้โอกาสอันมีค่าการประเมินที่ได้มีเด็กในความคิดของพวกเขาและเพื่อสนับสนุนขั้นตอนถัดไปในการเดินทางของพวกเขาเรียนรู้หลักสูตรแห่งชาติใหม่ในอังกฤษจะตามกฎหมายในปี 2014 เดือนกันยายน และในเศษส่วน มันจะกำเริบมากขึ้นเมื่อเทียบกับหลักสูตรปัจจุบัน เพื่อสนับสนุนเด็กในการประชุมเหล่านี้ความต้องการสูงสำหรับเศษส่วน จึงควรให้แน่ใจว่า พวกเขามีประสบการณ์จริง และแตกต่างกันที่ใช้วัตถุ รูปร่าง และปริมาณมากมาย มีประสบการณ์งานรวยที่กระตุ้น และท้าทายความคิดของพวกเขา และได้รุ่น และรูปภาพ มากกว่า 'เทคนิค' เพื่อสนับสนุนการเจริญเติบโตความเข้าใจของเศษส่วนในบทความนี้ เรามีการเชื่อมโยงไปยังงานรวย (พบในคุณลักษณะของเศษ) ซึ่งจะช่วยพัฒนาแนวคิดพื้นฐานที่เกี่ยวข้องกับเศษส่วนและคำแนะนำสำหรับรูปแบบและภาพที่ช่วยสนับสนุนความคิดรอบเศษ ทำไมเด็กหาเศษยากปัญหา ด้วยการแยกส่วนมักจะเกิดจากความจริงที่ว่าพวกเขาจะแตกต่างจากตัวเลขธรรมชาติที่เป็นญาตินอกจากยอดเงินคงที่-เศษเดียวกันอาจหมายถึงปริมาณที่แตกต่างกัน และส่วนที่แตกต่างกันอาจจะเทียบเท่า (Nunes, 2006) จะค่อนข้างมีเสี้ยว £ 20 หรือครึ่ง 5 ปอนด์ ไหม ความจริงที่ว่าครึ่งเศษส่วนใหญ่ไม่จำเป็นต้องหมายความ ว่า ยอดคุณจบลงด้วยจะใหญ่ คำถามควรจะเสมอ 'เศษอะไร ' 'สิ่งนั้นทั้งหมดหรือไม่' เศษส่วนสามารถอ้างอิงถึงวัตถุ ปริมาณ หรือรูป ร่าง การขยายดังนั้น ความซับซ้อนของพวกเขา เพื่อให้สามารถพัฒนาความเข้าใจแล้ว generalise เกี่ยวกับเศษส่วน เด็กต้องสำรวจนำเสนอมาก และใช้ระยะเวลาเป็นสำคัญ ในช่วงปีแรก ๆ ผู้เรียนจะได้เรียนรู้กับแนวคิดของมีจำนวนมากประสบการณ์ของ ness สามสามสาม generalise ยัง มีเศษ เราอาจพบในโรงเรียนว่าประสบการณ์จำกัดพิซซ่า กระดาษเหนียว และช็อคโกแลต เด็กมีประสบการณ์ของวัตถุ รูปร่าง และจำนวนเงินในวัดเท่า และพวกเขามีประสบการณ์ทั้งการเป็น 'ที่หนึ่ง' ว่าเศษส่วนอาจ1. ส่วนของรูปร่างหรือรูปทรงกิจกรรม Halving เป็นดีเริ่มศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างส่วนทั้งหมด เด็กจะได้รับเชิญเพื่อองค์การกระดาษสี่เหลี่ยมขนาดเฉพาะวิธี กัน จะให้อธิบายก็รู้เป็นครึ่ง นี้สามารถนำไปสู่การสนทนาเกี่ยวกับการเชื่อมโยงพื้นที่ - ครึ่งหนึ่งของสี่เหลี่ยมไม่ใช่รูปร่างเฉพาะแต่จำนวนพื้นที่ ในบทของเขาเจริญเศษ Bernard อธิบายว่า เขาสำรวจความคิดทั่วไปของสี่เหลี่ยมครึ่งกับเด็กบาง ใช้ชิ้นส่วนขนาดต่าง ๆ ของกระดาษนำเรียนสรุปที่เศษส่วนเดียว (ครึ่งหนึ่งในกรณีนี้) สามารถหมายถึงจำนวนต่าง ๆ ของกระดาษ สามเหลี่ยมเศษส่วนยังชวนเพื่อสำรวจความสัมพันธ์ของส่วนรวม แต่ไปเกินครึ่งรวมหาไตรมาส สาม sixths และ ninths สามเหลี่ยมของ bryony เป็นตัวอย่างที่ยอดเยี่ยมของงานหลากหลายที่ร่วมกันพัฒนาแนวคิดของส่วนรวมและการใช้เหตุผล (บังเอิญ มันเป็นมูลค่าการใช้บัตรบางสำหรับกิจกรรมนี้)ถึงแม้ว่างานเหล่านี้ใช้กระดาษเป็นสื่อ ของหลักสูตรเป็นสิ่งสำคัญที่เด็กมีประสบการณ์ในช่วงของทรัพยากร พวกเขาจะแบ่งครั้งก้อนของ playdough อย่างไร พวกเขาจะแบ่งครั้งน้ำหนักอย่างไรและบ่อยเราแตก 'ทั้งหมด' เป็น 'ที่หนึ่ง' ร่วมกับพิซซ่า 2 ระหว่างสาม ในงาน NRICH ช็อคโกแลต 'ทั้งหมด' เป็นหนึ่ง สอง หรือสามแท่งช็อคโกแลต ผู้เรียนต้องทำการตัดสินใจเกี่ยวกับตารางดีที่สุดให้ยืนถ้าช็อกโกแลตบนใช้ร่วมกันระหว่างคนในตารางที่ ส่งเสริมเด็กบันทึกความคิดตัวเองช่วยให้เราสามารถ 'เห็น' ความคิด และประเมินสิ่งที่พวกเขาทำ2. ส่วนหนึ่งของชุดของวัตถุที่แยกกัน ทำ Longer สร้างทำสั้นในความเข้าใจส่วนรวมแต่ขณะนี้ในบริบทของวัตถุเดี่ยว ๆ - ลูกบาศก์ คุณสามารถส่งเสริมให้สำรวจเพิ่มเติมของความคิดนี้ โดยให้เด็กหยิบของสินค้าเช่นเคาน์เตอร์ ลูกปัด หรือ acorns และขอให้คุณแสดงครึ่งหนึ่งในหลายวิธีที่แตกต่างกันเป็นอย่าง 3. ตำแหน่งบรรทัดหมายเลข: หมายเลขตนเองที่นี่ 'ทั้งหมด' เป็นหนึ่งหน่วยในบรรทัดเลข เด็กต้องทำความเข้าใจแม้ว่าครึ่งหนึ่งอาจดูเหมือนเป็นรายมัน ยังเป็นความจริงหนึ่งครึ่ง 'ทั้งหมด': ในกรณีนี้ 'ทั้งหมด' เป็นหนึ่งหน่วย การเริ่มต้นเศษส่วนเป็นตัวหารงานวิจัยของเธอ Nunes (2006) แนะนำว่า ร่วมสถานการณ์สามารถใช้เป็นจุดเริ่มต้นเพื่อความเข้าใจเด็กของเศษส่วนเนื่องจากเธอพบว่า เด็กประถมมีเศษบางลึกเมื่อแก้ปัญหาส่วน:เข้าใจถึงลักษณะสัมพันธ์ของเศษส่วน: ถ้าเด็กได้รับครึ่งหนึ่งของเค้กขนาดใหญ่ และอื่น ๆ ได้รับครึ่งหนึ่งขนาดเล็ก พวกเขาได้รับยอดเงินเท่ากันไม่ พวกเขายังตระหนักถึง เช่น ที่คุณสามารถใช้ร่วมกันบางอย่าง โดยตัดในลักษณะต่าง ๆ: ทำ 'ส่วนที่แตกต่างกันแต่ยอดเงินไม่แตกต่างกัน' ในที่สุด พวกเขาเข้าใจความสัมพันธ์ผกผันระหว่างปริมาณและตัวหาร: เพิ่มเติมคนกำลังร่วมกันสิ่ง น้อยแต่ละคนจะได้รับการกิจกรรมฉลองแฟร์มีบริบทปิกนิกที่ใช้ร่วมกัน และสามารถแบบฟอร์มข้อมูลพื้นฐานของงานเชิงบุกเบิกเริ่มต้นพูดคุยเกี่ยวกับเศษส่วน: การใช้ภาษา เป็นสิ่งสำคัญที่เด็กสร้างคำศัพท์ที่จะพูดคุยเกี่ยวกับเศษส่วน แน่นอนนี้คือสมดุลกระบวนการ แต่อาการก็โอมากคุณสร้างโมเดลภาษาที่เหมาะสมเป็นไปและดึงดูดความสนใจการใช้คำศัพท์เฉพาะ โดยเด็กตัวเอง คุณสามารถส่งเสริมให้เด็กเขียนคำจำกัดความคลาในวอลล์ของคุณ' ทำงาน' และดูถ้านี้สามารถปรับปรุงได้ในช่วงเวลาที่ใช้ในส่วน ArticleDeveloping วิธีที่ห้องเรียนวัฒนธรรมที่สนับสนุน A ปัญหาการคณิตศาสตร์มีหลายความคิดปฏิบัติเพื่อช่วยให้ชั้นเรียนเป็น ห้องเรียนที่ใช้พูดคุยขุดลึกเทียบเท่าThe idea of equivalence is a key one to introduce as children's understanding of fractions develops. When tackling equivalence, it is important to give children the opportunity to record in their own way which helps you to see their thinking. (See our Recording Mathematics featurefor further information about recording generally.) Fractional Wall offers a visual stimulus to help learners grapple with equivalence. The higher-level challenge Fractions Jigsaw offers an opportunity to find equivalent fractions and carry out some simple additions and subtractions of fractions in a context that may challenge and motivate learns. Multiplying fractions using the arrayWhen it comes to calculation of fractions, the danger is that we introduce rules to be memorised and suddenly the conceptual development appears no longer to be valued. However, in the article Models in Mind, Mike Askew demonstrates that the array is a powerful tool for thinking about multiplication of fractions, giving children a visual image to draw on, rather than relying on 'tricks'.Summary The concept of fractions is a complex one and it takes time, combined with a rich range of experiences and appropriate mathematical models, for children to develop a deep and rigorous understanding. You may like to try out some of the resources we have recommended in this article to see how they can support the development of children's understanding of fractions. You may also want to look to see what the children's 'fraction diet' is like across the whole school and how it could be usefully strengthened to maximise the opportunities children have to develop a meaningful and thorough understanding of fractions. Further reading History of FractionsManipulatives in the Primary ClassroomReferencesNunes (2006) Fractions: Difficult but crucial in mathematics learning

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

การทำความเข้าใจเศษส่วนเวที: 1 และ 2 บทความโดยเจนนี่เพนแนนและลิซแธเผยแพร่พฤศจิกายน 2013 บทนำใน NRICH จุดมุ่งหมายของเราคือการให้งานที่อุดมไปด้วยซึ่งการพัฒนาความรู้ความเข้าใจของแนวคิดทางคณิตศาสตร์มากกว่าแวดล้อมที่ส่งเสริมการมีส่วนร่วมตื้นกับคณิตศาสตร์พื้นฐาน แน่นอนว่าโดยธรรมชาติของพวกเขางานที่อุดมไปด้วยนอกจากนี้ยังจะให้โอกาสสำหรับเด็กที่จะทำงานเช่นนักคณิตศาสตร์และเพื่อช่วยให้พวกเขาพัฒนาทักษะการแก้ปัญหาของพวกเขาไปพร้อมกับความเข้าใจแนวคิดนี้ งานดังกล่าวยังให้โอกาสที่มีคุณค่าสำหรับคุณประเมินที่เด็กได้มีการคิดของพวกเขาและเพื่อสนับสนุนการตามขั้นตอนต่อไปในการเดินทางของการเรียนรู้ของพวกเขา. หลักสูตรใหม่แห่งชาติในอังกฤษกลายเป็นตามกฎหมายในเดือนกันยายนปี 2014 และในแง่ของเศษส่วนมันเป็นความต้องการมากขึ้น เมื่อเทียบกับการเรียนการสอนในปัจจุบัน เพื่อสนับสนุนเด็กในการประชุมเหล่านี้ความต้องการที่สูงขึ้นสำหรับเศษส่วนมันเป็นสิ่งสำคัญที่จะทำให้แน่ใจว่าพวกเขามีจำนวนมากประสบการณ์และแตกต่างกันใช้วัตถุรูปร่างและปริมาณมีประสบการณ์ในงานมากมายที่กระตุ้นและท้าทายความคิดของพวกเขาและได้รับรูปแบบและภาพมากกว่า 'เทคนิค' เพื่อสนับสนุนความเข้าใจของพวกเขาเติบโตของเศษส่วน. ในบทความนี้เรามีการเชื่อมโยงกับงานที่อุดมไปด้วย (ที่พบในเศษส่วนของเรามี) ซึ่งจะช่วยในการพัฒนาแนวความคิดพื้นฐานที่เกี่ยวข้องกับเศษส่วนและข้อเสนอแนะบางอย่างสำหรับรูปแบบและภาพที่ช่วยให้ความคิดสนับสนุนรอบ . เศษส่วนทำไมเด็กหาเศษส่วนที่ยากลำบากกับเศษส่วนมักจะเกิดจากความจริงที่ว่าพวกเขามีความแตกต่างจากตัวเลขธรรมชาติที่พวกเขาเป็นญาติมากกว่าจำนวนคงที่- ส่วนเดียวกันอาจหมายถึงปริมาณที่แตกต่างกันและเศษส่วนที่แตกต่างกันอาจจะเทียบเท่า ( Nunes, 2006) คุณค่อนข้างจะมีหนึ่งในสี่ของ£ 20 หรือครึ่งหนึ่งของ£ 5? ความจริงที่ว่าครึ่งหนึ่งเป็นส่วนที่ใหญ่กว่าไม่ได้หมายความว่าจำนวนเงินที่คุณท้ายด้วยจะตัวใหญ่ขึ้น คำถามที่ควรจะเป็น 'ส่วนของอะไร?'; 'สิ่งที่เป็นทั้ง? เศษส่วนสามารถอ้างถึงวัตถุหรือรูปร่างปริมาณดังนั้นการขยายซับซ้อนของพวกเขา. เพื่อที่จะสามารถที่จะพัฒนาความเข้าใจของพวกเขาแล้วพูดคุยเกี่ยวกับเศษส่วนเด็กต้องไปสำรวจการแสดงจำนวนมากและใช้ในช่วงระยะเวลาที่สำคัญของเวลา ในช่วงปีแรก ๆ ผู้เรียนจะได้เรียนรู้ที่จะพูดคุยแนวคิดของสามโดยมีจำนวนมากประสบการณ์ของสามภาวะสามยังมีเศษส่วนที่เราอาจพบอยู่ในโรงเรียนที่ประสบการณ์ของพวกเขาจะถูก จำกัด พิซซ่ากระดาษเหนียวและช็อคโกแลต ทำเด็กมีประสบการณ์ของวัตถุรูปร่างและจำนวนเงินในการวัดเท่ากับและพวกเขามีประสบการณ์ในการเป็นทั้งสิ่งอื่นที่ไม่ใช่ 'หนึ่ง'? อะไรส่วนอาจจะมี? 1 ส่วนหนึ่งของรูปร่างหรือรูปทรงกิจกรรมแบ่งครึ่งเป็นสถานที่ที่ดีที่จะเริ่มต้นการสำรวจความสัมพันธ์ระหว่างส่วนหนึ่งและทั้ง เด็กได้รับเชิญให้ลดลงครึ่งหนึ่งของกระดาษสี่เหลี่ยมขนาดโดยเฉพาะอย่างยิ่งในรูปแบบที่แตกต่างกัน ทุกครั้งที่พวกเขาได้รับการสนับสนุนที่จะอธิบายวิธีที่พวกเขารู้ว่ามันเป็นครึ่ง นี้สามารถนำไปสู่การอภิปรายเกี่ยวกับการเชื่อมโยงกับพื้นที่ - ครึ่งหนึ่งของตารางไม่ได้เป็นรูปร่างเฉพาะ แต่ปริมาณของพื้นที่ ในบทความของเขาในช่วงต้นของการพัฒนาเศษเบอร์นาร์ดอธิบายว่าเขาสำรวจความคิดทั่วไปของครึ่งสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีเด็กบางคน โดยใช้ชิ้นส่วนที่มีขนาดที่แตกต่างกันของกระดาษที่นำไปสู่การเรียนรู้ที่จะสรุปว่าส่วนเดียวกัน (ครึ่งหนึ่งในกรณีนี้) สามารถดูจำนวนเงินที่แตกต่างกันของกระดาษ. Fractional สามเหลี่ยมยังส่งเสริมให้เด็กที่จะสำรวจความสัมพันธ์ส่วนทั้ง แต่นอกเหนือไปจากส่วนที่จะรวมไตรมาสหา, สาม sixths และ ninths สามเหลี่ยมไบรโอนีเป็นตัวอย่างที่ยอดเยี่ยมของงานมากมายที่นำมารวมกันพัฒนาแนวคิดส่วนทั้งหมดและเหตุผล (บังเอิญมันเป็นมูลค่าการใช้บัตรบางกิจกรรมนี้.) แม้ว่างานเหล่านี้ทั้งหมดใช้กระดาษเป็นสื่อกลางของหลักสูตรเป็นสิ่งสำคัญที่เด็กมีประสบการณ์ในการช่วงของทรัพยากร ว่าพวกเขาจะลดลงครึ่งหนึ่งก้อน playdough หรือไม่? ว่าพวกเขาจะลดลงครึ่งหนึ่งน้ำหนักหรือไม่และวิธีที่เรามักจะแตกต่างกันไป 'ทั้ง'? มันก็มักจะ 'หนึ่ง'? สิ่งที่เกี่ยวกับการแบ่งปันสองพิซซ่าระหว่างสาม? ในงาน NRICH ช็อคโกแลตที่ 'ทั้ง' เป็นหนึ่งสองหรือสามแท่งช็อคโกแลต ผู้เรียนต้องตัดสินใจเกี่ยวกับตารางดีที่สุดที่จะยืนอยู่ที่ถ้าช็อคโกแลตที่มันร่วมกันระหว่างทุกคนที่โต๊ะว่า เด็กให้กำลังใจในการบันทึกความคิดของตัวเองของพวกเขาจะช่วยให้เรา 'เห็น' ความคิดของพวกเขาและประเมินสิ่งที่พวกเขากำลังทำ. 2 เป็นส่วนหนึ่งของชุดของวัตถุสิ้นเชิงทำอีกต่อไปทำที่สั้นกว่าสร้างความเข้าใจส่วนทั้ง แต่เวลานี้ในบริบทของวัตถุที่ไม่ต่อเนื่อง - ก้อน คุณสามารถกระตุ้นให้เกิดการสำรวจต่อไปของความคิดนี้โดยการให้เด็กไม่กี่คนของรายการเช่นเคาน์เตอร์, ลูกปัดหรือโอ๊กและขอให้พวกเขาแสดงให้คุณเห็นครึ่งหนึ่งในรูปแบบต่างๆให้มากที่สุดเท่าที่พวกเขาสามารถ. 3 ตำแหน่งบนเส้นจำนวน: ตัวเลขในสิทธิของตนเองที่นี่'ทั้ง' เป็นหนึ่งหน่วยบนเส้นจำนวน เด็กต้องเข้าใจว่าแม้ว่าครึ่งหนึ่งอาจมีลักษณะเช่นเป็นจำนวนคงที่มันยังอยู่ในความเป็นจริงเพียงครึ่งหนึ่งของ 'ทั้ง': ในกรณีนี้ 'ทั้ง' เป็นหนึ่งหน่วย. เริ่มต้นเศษส่วนเป็นรูปแบบของส่วนหนึ่งในงานวิจัยของเธอ, นูเนส (2006) แสดงให้เห็นว่าสถานการณ์ร่วมกันสามารถนำมาใช้เป็นจุดเริ่มต้นสำหรับความเข้าใจของเด็กเศษส่วนตั้งแต่เธอพบว่าเด็กที่โรงเรียนประถมศึกษามีข้อมูลเชิงลึกบางอย่างเป็นเศษส่วนเมื่อการแก้ปัญหาส่วน: พวกเขาเข้าใจธรรมชาติของความสัมพันธ์ของเศษส่วนถ้าเด็กคนหนึ่งที่ได้รับ ครึ่งหนึ่งของเค้กขนาดใหญ่และอื่น ๆ ที่ได้รับครึ่งหนึ่งของเล็ก ๆ แห่งหนึ่งที่พวกเขาไม่ได้รับเงินจำนวนเดียวกัน พวกเขายังตระหนักถึงยกตัวอย่างเช่นที่คุณสามารถแบ่งปันสิ่งที่โดยการตัดมันในรูปแบบที่แตกต่างกันนี้ทำให้ 'เศษส่วนที่แตกต่างกัน แต่ไม่จำนวนที่แตกต่างกัน ในที่สุดพวกเขาเข้าใจความสัมพันธ์ผกผันระหว่างหารและปริมาณ:. ผู้คนมากขึ้นมีการแบ่งปันสิ่งที่น้อยกว่าที่แต่ละคนจะได้รับกิจกรรมฉลองยุติธรรมมีบริบทของการใช้งานร่วมกันปิกนิกและสามารถเป็นพื้นฐานของงานสอบสวนเบื้องต้น. พูดคุยเกี่ยวกับเศษส่วน: การใช้ภาษาเป็นสิ่งสำคัญที่เด็กสร้างคำศัพท์ที่จะพูดคุยเกี่ยวกับเศษส่วน หลักสูตรนี้เป็นกระบวนการที่ค่อยๆ แต่อย่างมากช่วยให้คุณสร้างแบบจำลองภาษาที่เหมาะสมเป็นไปได้และความสนใจวาดภาพเพื่อการใช้งานที่ดีของคำศัพท์เฉพาะโดยเด็กตัวเอง คุณสามารถส่งเสริมให้เด็กที่จะเขียนคำนิยามสำหรับระดับของการทำงานผนังและดูว่าจะดีขึ้นในช่วงเวลาที่ใช้ในการเศษส่วน articleDeveloping วัฒนธรรมห้องเรียนที่สนับสนุนแนวทางการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์มีความคิดในทางปฏิบัติหลายประการที่จะช่วยให้ห้องเรียนของคุณกลายเป็นห้องเรียนที่ขึ้นอยู่กับการพูดคุย. ขุดลึกสมดุลความคิดของความเท่าเทียมกันเป็นหนึ่งที่สำคัญที่จะแนะนำตามที่เข้าใจเด็กเศษส่วนพัฒนา. เมื่อการแก้ปัญหาความเท่าเทียมกันเป็นสิ่งสำคัญที่จะให้เด็กมีโอกาสที่จะบันทึกในทางของตัวเองซึ่งจะช่วยให้คุณเห็นความคิดของพวกเขา (ดูคณิตศาสตร์บันทึกของเรา featurefor ข้อมูลเพิ่มเติมบันทึกทั่วไป.) พื้นที่บางส่วนมีการกระตุ้นภาพเพื่อช่วยให้ผู้เรียนมีความเท่าเทียมกันต่อสู้ ความท้าทายในระดับที่สูงขึ้นเศษส่วนจิ๊กซอว์มีโอกาสที่จะหาเศษส่วนเทียบเท่าและดำเนินการบางอย่างเพิ่มเติมที่เรียบง่ายและ subtractions เศษส่วนในบริบทที่อาจท้าทายและกระตุ้นให้เรียนรู้. คูณเศษส่วนโดยใช้อาร์เรย์เมื่อมันมาถึงการคำนวณเศษส่วนเป็นอันตรายที่เราแนะนำกฎระเบียบที่จะจดจำและก็มีการพัฒนาแนวความคิดปรากฏไม่ได้จะมีมูลค่า อย่างไรก็ตามในรุ่นบทความในใจไมค์คอนแสดงให้เห็นว่าอาร์เรย์เป็นเครื่องมือที่มีประสิทธิภาพสำหรับการคิดเกี่ยวกับการคูณเศษส่วนให้เด็กภาพวาดภาพบนแทนที่จะอาศัยที่ 'เทคนิค'. บทสรุปแนวคิดของเศษส่วนเป็นหนึ่งที่ซับซ้อนและใช้เวลารวมกับช่วงที่อุดมไปด้วยประสบการณ์และแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่เหมาะสมสำหรับเด็กที่จะพัฒนาความรู้ความเข้าใจและเข้มงวด คุณอาจต้องการที่จะลองออกบางส่วนของทรัพยากรที่เราได้แนะนำในบทความนี้เพื่อดูว่าพวกเขาสามารถสนับสนุนการพัฒนาความเข้าใจของเด็กเศษส่วน คุณอาจต้องการที่จะดูเพื่อดูว่าเด็ก 'อาหารส่วน' เป็นเหมือนทั่วทั้งโรงเรียนและวิธีการที่อาจจะมีความเข้มแข็งเป็นประโยชน์เพื่อเพิ่มเด็กโอกาสที่มีการพัฒนาความเข้าใจความหมายและอย่างละเอียดของเศษส่วน. อ่านเพิ่มเติมประวัติของเศษส่วนManipulatives ในชั้นเรียนประถมอ้างอิงNunes (2006) เศษส่วน: ยาก แต่ที่สำคัญในวิชาคณิตศาสตร์การเรียนรู้

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ความเข้าใจขั้น 1 และ 2 เศษส่วน

บทความโดย Jennie เฟื่องและลิซวูด
เผยแพร่พฤศจิกายน 2013 .

บทนำ
ที่รวย เป้าหมายของเราคือเพื่อ ให้รวย งานที่พัฒนาลึกความเข้าใจของแนวคิดทางคณิตศาสตร์มากกว่าบริบทซึ่งส่งเสริมการมีส่วนร่วมตื้นกับพื้นฐานคณิตศาสตร์ . แน่นอน โดยธรรมชาติของพวกเขางานรวย จะยังให้โอกาสเด็กเป็นนักคณิตศาสตร์และเพื่อช่วยให้พวกเขาพัฒนาทักษะการแก้ปัญหาของตนเองควบคู่ไปกับแนวคิดนี้ งานดังกล่าวยังให้โอกาสที่มีคุณค่าสำหรับคุณเพื่อประเมินว่าเด็กต้องคิด และการสนับสนุนของพวกเขาขั้นตอนถัดไปในการเดินทางการเรียนรู้

ดังนั้น .หลักสูตรใหม่ในอังกฤษกลายเป็นกฎหมายในเดือนกันยายนปี 2014 และในแง่ของเศษส่วน มันคือความต้องการมากขึ้นเมื่อเทียบกับหลักสูตรปัจจุบัน สนับสนุนเด็กในการประชุมเหล่านี้สูงกว่าความต้องการ เศษส่วน มันเป็นสิ่งสำคัญเพื่อให้แน่ใจว่าพวกเขามีจำนวนมากของการปฏิบัติที่หลากหลาย และประสบการณ์การใช้วัตถุรูปร่างและปริมาณมีประสบการณ์งานมากมายที่กระตุ้นและท้าทายความคิดของพวกเขาและจะได้รับแบบและภาพมากกว่า ' เคล็ดลับ ' เพื่อสนับสนุนการเจริญเติบโตของพวกเขาความเข้าใจของเศษส่วน

ในบทความนี้เรามีการเชื่อมโยงไปยังงานรวย ( พบในส่วนของเราคุณลักษณะ ) ซึ่งจะช่วยพัฒนาภายใต้แนวคิดที่เกี่ยวข้องกับเศษส่วนและคำแนะนำสำหรับรูปแบบและภาพที่ช่วยสนับสนุนความคิดรอบเศษส่วน

ทำไมเด็กหาเศษส่วนที่ยาก ?
ปัญหากับเศษส่วน มักจะเกิดจากข้อเท็จจริงที่ว่าพวกเขาแตกต่างจากธรรมชาติที่พวกเขาเป็นญาติมากกว่ายอดเงินคงที่ - สัดส่วนเดียวกันอาจหมายถึงปริมาณที่แตกต่างกัน และเศษส่วนที่แตกต่างกันอาจจะเทียบเท่า ( นูนส์ , 2006 ) คุณจะค่อนข้างมีหนึ่งในสี่ของกว่า 20 หรือครึ่งหนึ่งของรัฐบาล 5ความจริงที่ว่าครึ่งเป็นส่วนใหญ่ไม่ได้หมายความว่าปริมาณที่คุณจะจบลงด้วยจะใหญ่กว่า คำถามควรจะเป็น ' เศษส่วนของอะไร ? ' อะไร ' ทั้งหมด ? เศษส่วนสามารถอ้างถึงวัตถุ ปริมาณ หรือรูปร่าง ดังนั้น การขยายตัวของพวกเขา

เพื่อที่จะสามารถพัฒนาความเข้าใจของตนแล้วกล่าวสรุปเกี่ยวกับเศษส่วนเด็กต้องสำรวจที่ใช้แทนจํานวนมาก และใช้ช่วงเวลาที่สำคัญของเวลา ในช่วงต้นปี ผู้เรียนจะได้เรียนรู้ที่จะกล่าวสรุปแนวคิด 3 โดยมี ประสบการณ์มากมายใน 3 สภาพของทั้งสาม แต่เราอาจพบเศษส่วนในโรงเรียนว่า ประสบการณ์ของพวกเขาถูก จำกัด ให้พิซซ่า , กระดาษเหนียว และช็อกโกแลต ทำให้เด็กได้ประสบการณ์ของวัตถุรูปร่างและปริมาณในการวัดที่เท่าเทียมกันและพวกเขามีประสบการณ์ของ โดนอย่างอื่นมากกว่า ' หนึ่ง '

สิ่งที่อาจเป็นเศษส่วนได้
1 ส่วนหนึ่งของรูปร่างหรือรูปทรง






กิจกรรม แบ่งเป็นสถานที่ที่ดีที่จะเริ่มต้นความสัมพันธ์ระหว่างส่วนหนึ่งและทั้งหมด เด็กได้รับเชิญให้นำกระดาษสี่เหลี่ยมขนาดเฉพาะในวิธีที่แตกต่างกัน ในแต่ละครั้งพวกเขาควรที่จะอธิบายวิธีการที่พวกเขารู้ว่ามันเป็นครึ่ง นี้สามารถนำในการอภิปรายเกี่ยวกับการเชื่อมโยงกับพื้นที่ครึ่งหนึ่งของสี่เหลี่ยมเป็นรูปร่างเฉพาะ แต่ปริมาณของพื้นที่ ส่วนต้นในการพัฒนาบทความของเขา เบอร์นาร์ดอธิบายวิธีการที่เขาสำรวจความคิดทั่วไปของครึ่งสี่เหลี่ยมกับเด็กบ้างใช้ชิ้นส่วนของกระดาษที่มีขนาดแตกต่างกัน ทำให้ผู้เรียนได้สัดส่วนเดียวกัน ( ครึ่งหนึ่ง ) ในกรณีนี้สามารถดูยอดเงินที่แตกต่างกันของกระดาษ






เป็นสามเหลี่ยมยังให้เด็กสำรวจทั้งส่วนสัมพันธ์ แต่นอกเหนือไปจากส่วนรวมในไตรมาสสาม และ sixths ninths .bryony เป็นรูปสามเหลี่ยมเป็นยอดเยี่ยม ตัวอย่างของงานมากมายที่นำการพัฒนาร่วมกันของส่วนทั้งแนวคิดและเหตุผล ( อนึ่ง มันน่าใช้ บางบัตรกิจกรรม นี้ )

ถึงแม้ว่างานเหล่านี้ทั้งหมดใช้กระดาษเป็นสื่อ , แน่นอนมันเป็นสิ่งสำคัญที่เด็กได้รับประสบการณ์ที่หลากหลายของทรัพยากร วิธีการที่พวกเขาจะนำก้อน playdough ? วิธีการที่พวกเขาจะนำหนัก ?






และวิธีการที่เรามักจะแตกต่างกันไป ทั้ง ' ' มันเสมอ ' หนึ่ง ' สิ่งที่เกี่ยวกับการใช้สองพิซซ่าระหว่างสาม ในงานรวยรสช็อกโกแลต ทั้ง ' ' คือ หนึ่ง สอง หรือ สามแถบของช็อคโกแลต ผู้เรียนต้องตัดสินใจเกี่ยวกับตารางที่ดีที่สุดที่จะยืน ถ้าช็อคโกแลตมันร่วมกันระหว่างทุกคนที่โต๊ะนั้นส่งเสริมเด็กบันทึกความคิดของตนเองจะช่วยให้เรา ' มองเห็น ' ความคิดของตนเอง และประเมินสิ่งที่พวกเขากำลังทำ .

2 ส่วนหนึ่งของชุดของวัตถุที่ไม่ต่อเนื่อง





ทำอีกต่อไป การสร้างความเข้าใจ แต่เวลาสั้นในส่วนทั้งหมดนี้ในบริบทของการแยกวัตถุ - ก้อน คุณสามารถกระตุ้นให้สำรวจเพิ่มเติมของความคิดนี้ โดยให้เด็กหยิบของรายการ เช่น เคาน์เตอร์ลูกปัดหรือ acorns และขอให้พวกเขาแสดงให้คุณเห็นแค่ครึ่งเดียว เป็นหลายวิธีที่พวกเขาสามารถ

3 ตำแหน่งบนเส้นจำนวน : ตัวเลขในของตัวเองขวา
ที่นี่ทั้ง ' ' เป็นหน่วยหนึ่งในหมายเลขบรรทัด ลูกต้องเข้าใจว่าถึงแม้ว่าครึ่งหนึ่งอาจดูเป็นจำนวนคงที่ยังคงเป็นในความเป็นจริงครึ่งหนึ่งของทั้ง ' ' : ในกรณีนี้ทั้ง ' ' เป็นหนึ่งหน่วย


รับเริ่มเศษส่วนเป็นแบบฟอร์มของแผนก
ในการวิจัยของเธอนูนส์ ( 2006 ) แสดงให้เห็นว่าใช้สถานการณ์ที่สามารถใช้เป็นจุดเริ่มต้นสำหรับเด็กเข้าใจเศษส่วน ตั้งแต่เธอพบว่าเด็กประถมมีข้อมูลเชิงลึกในการแก้ปัญหาการหารเศษส่วนเมื่อ :
พวกเขาเข้าใจธรรมชาติของญาติของเศษส่วน :ถ้าเด็กได้รับครึ่งหนึ่งของเค้กใหญ่และอื่น ๆได้รับครึ่งหนึ่งของเล็ก ๆแห่งหนึ่ง พวกเขาไม่ได้รับจำนวนเงินเดียวกัน พวกเขายังตระหนักถึง ตัวอย่างเช่น คุณสามารถใช้อะไรตัดมันในวิธีที่แตกต่างกัน : มัน ' เศษส่วนที่แตกต่างกัน แต่ไม่ได้แตกต่างกันมาก " ในที่สุด พวกเขาเข้าใจความสัมพันธ์ผกผันระหว่างข้อบกพร่องและปริมาณ :