Trinomial Factoring"We will be exam

Trinomial Factoring
"We will be examining quadratic trinomials of the form ax2 + bx + c."
Part 1: Trinomials with a = 1 (ax2 + bx + c)


Method by Trial and Error:
Factor: x2 - x - 12
Step 1: The first step when factoring is to always check for a common factor among the terms. In this situation, there is no common factor. Nope!
Step 2: To get the leading term of x2, each first term of the factors will need to be x. (x )(x )
Step 3: The product of the last terms must be -12. Unfortunately, there are a variety of ways to arrive at this product of -12.
+12 and -1
-12 and +1
+6 and - 2
-6 and +2
+4 and -3
-4 and +3
ALL of these pairings
yield a product of -12.
But only ONE of them
is the correct choice!
Possible answers?
(x + 12)(x - 1)
(x - 12)(x + 1)
(x + 6)(x - 2)
(x - 6)(x + 2)
(x + 4)(x - 3)
(x - 4)(x + 3)
Step 4: Only one of the possible answers shown above will be the correct factoring for this problem. Which choice, when multiplied, will create the correct "middle term" needed for this example?
(The needed middle term for this problem is "-x".) (x + 12)(x - 1) middle term +11x
(x - 12)(x + 1) middle term -11x
(x + 6)(x - 2) middle term +4x
(x - 6)(x + 2) middle term -4x
(x + 4)(x - 3) middle term +x
(x - 4)(x + 3) middle term -x
Step 5: Write the answer. x2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3)


Yes, there is a shorter way to find the answer!



In plain English: If the leading coefficient is 1, you need to find "numbers that multiply to the last term and add to the middle term's coefficient?" Be careful of the signs of the numbers!
Part 2: Trinomials with a ≠ 1 (ax2 + bx + c)


Unfortunately, when the leading coefficient is a number other than one, the number of possible answers increases, making the search for the correct answer more difficult.
Method by Trial and Error:
Factor: 3x2 - 7x - 6
Step 1: The first step when factoring is to always check for a common factor among the terms. In this example, there is no common factor. Nope!
Step 2: Consider all of the possible factors of the leading coefficient. In this example, there is only one way to arrive at 3x2: the first terms of the factors will need to be 3x and x. (3x )(x )
Step 3: The product of the last terms must be -6. Unfortunately, there are several ways to arrive at this product of -6.
+6 and -1
-6 and +1
+3 and - 2
-3 and +2 ALL of these pairings
yield a product of -6.

Notice in this step how it was necessary to consider each of these pairings with BOTH arrangements of 3x and x. Be sure you cover ALL of the possibilities. Possible answers?
(3x + 6)(x - 1)
(3x - 6)(x + 1)
(3x + 3)(x - 2)
(3x - 3)(x + 2)
(x + 6)(3x - 1)
(x - 6)(3x + 1)
(x + 3)(3x - 2)
(x - 3)(3x + 2)
Step 4: Only one of the possible answers shown above will be the correct factoring for this problem. Which choice, when multiplied, will create the correct "middle term" needed for this example?
(The needed middle term for this problem is "-7x".) (3x + 6)(x - 1) middle term +3x
(3x - 6)(x + 1) middle term -3x
(3x + 3)(x - 2) middle term -3x
(3x - 3)(x + 2) middle term +3x
(x + 6)(3x - 1) middle term +17x
(x - 6)(3x + 1) middle term -17x
(x + 3)(3x - 2) middle term +7x
(x - 3)(3x + 2) middle term -7x
Step 5: Write the answer. 3x2 - 7x - 6 = (x - 3)(3x + 2)

Sorry, there is no quick "short cut method" to find the answer!

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

กำลังพิจารณา"เราจะสามารถตรวจสอบกำลังสอง trinomials ของฟอร์ม ax2 + bx + c" ส่วนที่ 1: Trinomials กับการ = 1 (ax2 + bx + c)วิธี โดยการทดลองและข้อผิดพลาด:ปัจจัย: x2 - x - 12ขั้นตอนที่ 1: ขั้นตอนแรกเมื่อแฟคเตอริ่งคือการ หาตัวประกอบร่วมระหว่างเงื่อนไขเสมอ ในสถานการณ์นี้ มีปัจจัยทั่วไปไม่ Nopeขั้นตอนที่ 2: จะได้รับระยะเวลานำของ x2 แต่ละเทอมแรกของปัจจัยจะต้อง x. (x) (x)ขั้นตอนที่ 3: ผลิตภัณฑ์เงื่อนไขสุดท้ายต้องเป็น -12 อับ มีหลากหลายวิธีที่ผลิตภัณฑ์นี้ของ -12 จะมาถึง + 12 และ -1-12 และ + 1+ 6 และ - 2-6 และ + 2+ 4 และ -3+ 3 และ -4 รณุเหล่านี้ทั้งหมดผลผลิตผลิตภัณฑ์ของ -12แต่เพียงหนึ่งของพวกเขา เป็นตัวเลือกที่ถูกต้อง คำตอบที่เป็นไปได้หรือไม่(x + 12) (x-1)(x-12) (x + 1)(x + 6) (x-2)(x-6) (x + 2)(x + 4) (x-3)(x-4) (x + 3)ขั้นที่ 4: เพียงหนึ่งคำตอบที่ได้แสดงข้างต้นจะเป็นแฟคตอริ่งถูกต้องสำหรับปัญหานี้ ตัวเลือกที่ เมื่อคูณ จะสร้างระยะถูกต้อง"กลาง" สำหรับตัวอย่างนี้(ระยะกลางที่จำเป็นสำหรับปัญหานี้ "-x ") (x + 12) (x-1) กลางระยะ x + 11(x-12) (x + 1) x-11 ระยะกลาง(x + 6) (x-2) กลางระยะ + 4 x(x-6) (x + 2) x-4 ระยะกลาง(x + 4) (x-3) กลางระยะ + x(x-4) (x + 3) ระยะกลาง - x ขั้นตอนที่ 5: เขียนคำตอบ x2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3)ใช่ มีวิธีสั้นกว่าจะหาคำตอบในภาษาอังกฤษธรรมดา: ถ้าสัมประสิทธิ์นำ 1 คุณต้องการค้นหา "เลขที่คูณสุดท้ายระยะ และเพิ่มสัมประสิทธิ์ของระยะกลาง" โปรดใช้ความระมัดระวังของป้ายหมายเลข ส่วนที่ 2: Trinomials กับ≠ 1 (ax2 + bx + c)อับ เมื่อค่าสัมประสิทธิ์นำเป็นหมายเลขอื่นที่ไม่ใช่หนึ่ง หมายเลขของคำตอบที่เป็นไปได้ขึ้น ทำให้การค้นหาคำตอบที่ถูกที่ยากขึ้นวิธี โดยการทดลองและข้อผิดพลาด:ปัจจัย: 3 x 2-7 x - 6ขั้นตอนที่ 1: ขั้นตอนแรกเมื่อแฟคเตอริ่งคือการ หาตัวประกอบร่วมระหว่างเงื่อนไขเสมอ ในตัวอย่างนี้ มีปัจจัยทั่วไปไม่ Nopeขั้นตอนที่ 2: พิจารณาปัจจัยต่าง ๆ เป็นไปได้ของค่าสัมประสิทธิ์การนำ ในตัวอย่างนี้ มีทางเดียวเท่านั้นจะมาถึง 3 x 2: ปัจจัยเงื่อนไขแรกจะต้องเป็น 3 x และ x. (3 x) (x)ขั้นตอนที่ 3: ผลิตภัณฑ์เงื่อนไขสุดท้ายต้องเป็น -6 อับ มีหลายวิธีที่ผลิตภัณฑ์นี้ของ -6 จะมาถึง -1 และ + 6+ 1 และ -6+ 3 และ - 2-ทั้งหมดเหล่านี้รณุ 3 และ + 2ผลคูณของ -6สังเกตเห็นในขั้นตอนนี้ก็จำเป็นต้องพิจารณาแต่ละของรณุเหล่านี้พร้อมทั้งเตรียมของ 3 x วิธี และ x. ให้แน่ใจว่า คุณครอบคลุมทั้งหมดเพื่อ คำตอบที่เป็นไปได้หรือไม่(3 x + 6) (x-1)(3 x - 6) (x + 1)(3 x + 3) (x-2)(3 x - 3) (x + 2)(x + 6) (3 x - 1)(x-6) (3 x + 1)(x + 3) (3 x - 2)(x-3) (3 x + 2)ขั้นที่ 4: เพียงหนึ่งคำตอบที่ได้แสดงข้างต้นจะเป็นแฟคตอริ่งถูกต้องสำหรับปัญหานี้ ตัวเลือกที่ เมื่อคูณ จะสร้างระยะถูกต้อง"กลาง" สำหรับตัวอย่างนี้(ระยะกลางจำเป็นสำหรับปัญหานี้คือ "x-7") (3 x + 6) (x-1) กลางระยะ + 3 x(3 x - 6) (x + 1) x-3 ระยะกลาง(3 x + 3) (x-2) กลางระยะ -3 x(3 x - 3) (x + 2) x + 3 ระยะกลาง(x + 6) (3 x - 1) x +17 กลาง(x-6) (3 x + 1) x-17 ระยะกลาง(x + 3) (3 x - 2) + 7 x ระยะกลาง(x-3) (3 x + 2) x-7 ระยะกลางขั้นตอนที่ 5: เขียนคำตอบ 2-7 3 x x - 6 = (x - 3) (3 x + 2)ขอ มีไม่ด่วน "วิธีลัด" เพื่อหาคำตอบ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

Trinomial แฟ
"เราจะได้รับการตรวจสอบ trinomials กำลังสองของแบบฟอร์ม ax2 + BX + C."
ส่วนที่ 1: trinomials ด้วย = 1 (ax2 + BX + C)


วิธีการโดยการทดลองและข้อผิดพลาด:
ปัจจัย: X2 - X - 12
ขั้นตอนที่ 1: ขั้นตอนแรกเมื่อแฟคือการเสมอตรวจสอบหาปัจจัยร่วมกันระหว่างข้อตกลง ในสถานการณ์เช่นนี้ไม่มีปัจจัยร่วมกัน Nope!
ขั้นตอนที่ 2: เพื่อให้ได้ระยะ X2 ชั้นนำของแต่ละเทอมแรกของปัจจัยที่จะต้องมีการ X (x) (x)
ขั้นตอนที่ 3: ผลิตภัณฑ์ของข้อตกลงที่ผ่านมาจะต้อง -12 แต่น่าเสียดายที่มีความหลากหลายของวิธีการที่จะมาถึงของสินค้า -12 นี้.
12 และ -1
-12 และ 1
6 และ - 2
-6 และ 2
ที่ 4 และ -3
-4 และ 3
ทั้งหมดเหล่านี้ การจับคู่
ผลผลิตของ -12 ได้.
แต่มีเพียงหนึ่งของพวกเขา
เป็นตัวเลือกที่ถูกต้อง!
คำตอบที่เป็นไปได้?
(x + 12) (x - 1)
(x - 12) (x + 1)
(x + 6) (x - 2 )
(x - 6) (x + 2)
(x + 4) (x - 3)
(x - 4) (x + 3)
ขั้นตอนที่ 4: เฉพาะหนึ่งในคำตอบที่เป็นไปได้ที่แสดงข้างต้นจะเป็นแฟที่ถูกต้องสำหรับปัญหานี้ . ซึ่งทางเลือกเมื่อคูณจะสร้างที่ถูกต้อง "ระยะกลาง" ที่จำเป็นสำหรับตัวอย่างนี้?
(ที่จำเป็นในระยะกลางสำหรับปัญหานี้คือ "-x".) (x + 12) (x - 1) ระยะกลาง + 11x
(x - 12) (x + 1) ระยะกลาง -11x
(x + 6) (x - 2) ระยะกลาง + 4x
(x - 6) (x + 2) ระยะกลาง -4x
(x + 4) (x - 3) ระยะกลาง + x
(x - 4) (x + 3) ระยะกลาง -x
ขั้นตอนที่ 5: เขียนคำตอบ X2 - x - 12 = (x - 4) (x + 3)


ใช่มีวิธีที่สั้นกว่าจะหาคำตอบ!



ในภาษาอังกฤษธรรมดา: ถ้านำค่าสัมประสิทธิ์คือ 1, คุณจะต้องพบ "ตัวเลขที่คูณไปยังหน้าล่าสุด ระยะและเพิ่มค่าสัมประสิทธิ์ระยะกลางหรือไม่? " โปรดใช้ความระมัดระวังของสัญญาณของตัวเลข!
ส่วนที่ 2: trinomials กับ≠ 1 (ax2 + BX + C)


แต่น่าเสียดายที่เมื่อนำค่าสัมประสิทธิ์เป็นหมายเลขอื่นมากกว่าหนึ่งจำนวนของคำตอบที่เป็นไปได้ที่เพิ่มขึ้นทำให้การค้นหาที่ถูกต้อง ตอบยากขึ้น.
วิธีการโดยการทดลองและข้อผิดพลาด:
ปัจจัย: 3x2 - 7x - 6
ขั้นตอนที่ 1: ขั้นตอนแรกเมื่อแฟคือการเสมอตรวจสอบหาปัจจัยร่วมกันระหว่างข้อตกลง ในตัวอย่างนี้ไม่มีปัจจัยร่วมกัน Nope!
ขั้นตอนที่ 2: พิจารณาทุกปัจจัยที่เป็นไปได้ของค่าสัมประสิทธิ์ชั้นนำ ในตัวอย่างนี้มีทางเดียวเท่านั้นที่จะมาถึง 3x2: เงื่อนไขแรกของปัจจัยที่จะต้อง 3x และ X (3x) (x)
ขั้นตอนที่ 3: ผลิตภัณฑ์ของข้อตกลงที่ผ่านมาจะต้อง -6 แต่น่าเสียดายที่มีหลายวิธีที่จะมาถึงของสินค้า -6 นี้.
6 และ -1
-6 และ +1
+3 และ - 2
-3 และ 2 ทั้งหมดของการจับคู่เหล่านี้
ผลผลิตของ -6 ได้.

ทราบในขั้นตอนนี้ ว่ามันเป็นสิ่งจำเป็นที่จะต้องพิจารณาแต่ละจับคู่เหล่านี้มีการเตรียมการของ 3x และ x ทั้ง ให้แน่ใจว่าคุณครอบคลุมทุกความเป็นไปได้ คำตอบไปได้หรือไม่
(3x + 6) (x - 1)
(3x - 6) (x + 1)
(3x + 3) (x - 2)
(3x - 3) (x + 2)
(x + 6) (3x - 1)
(x - 6) (3x + 1)
(x + 3) (3x - 2)
(x - 3) (3x + 2)
ขั้นตอนที่ 4: เฉพาะหนึ่งในคำตอบที่เป็นไปได้ที่แสดงข้างต้นจะเป็นแฟที่ถูกต้องสำหรับ ปัญหานี้. ซึ่งทางเลือกเมื่อคูณจะสร้างที่ถูกต้อง "ระยะกลาง" ที่จำเป็นสำหรับตัวอย่างนี้?
(ที่จำเป็นในระยะกลางสำหรับปัญหานี้คือ "-7x".) (3x + 6) (x - 1) ระยะกลาง + 3x
(3x - 6) (x + 1) -3x ระยะกลาง
(3x + 3) (x - 2) -3x ระยะกลาง
(3x - 3) (x + 2) ระยะกลาง + 3x
(x + 6) (3x - 1) ระยะกลาง + 17x
(x - 6) (3x + 1) ระยะกลาง -17x
(x + 3) (3x - 2) ระยะกลาง + 7x
(x - 3) (3x + 2) ระยะกลาง -7x
ขั้นตอนที่ 5: เขียน คำตอบ. 3x2 - 7x - 6 = (x - 3) (3x + 2)

ขออภัยไม่มีอย่างรวดเร็ว "วิธีการตัดสั้น" เพื่อหาคำตอบ!