Introduction to TrigonometryHow ste

Introduction to Trigonometry

How steep is this hillside and will it fail? How high is that mountain? These sorts of questions pop up all over in geosciences - from plate tectonics to maps to ocean waves, and they require you to find either an angle or a distance. To do this, we often use trigonometry, which is much easier when a right triangle is involved.

right triangle
A right triangle (like the one in the figure to the right) has one angle that is 90°. The other two angles are always less than 90 ° and together add up to 90°. Note that the triangle on the right has 3 angles a, b and c and 3 sides, A, B, and H, and 3 angles a, b, and c. The side "opposite" an angle (in this case) is labeled with a capital letter corresponding to the label on the angle. The side opposite the right angle, H, is always the longest side and is called the hypotenuse.

Some rules/guidelines for trigonometry of right triangles

We can use ratios (or the quotient) of the lengths of a right triangle's sides to figure out the angles in a right triangle. Three trigonometric ratios that we use in the geosciences are called the sine, the cosine, and the tangent, although they are often abbreviated sin, cos, and tan, respectively.

Because the trigonometric functions come up over and over, it is a good idea to figure out a way to remember their definitions. For most students (and, to be honest, your professors!) the mnemonic SOH-CAH-TOA (said "so-kah-toe-ahh") is helpful.
The mnemonic device uses the first letters in the following equations:

sin=opp/hyp (this is SOH, where S=sin, O=opposite and H=hypotenuse)
cos=adj/hyp (this is CAH, where c=cos, a=adjacent and H=hypotenuse)
tan=opp/adj (this is TOA, where t=tan, a=adjacent and O=opposite)

For more information about what is meant by "adjacent" and "opposite", see the problems below

You can use the equations above to determine the angle (or the sides) in any right triangle (like the figure to the right). An example of this is how to determine the size of the angle a:
right triangle

sin for a given angle in a rt triangle , cos for a given angle in a rt triangle , tan for a given angle in a rt triangle

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ตรีโกณมิติเบื้องต้นวิธีสูงชันเป็นเนินเขานี้ และมันจะล้มเหลวหรือไม่ ภูเขาที่ไม่สูง ประเภทของคำถามเหล่านี้ผุดขึ้นทั่วในสเซียน - จากแผ่นเปลือกโลกกับการที่คลื่นทะเล และพวกเขาต้องหามุมหรือระยะทาง การทำเช่นนี้ เรามักจะใช้ตรีโกณมิติ ซึ่งจะง่ายขึ้นมากเมื่อเกี่ยวข้องกับสามเหลี่ยมมุมฉากสามเหลี่ยมมุมฉากสามเหลี่ยมมุมฉาก (เช่นคนในรูปทางขวา) มีมุมหนึ่งที่เป็น 90 องศา สองมุมอื่น ๆ มักน้อยกว่า 90 ° และกันเพิ่มขึ้นถึง 90 องศา โปรดสังเกตว่า รูปสามเหลี่ยมบนด้านขวามี 3 มุม a, b และ c และ 3 ด้าน A, B และ H และ 3 มุม a, b และ c ด้าน "ตรงข้าม" มุม (ในกรณีนี้) จะติดป้ายเป็นตัวอักษรที่ตรงกับป้ายชื่อในมุม ด้านตรงข้ามมุมขวา H เป็นด้านที่ยาวที่สุด และถูกเรียกว่า hypotenuseกฎ/แนวทางสำหรับตรีโกณมิติสามเหลี่ยมขวาเราสามารถใช้อัตราส่วน (หรือผลหาร) ของความยาวของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากเพื่อทราบมุมในสามเหลี่ยมมุมฉาก อัตราส่วนตรีโกณมิติเป็นสามที่เราใช้ในสเซียนเรียกว่าไซน์ โคไซน์ และ แทนเจนต์ แม้ว่าพวกเขามักย่อ sin, cos และ ตัน ตามลำดับเนื่องจากฟังก์ชันตรีโกณมิติมาเล่า จึงควรคิดหาวิธีจำคำนิยาม สำหรับนักเรียนส่วนใหญ่ (และ ซื่อสัตย์ อาจารย์ของคุณ!) mnemonic SOH-CAH-สารบัญผู้เขียน (กล่าวว่า "ดังนั้นขาเท้าตื่นเต้น") จะเป็นประโยชน์อุปกรณ์ mnemonic ใช้ตัวอักษรตัวแรกในสมการต่อไปนี้: บาป = opp/hyp (SOH เป็นที่ S =บาป O =ตรงข้าม และ H = hypotenuse) cos =คำ วิเศษณ์/hyp (เป็น CAH, c = cos คำ =ติด และ H = hypotenuse) ตัน = opp/คำ วิเศษณ์ (นี้คือสารบัญผู้เขียน ที่ t =ตาล เป็น =ติด และ O =ตรงข้าม)ดูข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับสิ่งที่มีขึ้นโดย "ตรงข้าม" และ "ติด" ปัญหาด้านล่างคุณสามารถใช้สมการข้างต้นเพื่อกำหนดมุม (หรือด้านข้าง) ในสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ (เช่นตัวเลขทางด้านขวา) ตัวอย่างนี้คือ วิธีการกำหนดขนาดของ a:มุมสามเหลี่ยมมุมฉาก บาปสำหรับมุมในรูปสามเหลี่ยม rt, cos สำหรับเป็นมุมในการ rt สามเหลี่ยม tan สำหรับเป็นมุมในรูปสามเหลี่ยมรังสี

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

รู้เบื้องต้นเกี่ยวกับตรีโกณมิติวิธีเป็นเนินเขาสูงชันนี้และมันจะล้มเหลว? วิธีการที่สูงเป็นภูเขาที่? ประเภทของคำถามเหล่านี้ปรากฏขึ้นทั่วทุกมุมในธรณี - จากแผ่นเปลือกโลกแผนที่เพื่อคลื่นทะเลและพวกเขาต้องการให้คุณสามารถค้นหาได้ทั้งมุมหรือระยะทาง การทำเช่นนี้เรามักจะใช้ตรีโกณมิติซึ่งเป็นเรื่องง่ายเมื่อสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีส่วนเกี่ยวข้อง. สิทธิสามเหลี่ยมสามเหลี่ยม (เช่นเดียวกับในรูปด้านขวา) มีมุมหนึ่งที่เป็น 90 ° อีกสองมุมมักจะน้อยกว่า 90 °และร่วมกันเพิ่มขึ้นถึง 90 ° โปรดทราบว่ารูปสามเหลี่ยมด้านขวามี 3 มุม, B และ C และ 3 ด้าน, B และ H, และ 3 มุม, B และ C ด้าน "ตรงข้าม" มุม (ในกรณีนี้) มีป้ายที่มีอักษรตัวใหญ่ตรงกับฉลากบนมุม ด้านตรงข้ามมุมฉาก, H, เสมอด้านที่ยาวที่สุดและถูกเรียกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก. กฎบาง / แนวทางในการตรีโกณมิติของรูปสามเหลี่ยมที่เหมาะสมเราสามารถใช้อัตราส่วน (หรือความฉลาดทาง) ของความยาวของด้านสามเหลี่ยมสิทธิที่จะคิดออก ในมุมสามเหลี่ยม สามอัตราส่วนตรีโกณมิติที่เราใช้ในธรณีจะเรียกว่าไซน์โคไซน์และสัมผัสแม้ว่าพวกเขาจะบาปยากมักจะ cos, และสีน้ำตาลตามลำดับ. เพราะฟังก์ชันตรีโกณมิติเกิดขึ้นซ้ำแล้วซ้ำมันเป็นความคิดที่ดี คิดหาวิธีที่จะจำคำจำกัดความของพวกเขา (และจะซื่อสัตย์อาจารย์ของคุณ) สำหรับนักเรียนส่วนใหญ่จำ SOH-CAH-TOA (กล่าวว่า "สิ่งที่คานิ้วเท้าอ่า") จะเป็นประโยชน์. ใช้อุปกรณ์ช่วยในการจำตัวอักษรตัวแรกในสมการต่อไปนี้: บาป = OPP / HYP (นี่คือ SOH ที่ S = บาป O = ตรงข้ามและ H = ด้านตรงข้ามมุมฉาก) = cos adj / HYP (นี่คือ CAH ที่ c = cos, = อยู่ติดกันและ H = ด้านตรงข้ามมุมฉาก) สีน้ำตาล = OPP / adj ( นี้เป็น TOA ที่ t = สีน้ำตาล, = อยู่ติดกันและ O = ตรงข้าม) สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับสิ่งที่หมายโดย "ที่อยู่ติดกัน" และ "ตรงข้าม" เห็นปัญหาดังต่อไปนี้คุณสามารถใช้สมการข้างต้นเพื่อกำหนดมุม (หรือ ด้าน) ในรูปสามเหลี่ยมใด ๆ ที่เหมาะสม (เช่นรูปด้านขวา) นี่คือตัวอย่างของวิธีการตรวจสอบขนาดของมุม: สามเหลี่ยมมุมฉากบาปได้รับในมุมสามเหลี่ยม RT, cos สำหรับมุมที่กำหนดในรูปสามเหลี่ยม RT น้ำตาลสำหรับมุมที่กำหนดในรูปสามเหลี่ยม RT

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับวิชาตรีโกณมิติ

ว่าชันเป็นเนินเขานี้และมันล้มเหลว ภูเขานั้นสูงเท่าไหร่ ? เหล่านี้ประเภทของคำถามที่ปรากฏขึ้นทั่วในธรณี - จากเง็กเซียนฮ่องเต้ให้แผนที่กับคลื่นทะเล และพวกเขาต้องการให้คุณเพื่อหามุมหรือระยะทาง ทำแบบนี้ เรามักจะใช้ตรีโกณมิติซึ่งเป็นเรื่องง่ายเมื่อสามเหลี่ยมมุมฉาก เกี่ยวข้อง สามเหลี่ยมด้านขวา

สามเหลี่ยมขวา ( เหมือนในรูปด้านขวา ) มีมุมที่ 90 องศา . อีกสองมุมเสมอน้อยกว่า 90 องศาและเพิ่มได้ถึง 90 องศา . หมายเหตุว่า สามเหลี่ยมบนขวามี 3 มุม A , B และ C และ 3 ด้าน , A , B , และ H และ 3 มุม A , B และ C . ด้าน " ตรงข้าม " มุม ( ในกรณีนี้ ) เป็นข้อความด้วยตัวอักษรที่สอดคล้องกับฉลากมุมด้านตรงข้ามมุมฉาก , H , เสมอ ด้านที่ยาวที่สุดและเรียกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก

บางกฎแนวทางตรีโกณมิติของสามเหลี่ยมขวา

เราสามารถใช้อัตราส่วน ( หรือหาร ) ของความยาวของด้านขวาของสามเหลี่ยมด้านข้างเพื่อหามุมในสามเหลี่ยมขวา 3 . อัตราส่วนตรีโกณมิติ ที่เราใช้ในธรณี จะเรียกว่า ไซน์ , โคไซน์และแทนเจนต์ ,ถึงแม้ว่าพวกเขามักจะย่อ sin , cos และ tan ตามลำดับ

เพราะฟังก์ชันตรีโกณมิติมามากกว่า , มันเป็นความคิดที่ดีที่จะคิดออกวิธีที่จะจำความหมายของพวกเขา สำหรับนักเรียนส่วนใหญ่ ( และจะซื่อสัตย์ , อาจารย์ ! ) การ soh-cah-toa mnemonic ( บอกว่า " ข้าเท้าอ่า " ) เป็นประโยชน์ .
อุปกรณ์ mnemonic ใช้ตัวอักษรตัวแรกในสมการต่อไปนี้