The following remarks are prompted

The following remarks are prompted by Joti Rockwell’s interesting article, “Birdcage Flights: A Perspective on Inter-Cardinality Voice Leading” (2009). My goal is not to take issue with Rockwell’s specific claims but rather to underscore a few details that might escape the casual reader’s attention. In particular, I want to stress three basic points.

Rockwell’s discrete “birdcage graphs,” which represent efficient voice leadings between chords of different sizes, can be embedded within the infinite-dimensional “OPC space” discussed by Callender, Quinn, and myself.(1) In general, discrete voice-leading graphs can always be embedded within the continuous spaces we describe.

Because of this, Rockwell’s graphs inherit some of the complications of C space, and may distort voice-leading relationships among nonadjacent chords.

This is actually symptomatic of a more general issue affecting a variety of music-theoretical graphs. Roughly speaking, we have no guarantee that graphs whose edges refer to musical motions of a particular type will give rise to an intuitive or familiar notion of “distance” between nonadjacent chords.
[2] This last item is significant because theorists sometimes seem to endorse the following methodology. First, one selects some interesting domain of musical objects and some interesting set of motions among them. (For example, single-voice voice-leading between major and minor triads.) Second, one constructs a graph representing all of these motions between all the objects in question. Third, one interprets the resulting graph as providing a measure of distance. Thus, for example, one might use the graph to analyze music that moves between non-adjacent chords, or claim that larger leaps on the graph are musically disfavored in some way.

[3] This last step, however, involves a subtle leap. Consider, for example, the familiar Tonnetz (Figure 1).(2) Two chords are adjacent on this graph if they can be linked by what Cohn calls “parsimonious voice leading”: voice leading in which a single voice moves, and it moves by just one or two semitones (Cohn 1996). However, larger distances in the space do not faithfully mirror voice-leading facts. On the Tonnetz, C major is two units away from F major but three units from F minor—even though it takes just two semitones of total motion to move from C major to F minor, and three to move from C major to F major (Figure 2). (This is precisely why F minor so often appears as a passing chord between F major and C major.) It follows that we cannot use the Tonnetz to explain the ubiquitous nineteenth-century IV-iv-I progression, in which the two-semitone motion → is broken into the semitonal steps →→. More generally, it shows that Tonnetz-distances do not correspond to voice-leading distances in any straightforward way (Tymoczko 2009).

Figure 1. The Tonnetz

Figure 1 thumbnail

(click to enlarge)

Figure 2

Figure 2 thumbnail

(click to enlarge and see the rest)

[4] Note that the problem persists even if we try to reinterpret the Tonnetz as representing common tones rather than voice leading: both F minor and E minor are three Tonnetz-steps away from C major, even though C major and F minor have one common tone, while C major and E minor have none. (As before, shorter distances are easier to interpret: two chords are adjacent on the Tonnetz if they have two common tones, and any pair of chords that are two steps away will share exactly one common tone.) Thus, neither voice leading nor common tones allow us to characterize Tonnetz distances precisely. We seem forced to say that Tonnetz-distances represent simply the number of parsimonious moves needed to get from one chord to another—and not some more familiar music-theoretical quality.

[5] From this point of view, there is a fundamental difference between the Tonnetz and Douthett and Steinbach’s “Cube Dance” (Douthett and Steinbach 1998). (Figure 3) Like the Tonnetz, “Cube Dance” depicts a collection of local moves, in this case the single-semitone voice leadings between major, minor, and augmented triads. (On Douthett and Steinbach’s graph, descending semitonal motion is represented by clockwise steps, while ascending semitonal motion is represented by counterclockwise steps.) Unlike the Tonnetz, however, “Cube Dance” also faithfully models voice-leading distances between non-adjacent chords; in fact, any clockwise or counterclockwise path on “Cube Dance” can be associated with a particular voice leading, with the length of the path (as measured in edges) corresponding to the size of the voice leading (as measured according to “taxicab distance,” or the total number of semitonal steps in all voices). Compared to the Tonnetz, then, “Cube Dance” is a more genuinely geometrical, modeling musically familiar distances between nonadjacent objects. To be sure, this distinction may not be intuitively obvious on first inspection. In fact, the difference between these two sorts of graphs only became clear after theorists discovered how to construct the n-dimensional spaces representing all possible n-voice voice-leadings between all possible n-note chords.(3)

Figure 3. Douthett and Steinbach’s “Cube Dance”

Figure 3 thumbnail

(click to enlarge and see the rest)

Figure 4. Rockwell’s “Birdcage Graph”

Figure 4 thumbnail

(click to enlarge)

[6] With this distinction in mind, let’s now turn to Rockwell’s “birdcage graphs.” Figure 4, which is reproduced from Rockwell’s article, connects dominant seventh chords and minor triads if they can be linked by voice leading in which two voices move by semitone. Thus A7 and C minor are adjacent because they can be linked the “augmented sixth” voice leading (A, C, E, G)→(G, C, E, G), and C minor and A minor are adjacent because they can be connected by the voice leading (C, E, G)→(C, E, A). But notice that the larger distances are not so easy to interpret: A7 and C7 are both equidistant from A minor, even though the minimal voice leading from A7 to A minor, (A, C, E, G)→(A, C, E, A), involves three semitones of total motion, while the minimal voice leading from C7 to A minor, (C, E, G, B)→(C, E, A, C), involves four. Thus, though single-edge motions on Rockwell’s graph refer to a particular sort of voice leading (single-semitone motion in two distinct voices), the two-edge motions do not. Figure 5 shows that this is because there are various ways to combine the graph’s voice leadings: in Figure 5(a) the two motions in the bass cancel out, while in Figure 5(b) no such cancellation occurs.

[7] The problem here is symptomatic of a larger issue, namely that it is difficult to represent voice-leading relations between chords of different sizes. Importantly, this is as true for discrete graphs as it is for “C space” in all its infinite-dimensional glory. For another example, consider Figure 6, which faithfully depicts single-semitone voice leadings between chromatic clusters, semitones, and single notes. (On this graph, two chords are adjacent if they can be linked by a voice-leading in which some notes are doubled, and in which one voice moves by one semitone.) However, the larger distances again diverge from voice leading distances: the graph depicts {F, G, A} (=678) and {C, D, E} (=123) as being seven edges away from one another, even though the minimal voice leading between them involves at least fifteen total semitones of motion.(4) A central conclusion of Callender, Quinn, and Tymoczko (2008) is that similar problems will inevitably appear as we try to subsume more and more chords (of differing sizes) within our graphs: to obtain completeness without sacrificing contrapuntal fidelity, we must restrict ourselves to multisets of some particular size.

[8] The broader moral is that we should take care to distinguish two different sorts of music-theoretical models. The first represents only a collection of local relationships: at any point in the space, it shows us all the available “moves” of a certain kind. (Here we might think of a subway map that shows which stations are adjacent to any other station.) The second type may do this as well, but it also captures some familiar notion of distance between all the objects it represents—even those that are not immediately adjacent on the graph. The important point is that we have no guarantee that any particular notion of musical distance will necessarily give rise to any coherent geometry of this second sort. (It is, for example, quite difficult to construct a geometrical space whose points represent major and minor triads, and in which distance represents the number of common tones.) Nor, conversely, can we be sure that a particular collection of local moves give rise to a familiar notion of musical distance. From this point of view, the remarkable fact is that we can construct coherent geometries in the special case where we are concerned with voice leading among multisets of a fixed size.

Figure 5. The voice leadings on Rockwell’s graph can be combined in multiple nonequivalent ways

Figure 5 thumbnail

(click to enlarge)

Figure 6

Figure 6 thumbnail

(click to enlarge)

[9] Of course, none of this is meant as a criticism of Rockwell, or as an objection to his useful graphical constructions. My point, rather, is that we need caution when interpreting the sorts of structures he describes. Some graphs are useful primarily insofar as they depict a collection of local moves, while others give rise to a more complex geometry, and the difference may not always apparent upon casual inspection.

Return to beginning
Dmitri Tymoczko
Princeton University
[e-mail]

Return to beginning
Works Cited

Callender, Clifton, Ian Quinn, and Dmitri Tymoczko. 2008. “Generalized Voice Leading Spaces,” Science 320: 346–348.

Cohn, Richard. 1996. “Maximally Smooth Cycles, Hexatonic Systems, and the Analysis of Late-Romantic Triadic Progressions.” Music Analysis

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

หมายเหตุต่อไปนี้ได้รับการพร้อมท์ โดย Joti ร็อคเวลล์บทความน่าสนใจ "Birdcage เที่ยวบิน: A มุมมองบนจำนวนนับระหว่างเสียงชั้นนำ" (2009) เป้าหมายของฉันคือ ไม่ใช้ปัญหาของร็อคเวลล์ร้องเฉพาะ แต่ค่อนข้างเน้นรายละเอียดบางอย่างที่อาจหลบหนีความสนใจของผู้อ่านสบาย ๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ฉันต้องการความเครียดจุดพื้นฐาน 3ร็อคเวลล์ของแยกกัน "กราฟ birdcage ซึ่งหมายถึง leadings เสียงมีประสิทธิภาพระหว่าง chords ขนาดแตกต่างกัน สามารถฝังอยู่ภายในอนันต์มิติ"OPC พื้นที่"กล่าว โดย Callender ควินน์ และตัวเองได้(1) ทั่วไป กราฟเสียงนำเดี่ยว ๆ สามารถเสมอฝังไว้ภายในพื้นที่อย่างต่อเนื่องที่เราอธิบาย นี้ กราฟของร็อคเวลล์ตัวภาวะแทรกซ้อนของพื้นที่ C และอาจทำให้นำเสียงสัมพันธ์ chords ไม่ นี้เป็นจริงอาการของปัญหาทั่วไปที่ส่งผลกระทบต่อความหลากหลายของเพลงทฤษฎีกราฟ พูดหยาบ ๆ เราได้รับประกันว่า กราฟขอบหมายถึงเคลื่อนไหวดนตรีชนิดหนึ่ง ๆ จะปรากฏเป็นความง่าย หรือความคุ้นเคยของ "ระยะห่าง" ระหว่าง chords ไม่ติดกัน[2] รายการสุดท้ายนี้เป็นสำคัญ เพราะ theorists บางครั้งดูเหมือนจะ สนับสนุนวิธีต่อไปนี้ ครั้งแรก หนึ่งเลือกโดเมนวัตถุดนตรีบางอย่างน่าสนใจและบางชุดดังในหมู่พวกเขาที่น่าสนใจ (ตัวอย่าง นำเสียงเดียวเสียงระหว่างวันหลัก และรอง) สอง หนึ่งสร้างเป็นกราฟที่แสดงการเคลื่อนไหวเหล่านี้ระหว่างวัตถุทั้งหมดในคำถามทั้งหมด ที่สาม หนึ่งแปลกราฟผลลัพธ์เป็นการให้การวัดระยะทาง ดังนั้น เช่น หนึ่งอาจใช้กราฟในการวิเคราะห์เพลงที่ย้ายระหว่าง chords ไม่ติดกัน หรืออ้างว่า leaps ใหญ่บนกราฟมีไนท์คลับ disfavored ในบางวิธี[3] ขั้นตอนสุดท้ายนี้ ไร เกี่ยวข้องกับการกระโดดอย่างลงตัว พิจารณา เช่น Tonnetz คุ้นเคย (รูปที่ 1)(2) chords สองอยู่ติดกันบนกราฟนี้ถ้าพวกเขาสามารถเชื่อมโยงติดต่อคอห์นอะไร "เสียง parsimonious ที่นำ": เสียงชั้นนำที่ย้ายเสียงเดียว และมันเคลื่อนไปเพียงหนึ่ง หรือสอง semitones (คอห์น 1996) อย่างไรก็ตาม ขนาดใหญ่ระยะทางในพื้นที่ไม่ faithfully สะท้อนเสียงนำข้อเท็จจริง Tonnetz, C ที่สำคัญมีสองหน่วยจากหลักแต่หน่วยสามจากรอง F F — แม้ว่าใช้ semitones สองประการของการเคลื่อนไหวทั้งหมดจะย้ายจากหลัก C F รอง และ 3 ย้ายจาก C หลักการสำคัญ F (รูปที่ 2) (นี้เป็นทำไม F รองดังนั้นมักปรากฏเป็นคอร์ดผ่านระหว่างหลัก F และ C หลัก) เป็นไปตามที่เราไม่สามารถใช้ Tonnetz ที่อธิบายแพร่หลายศตวรรษปั้นจั่น IV-iv-ฉันความก้าวหน้า ซึ่ง→ 2 semitone เคลื่อนไหวจะแบ่ง→→ semitonal ขั้นตอน เพิ่มเติมโดยทั่วไป มันแสดงว่า ระยะทาง Tonnetz ไม่ตรงกับเสียงชั้นนำระยะทางในทางตรง (Tymoczko 2009)รูปที่ 1 Tonnetzรูปที่ 1 รูปขนาดย่อ(คลิกเพื่อดูภาพขยาย)รูปที่ 2รูปที่ 2 รูปขนาดย่อ(คลิกเพื่อขยาย และดูส่วนเหลือ)[4] หมายเหตุว่า ปัญหายังคงอยู่แม้ว่าเราพยายาม reinterpret Tonnetz เป็นแทนเสียงทั่วไป มากกว่าที่นำเสียง: F ทั้งรอง และอีเล็กน้อยมีสาม Tonnetz-ก้าวสำคัญ C แม้ว่าหลัก C และ F รองมีหนึ่งเสียงทั่วไป ในขณะที่หลัก C และ E รองมีไม่ (ก่อน ระยะทางที่สั้นกว่าจะง่ายต่อการตีความ: chords สองอยู่ติดกันบน Tonnetz ถ้าพวกเขามีสองโทนสีทั่วไป chords ที่สองกี่คู่ใด ๆ จะแบ่งปันเสียงเดียวทั่วไป) ดังนั้น เสียงไม่นำ หรือโทนสีทั่วไปให้เรากำหนดลักษณะ Tonnetz ความแม่นยำ เราดูเหมือนบังคับให้พูดว่า Tonnetz ระยะทางหมายถึงเพียงแค่จำนวนย้าย parsimonious ที่จะได้จากคอร์ดหนึ่งไปยังอีกตัว และคุณภาพไม่บางคุ้นเพลงทฤษฎีการ[5] จากแง่มุมนี้ มีความแตกต่างพื้นฐานระหว่าง Tonnetz และ Douthett และ Steinbach ของ "Cube แดนซ์" (Douthett และ Steinbach ปี 1998) (รูปที่ 3) เช่น Tonnetz, "Cube เต้น" มีภาพคอลเลกชันของการย้ายถิ่น ในกรณีนี้ semitone เดียวเสียง leadings ระหว่างวันหลัก รอง และออกเมนต์ (ในกราฟของ Steinbach และ Douthett น้อยเคลื่อนไหว semitonal แสดงตามขั้นตอนตามเข็มนาฬิกา ขณะเรียง semitonal เคลื่อนไหวจะแสดงตอนทวนเข็มนาฬิกา) ซึ่งแตกต่างจาก Tonnetz อย่างไรก็ตาม "เต้น Cube" ยัง faithfully รุ่นระยะทางนำเสียงระหว่าง chords ไม่ติดกัน ในความเป็นจริง มีเส้นทางตามเข็มนาฬิกา หรือทวนเข็มนาฬิกาบน "Cube เต้น" สามารถเชื่อมโยงกับเสียงเฉพาะชั้นนำ ความยาวของการเส้นทาง (เป็นวัดในขอบ) ที่สอดคล้องกับขนาดของเสียงที่นำ (เป็นวัด "taxicab ห่าง" หรือจำนวนขั้นตอน semitonal ในเสียงทั้งหมด) เมื่อเทียบกับ Tonnetz แล้ว "Cube เต้น" เป็นระยะทางคุ้นเคยไนท์คลับ geometrical มากจริงใจ การสร้างโมเดลระหว่างวัตถุหลาย เพื่อให้แน่ใจ ความแตกต่างไม่ได้สังหรณ์ใจชัดเจนในการตรวจสอบครั้งแรก ในความเป็นจริง ความแตกต่างระหว่างประเภทกราฟเหล่านี้สองเท่ากลายเป็นชัดเจนหลังจาก theorists ค้นพบวิธีการสร้างช่องว่างมิติ n ที่แสดงทั้งหมดเป็นเสียง n เสียง-leadings ระหว่าง chords n หมายเหตุได้ทั้งหมด(3)รูปที่ 3 Douthett และ Steinbach ของ "Cube แดนซ์"รูปที่ 3 รูปขนาดย่อ(คลิกเพื่อขยาย และดูส่วนเหลือ)รูปที่ 4 ของร็อคเวลล์ "Birdcage กราฟ"รูปที่ 4 รูปขนาดย่อ(คลิกเพื่อดูภาพขยาย)[6] มีความแตกต่างในใจ ลองตอนนี้เปิดให้ของร็อคเวลล์ "birdcage กราฟ" รูปที่ 4 ซึ่งเป็นการทำซ้ำจากบทความของร็อคเวลล์ เชื่อมต่อ chords เจ็ดหลัก และรองวันย้ายถ้าพวกเขาสามารถเชื่อมโยง โดยนำในเสียงที่ 2 เสียง โดย semitone ดังนั้น A7 และ C รองอยู่ติดกันเนื่องจากพวกเขาสามารถเชื่อมโยง "ออกเมนต์หก" เสียงนำ (A, C, E, G) → (G, C, E, G), และ C รอง และวิชารองอยู่ติดกันเนื่องจากสามารถเชื่อมต่อได้ โดยเสียงนำ (C, E, G) → (C, E, A) แต่สังเกตที่ความใหญ่ไม่ง่ายแปล: A7 และ C7 มีทั้งกั้นจากเด็กอมมือ แม้เสียงน้อยที่สุดที่นำจาก A7 เด็กอมมือ, (A, C, E, G) → (A, C, E, A), เกี่ยวข้องกับ semitones ที่สามของการเคลื่อนไหวทั้งหมด ในขณะที่เสียงน้อยที่สุดที่นำจาก C7 ให้เด็กอมมือ, (C, E, G, B) → (C, E, A, C), 4 เกี่ยวข้องกับการ ดังนั้น แม้ว่าขอบเดียวดังในกราฟของร็อคเวลล์ถึงการเรียงลำดับการนำเสียง (semitone เดียวเคลื่อนไหวในเสียงทั้งสอง), ดังสองขอบไม่ รูปที่ 5 แสดงว่า เป็น เพราะมีหลายวิธีการรวม leadings เสียงของกราฟ: ในรูป 5(a) ดังสองในเบสยกเลิก ในขณะที่ในรูป 5(b) ไม่มีการยกเลิกดังกล่าวเกิดขึ้น[7] ปัญหานี่คืออาการของปัญหาที่ใหญ่กว่า คือว่า มันเป็นเรื่องยากถึงเสียงนำความสัมพันธ์ระหว่าง chords ขนาดแตกต่างกัน สำคัญ นี้จะเป็นจริงสำหรับกราฟที่ไม่ต่อเนื่องเพราะเป็น "พื้นที่ C" ในเกียรติอนันต์มิติทั้งหมด ตัวอย่างอื่น พิจารณา 6 รูปที่มีภาพเสียงเดียว semitone leadings ระหว่างคลัสเตอร์เครื่องตั้งสาย semitones และบันทึกย่อเดียว faithfully (ในกราฟนี้ chords สองจะอยู่ติดกันสามารถเชื่อมโยงได้ โดยเสียงผู้นำ ในการบันทึกบางเป็นสองเท่า และเสียงที่หนึ่งเคลื่อนไปหนึ่ง semitone) อย่างไรก็ตาม ความใหญ่ diverge จากเสียงนำระยะทางอีก: กราฟแสดงให้เห็น {F, G, A } (= 678) {C, D, E } และ (= 123) เป็น ขอบที่เจ็ดจากกัน แม้ว่าเสียงน้อยนำระหว่างน้อย 15 semitones รวมของการเคลื่อนไหวที่เกี่ยวข้องกับการ(4) สรุปเซ็นทรัล Callender ควินน์ และ Tymoczko (2008) อยู่ที่ปัญหาที่คล้ายกันย่อมจะเป็นเราพยายาม subsume chords มาก (ของขนาดแตกต่างกัน) กราฟของเรา: รับครบถ้วนโดยไม่สูญเสียคุณภาพ contrapuntal เราต้องจำกัดตนเอง multisets ขนาดเฉพาะบางอย่าง[8] ศีลธรรมกว้างขึ้นได้ว่า เราควรดูแลเพื่อแยกประเภทแตกต่างกันสองรุ่นเพลงทฤษฎี ครั้งแรกแสดงเฉพาะคอลเลกชันของความสัมพันธ์ภายใน: เมื่อใดก็ได้ในช่องว่าง มันแสดงให้เราเห็นทั้งหมดว่าง "ย้าย" ของบางอย่าง (นี่เราคิดของแผนที่รถไฟใต้ดินที่สถานีใดอยู่ติดกับสถานีอื่น) ชนิดที่สองอาจทำเช่นนี้เช่นกัน แต่ยังจับบางความคุ้นเคยของระยะห่างระหว่างวัตถุทั้งหมดที่แสดงโดยแม้แต่ผู้ที่ไม่ติดกันทันทีในกราฟ จุดสำคัญอยู่ที่เรามีการรับประกันไม่ว่า ระยะทางดนตรีโดยเฉพาะความจำจะปรากฏเรขาคณิตใด ๆ coherent ของประเภทที่สองนี้ (มัน เป็น ตัวอย่าง ค่อนข้างยากที่จะสร้างพื้นที่ geometrical จุดแสดงหลัก และรองวัน และในระยะที่แสดงหมายเลขของเสียงทั่วไป) ไม่ ในทางกลับกัน เราสามารถมั่นใจได้ว่า ชุดเฉพาะของย้ายถิ่นให้สูงขึ้นเพื่อความคุ้นเคยของระยะทางดนตรี จากมุมนี้มอง ความจริงที่น่าทึ่งคือ ว่า เราสามารถสร้างรูปทรงเรขาคณิต coherent ในกรณีพิเศษที่เรามีความกังวลกับเสียงชั้นนำใน multisets ขนาดถาวรรูปที่ 5 Leadings เสียงบนกราฟของร็อคเวลล์รวมหลายวิธี nonequivalentรูปที่ 5 รูปขนาดย่อ(คลิกเพื่อดูภาพขยาย)รูปที่ 6รูปที่ 6 ภาพ(คลิกเพื่อดูภาพขยาย)[9] ของหลักสูตร เรื่องนี้เป็นความหมาย เป็นวิจารณ์ของร็อคเวลล์ หรือข้อคัดค้านการก่อสร้างเป็นรูปภาพของเขามีประโยชน์ จุดของฉัน เป็น คือ ว่า เราต้องระวังเมื่อตีความเรียงของเขาอธิบายโครงสร้าง กราฟบางอย่างมีประโยชน์หลัก insofar เป็นคอลเลกชันของการย้ายถิ่น ใน ขณะที่คนอื่น ๆ ให้ขึ้นรูปทรงเรขาคณิตที่ซับซ้อน และความแตกต่างอาจไม่เสมอปรากฏเมื่อตรวจสอบไม่เป็นทางการ กลับสู่จุดเริ่มต้น Dmitri Tymoczkoมหาวิทยาลัยปรินซ์ตัน[e-mail] กลับสู่จุดเริ่มต้น อ้างการทำงานCallender คลิฟตั้น เอียนควินน์ และ Dmitri Tymoczko 2008. "เสียงเมจแบบทั่วไปนำช่องว่าง วิทยาศาสตร์ 320:346-348คอห์น ริชาร์ด 1996. "maximally เรียบรอบ ระบบ Hexatonic และการวิเคราะห์ของสายโรแมนติก Triadic ก้าวหน้า" การวิเคราะห์เพลง

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ข้อสังเกตต่อไปนี้จะได้รับแจ้งจากโชติ Rockwell ของบทความที่น่าสนใจ "กรงเที่ยวบิน: มุมมองระหว่าง Cardinality เสียงชั้นนำ" (2009) เป้าหมายของฉันคือการที่จะไม่ใช้ปัญหากับการเรียกร้องที่เฉพาะเจาะจงของ Rockwell แต่จะเน้นรายละเอียดบางอย่างที่อาจจะหลบหนีความสนใจของผู้อ่านลำลอง โดยเฉพาะอย่างยิ่งผมต้องการที่จะเน้นสามจุดพื้นฐาน. ถอดแบบไม่ต่อเนื่อง "กราฟกรงนก" ซึ่งเป็นตัวแทน leadings เสียงที่มีประสิทธิภาพระหว่างคอร์ดที่มีขนาดแตกต่างกันสามารถฝังอยู่ในมิติที่ไม่มีที่สิ้นสุด "พื้นที่ OPC" หารือ Callender ควินน์และตัวผมเอง (1) โดยทั่วไปกราฟเสียงชั้นนำที่ไม่ต่อเนื่องเสมอสามารถฝังตัวอยู่ในพื้นที่อย่างต่อเนื่องเราจะอธิบาย. ด้วยเหตุนี้กราฟและ Rockwell รับมรดกบางส่วนของภาวะแทรกซ้อนของพื้นที่ C และอาจบิดเบือนความสัมพันธ์เสียงชั้นนำในหมู่คอร์ดไม่ติดกัน. นี้เป็น อาการจริงของปัญหาทั่วไปมากขึ้นส่งผลกระทบต่อความหลากหลายของกราฟเพลงทฤษฎี พูดประมาณเรามีการรับประกันว่ากราฟที่มีขอบอ้างถึงการเคลื่อนไหวของดนตรีประเภทใดประเภทหนึ่งจะก่อให้เกิดความคิดง่ายหรือคุ้นเคยของ "ระยะทาง" ระหว่างคอร์ดไม่ติดกัน. [2] รายการสุดท้ายนี้เป็นสิ่งสำคัญเพราะนักทฤษฎีบางครั้งดูเหมือนจะรับรอง วิธีการดังต่อไปนี้ ขั้นแรกให้เลือกหนึ่งที่น่าสนใจบางโดเมนของวัตถุดนตรีและบางชุดที่น่าสนใจของการเคลื่อนไหวในหมู่พวกเขา (ตัวอย่างเช่นเสียงเดียวเสียงชั้นนำระหว่าง triads ใหญ่และรายย่อย.) ประการที่สองหนึ่งสร้างกราฟที่เป็นตัวแทนของการเคลื่อนไหวเหล่านี้ระหว่างวัตถุทั้งหมดที่อยู่ในคำถาม ประการที่สามหนึ่งตีความกราฟผลกับการให้การวัดระยะห่าง ดังนั้นสำหรับตัวอย่างเช่นหนึ่งอาจใช้กราฟในการวิเคราะห์เพลงที่ย้ายระหว่างคอร์ดไม่ติดหรืออ้างว่า leaps ใหญ่บนกราฟจะ disfavored ดนตรีในบางวิธี. [3] นี้ขั้นตอนสุดท้าย แต่เกี่ยวข้องกับการก้าวกระโดดที่ลึกซึ้ง พิจารณาเช่น Tonnetz คุ้นเคย (รูปที่ 1) (2) คอร์ดสองอยู่ติดบนกราฟนี้หากพวกเขาสามารถเชื่อมโยงกับสิ่งที่ Cohn เรียกว่า "เสียงประหยัดชั้นนำ". เสียงชั้นนำที่มีการย้ายเสียงเดียวและมันเคลื่อน โดยเพียงแค่หนึ่งหรือสองครึ่งเสียง (Cohn 1996) แต่ระยะทางที่มีขนาดใหญ่ในพื้นที่ที่ไม่ได้นับถือสะท้อนข้อเท็จจริงเสียงชั้นนำ ใน Tonnetz, C ที่สำคัญคือทั้งสองหน่วยงานออกไปจากเอฟเมเจอร์ แต่สามหน่วยจาก F-เล็กน้อยแม้ว่ามันจะใช้เวลาเพียงสองครึ่งเสียงของการเคลื่อนไหวทั้งหมดที่จะย้ายจาก C ที่สำคัญใน F เล็กน้อยและสามที่จะย้ายจาก C ที่สำคัญในเอฟเมเจอร์ ( รูปที่ 2) (นี่คือเหตุผลที่แม่นยำ F เล็กน้อยจึงมักจะปรากฏเป็นคอร์ดผ่านระหว่างเอฟเมเจอร์สำคัญและ C.) มันเป็นไปตามที่เราไม่สามารถใช้ Tonnetz ที่จะอธิบายแพร่หลายศตวรรษที่สิบเก้า IV-IV-I ความก้าวหน้าซึ่งในสองดนตรี- →การเคลื่อนไหวถูกแบ่งออกเป็นขั้นตอน semitonal →→ โดยทั่วไปก็แสดงให้เห็นว่า Tonnetz-ระยะทางไม่ตรงกับเสียงชั้นนำระยะทางในทางที่ตรงไปตรงมาใด ๆ (Tymoczko 2009). รูปที่ 1 Tonnetz รูปที่ 1 รูปขนาดย่อ(คลิกเพื่อดูภาพขยาย) รูปที่ 2 รูปที่ 2 แสดงภาพย่อ(คลิกเพื่อขยายและดู ส่วนที่เหลือ) [4] โปรดทราบว่าปัญหายังคงอยู่แม้ว่าเราจะพยายามที่จะตีความหมาย Tonnetz เป็นคิดเป็นโทนสีที่พบบ่อยมากกว่าเสียงชั้นนำทั้ง f น้อยและรอง E สาม Tonnetz-ก้าวจากเมเจอร์แม้ว่า C ที่สำคัญและ F รองลงมามีโทนสีหนึ่งที่พบบ่อยในขณะที่ C เล็กน้อยที่สำคัญและ E ไม่มี (เมื่อก่อนระยะสั้นจะง่ายต่อการตีความสองคอร์ดอยู่ติดกับ Tonnetz ถ้าพวกเขามีสองเสียงทั่วไปและคู่ของคอร์ดใด ๆ ที่มีสองขั้นตอนจะแบ่งปันออกไปอีกหนึ่งเสียงที่พบบ่อย.) ดังนั้นเสียงไม่ชั้นนำทั่วไปหรือ เสียงช่วยให้เราสามารถลักษณะระยะ Tonnetz อย่างแม่นยำ เราดูเหมือนจะบังคับให้บอกว่า Tonnetz-ระยะทางเพียงแค่เป็นตัวแทนของจำนวนของการเคลื่อนไหวประหยัดที่จำเป็นที่จะได้รับจากที่หนึ่งไปยังอีกคอร์ด-และไม่บางเพลงที่มีคุณภาพทฤษฎีที่คุ้นเคยมากขึ้น. [5] จากมุมมองนี้มีความแตกต่างพื้นฐานระหว่าง Tonnetz และ Douthett และ Steinbach ของ "แดนซ์คิวบ์" (Douthett และ Steinbach 1998) (รูปที่ 3) เช่นเดียวกับ Tonnetz "Cube เต้นรำ" แสดงให้เห็นคอลเลกชันของการเคลื่อนไหวในท้องถิ่นในกรณีนี้ leadings เสียงเดียวระหว่างดนตรีที่สำคัญรองลงมาและ triads เพิ่ม (ใน Douthett และกราฟ Steinbach ของลงเคลื่อนไหว semitonal เป็นตัวแทนจากขั้นตอนตามเข็มนาฬิกาในขณะที่น้อยไปหามากเคลื่อนไหว semitonal เป็นตัวแทนจากทวนขั้นตอน.) ซึ่งแตกต่างจาก Tonnetz อย่างไรก็ตาม "Cube เต้นรำ" นอกจากนี้ยังมีรูปแบบการนับถือระยะทางเสียงชั้นนำระหว่างคอร์ดไม่ติด; ในความเป็นจริงใด ๆ ตามเข็มนาฬิกาหรือทวนเข็มนาฬิกาบนเส้นทาง "เต้นรำ Cube" สามารถเชื่อมโยงกับเสียงเฉพาะชั้นนำที่มีความยาวของเส้นทาง (วัดในขอบ) ที่สอดคล้องกับขนาดของเสียงชั้นนำ (วัดตามที่ "ระยะทางที่รถแท็กซี่ "หรือจำนวนรวมของขั้นตอน semitonal ในเสียงทั้งหมด) เมื่อเทียบกับ Tonnetz แล้ว "เต้นรำ Cube" เป็นอีกทางเรขาคณิตอย่างแท้จริง, การสร้างแบบจำลองในระยะทางที่คุ้นเคยดนตรีระหว่างวัตถุที่ไม่ติดกัน เพื่อให้แน่ใจว่าความแตกต่างนี้อาจจะไม่เป็นอย่างสังหรณ์ใจที่เห็นได้ชัดในการตรวจสอบครั้งแรก ในความเป็นจริงความแตกต่างระหว่างทั้งสองประเภทของกราฟเท่านั้นก็เห็นได้ชัดเจนหลังจากที่นักทฤษฎีค้นพบวิธีการสร้าง n มิติช่องว่างที่เป็นตัวแทนเป็นไปได้ทั้งหมด n-เสียงเสียง leadings ระหว่างคอร์ด n-note ที่เป็นไปได้. (3) รูปที่ 3 Douthett และ Steinbach ของ "Cube เต้นรำ" รูปที่ 3 ภาพขนาดย่อ(คลิกเพื่อขยายและเห็นส่วนที่เหลือ) รูปที่ 4 และ Rockwell "กรงกราฟ" รูปที่ 4 รูปขนาดย่อ(คลิกเพื่อดูภาพขยาย) [6] กับความแตกต่างในใจนี้ขอตอนนี้หันไปถอดแบบ "กราฟกรงนก . "รูปที่ 4 ซึ่งเป็นที่ทำซ้ำ ๆ จากบทความของ Rockwell เชื่อมต่อคอร์ดที่เจ็ดโดดเด่นและ triads เล็กน้อยถ้าพวกเขาสามารถเชื่อมโยงด้วยเสียงชั้นนำที่สองเสียงย้ายจากดนตรี ดังนั้น A7 และ C เล็กน้อยอยู่ติดเพราะพวกเขาสามารถเชื่อมโยง "เติมที่หก" เสียงชั้นนำ (A, C, E, G) → (G, C, E, G) และ C เล็กน้อยและเล็กน้อยอยู่ติดเพราะพวกเขาสามารถ จะเชื่อมต่อด้วยเสียงชั้นนำ (C, E, G) → (C, E,) แต่สังเกตเห็นว่าระยะทางขนาดใหญ่จะไม่ให้ง่ายต่อการตีความ: A7 และ C7 มีทั้งเท่ากันจากเล็กน้อยแม้ว่าเสียงน้อยที่สุดชั้นนำจาก A7 เพื่อรายย่อย (A, C, E, G) → (A, C, E, A) เกี่ยวข้องกับสามครึ่งเสียงของการเคลื่อนไหวทั้งหมดในขณะที่เสียงน้อยที่สุดชั้นนำจาก C7 เพื่อรายย่อย (C, E, G, B) → (C, E, A, C), เกี่ยวข้องกับสี่ ดังนั้นแม้ว่าการเคลื่อนไหวเดียวขอบบนกราฟและ Rockwell อ้างถึงโดยเฉพาะอย่างยิ่งการจัดเรียงของเสียงชั้นนำ (การเคลื่อนไหวเดี่ยวดนตรีในสองเสียงที่แตกต่างกัน), การเคลื่อนไหวสองขอบไม่ได้ รูปที่ 5 แสดงให้เห็นว่านี้เป็นเพราะมีหลายวิธีที่จะรวมกราฟ leadings เสียง. ในรูปที่ 5 () สองการเคลื่อนไหวในเบสยกเลิกการออกในขณะที่ในรูปที่ 5 (ข) ไม่มีการยกเลิกดังกล่าวเกิดขึ้น[7] ปัญหา นี่เป็นอาการของปัญหาใหญ่คือว่ามันเป็นเรื่องยากที่จะเป็นตัวแทนความสัมพันธ์ระหว่างเสียงชั้นนำระหว่างคอร์ดขนาดแตกต่างกัน ที่สำคัญนี้เป็นจริงสำหรับกราฟต่อเนื่องตามที่เป็น "C พื้นที่" ในทุกสิริอนันต์มิติ สำหรับตัวอย่างอื่นพิจารณารูปที่ 6 ซึ่งแสดงให้เห็นถึงความนับถือ leadings เสียงเดียวดนตรีระหว่างกลุ่มสี, ครึ่งเสียงและบันทึกเดียว (ในกราฟนี้สองคอร์ดอยู่ติดถ้าพวกเขาสามารถเชื่อมโยงกันด้วยเสียงชั้นนำที่บันทึกบางเป็นสองเท่าและในที่หนึ่งที่ย้ายเสียงดนตรีโดยหนึ่ง.) อย่างไรก็ตามในระยะทางขนาดใหญ่อีกครั้งแตกต่างจากเสียงระยะชั้นนำ กราฟให้เห็น {F, G,} (= 678) และ {C, D, E} (= 123) เป็นเจ็ดขอบห่างจากอีกคนหนึ่งแม้ว่าเสียงน้อยที่สุดชั้นนำระหว่างพวกเขาเกี่ยวข้องกับการไม่น้อยกว่าสิบห้าครึ่งเสียงทั้งหมดของการเคลื่อนไหว (4). สรุปกลางของ Callender ควินน์และ Tymoczko (2008) ก็คือว่าปัญหาที่คล้ายกันย่อมจะปรากฏขึ้นในขณะที่เราพยายามที่จะ subsume คอร์ดมากขึ้น (จากขนาดที่แตกต่างกัน) ภายในกราฟของเราที่จะได้รับครบถ้วนโดยไม่ต้องเสียสละความจงรักภักดีข้าม, เราต้อง จำกัด ตัวเองเพื่อมัลติบางขนาดโดยเฉพาะอย่างยิ่ง. [8] ทางศีลธรรมที่กว้างขึ้นคือการที่เราควรดูแลที่จะแยกสองชนิดที่แตกต่างกันของรูปแบบเพลงทฤษฎี ครั้งแรกเป็นเพียงคอลเลกชันของความสัมพันธ์ในท้องถิ่น: ณ จุดใด ๆ ในพื้นที่ก็แสดงให้เห็นพวกเราทุกคนที่มี "การเคลื่อนไหว" ของบางชนิด (ที่นี่เราอาจคิดว่ารถไฟใต้ดินแผนที่ที่แสดงให้เห็นซึ่งสถานีอยู่ติดกับสถานีอื่น ๆ .) ประเภทที่สองอาจจะทำเช่นนี้ได้เป็นอย่างดี แต่ก็ยังจับความคิดบางอย่างที่คุ้นเคยของระยะห่างระหว่างวัตถุทั้งหมดมันหมายถึงแม้ผู้ที่มีความ ไม่ได้ติดบนกราฟ จุดสำคัญคือว่าเรามีการรับประกันว่าใด ๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งความคิดของระยะทางดนตรีจำเป็นจะก่อให้เกิดรูปทรงเรขาคณิตที่สอดคล้องกันใด ๆ ของการจัดเรียงที่สองนี้ (มันเป็นเช่นค่อนข้างยากที่จะสร้างพื้นที่ทางเรขาคณิตที่มีจุดที่เป็นตัวแทนของ triads ใหญ่และรายย่อยและในระยะทางที่แสดงถึงจำนวนของเสียงที่พบบ่อย.) หรือตรงกันข้ามเราสามารถมั่นใจได้ว่าคอลเลกชันโดยเฉพาะอย่างยิ่งของการเคลื่อนไหวในท้องถิ่นให้ เพิ่มขึ้นเป็นความคิดที่คุ้นเคยของระยะทางดนตรี จากมุมมองนี้ความเป็นจริงที่น่าทึ่งก็คือว่าเราสามารถสร้างรูปทรงเรขาคณิตที่สอดคล้องกันในกรณีพิเศษที่เรามีความกังวลเกี่ยวกับเสียงชั้นนำในหมู่มัลติขนาดคงที่. รูปที่ 5 leadings เสียงบนกราฟและ Rockwell สามารถรวมกันในรูปแบบ nonequivalent หลายรูปที่ 5 ภาพขนาดย่อ(คลิกเพื่อดูภาพขยาย) รูปที่ 6 รูปที่ 6 รูปขนาดย่อ(คลิกเพื่อดูภาพขยาย) [9] แน่นอนไม่มีนี้มีความหมายเป็นคำวิจารณ์ของ Rockwell หรือคัดค้านการก่อสร้างแบบกราฟิกของเขาที่มีประโยชน์ จุดของฉันค่อนข้างจะเป็นว่าเราต้องระมัดระวังในการแปลความหมายของประเภทของโครงสร้างที่เขาอธิบาย กราฟบางอย่างมีประโยชน์ส่วนใหญ่ตราบเท่าที่พวกเขาแสดงให้เห็นถึงคอลเลกชันของการเคลื่อนไหวในท้องถิ่นขณะที่คนอื่นก่อให้เกิดรูปทรงเรขาคณิตที่ซับซ้อนมากขึ้นและความแตกต่างที่อาจจะไม่ชัดเจนเสมอเมื่อตรวจสอบแบบสบาย ๆ . ย้อนกลับไปยังจุดเริ่มต้นDmitri Tymoczko มหาวิทยาลัยพรินซ์[e-mail] กลับไป เริ่มต้นการทำงานอ้างCallender คลิฟตันเอียนควินน์และดิมิทรี Tymoczko 2008 "ทั่วไปเสียง Spaces ชั้นนำ," วิทยาศาสตร์ 320:. 346-348 Cohn, ริชาร์ด ปี 1996 "Maximally วงจรเรียบระบบ Hexatonic และการวิเคราะห์ Triadic สายโรแมนติกก้าวหน้า." การวิเคราะห์เพลง