The models presented in this sectio

The models presented in this section were extensively reviewed in Doray
(2002). One of the first models used in actuarial science for the force of
mortality μx at age x assumed that it was an exponential function of the
attained age. Gompertz (1825) used the two-parameter function


To take into account the force of accidental death, Makeham (1860) added
an extra parameter, assumed to be independent of age, to Gompertz’ model
and obtained

This is equivalent to assuming that if X, the lifetime of a person, has a
Gompertz distribution, and Y , the time to a fatal accident, an exponential
distribution, and the random variables X and Y are independent, then the
minimum of X and Y has a Makeham distribution. This is an example of a
shock model described in Bowers et al. (1997). Makeham’s curve was used
to extend mortality curves at extreme ages, and also because it possessed the
the property of uniform seniority.

The British actuary Perks (1932) developed a model which did not receive
as much attention in North America as the above two models. In his logistic
model, the force of mortality at age x is given by the four-parameter function

By assuming that the parameter A = 0 in the logistic model, Beard (1963)
obtained the three-parameter model


Kannisto (1992), a demographer, used the simple 2-parameter model

Those three models (logistic, Beard and Kannisto) follow a logistic-type
curve for the force of mortality, i.e., as x increases, μx tends asymptotically to
a constant. This asymptote is equal to 1 for the Kannisto’s model and B/C
for the Beard and logistic models. Note that the Gompertz (A = 0, C = 0),
Makeham (C = 0), Beard (A = 0) and Kannisto (A = 0, B = C) models
are all special cases of the logistic model, and by the principle of parsimony,
should be preferred if they fit equally well as Perks’ model.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

แบบจำลองที่นำเสนอในส่วนนี้ได้ทานใน Doray อย่างกว้างขวาง(2002) . รุ่นแรกที่ใช้ในคณิตศาสตร์สำหรับแรงอย่างใดอย่างหนึ่งμx ตายที่อายุ x ถือว่า ไม่เป็นฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียของได้อายุ Gompertz (1825) ใช้ฟังก์ชันสองพารามิเตอร์ถึง กองทัพแห่งความตายโดยไม่ตั้งใจ Makeham (1860) เพิ่มพารามิเตอร์การเสริม สมมติจะขึ้นอยู่กับอายุ การ Gompertz' แบบจำลองและได้รับนี้จะเท่ากับสมมติถ้า X ของคน มีการกระจาย Gompertz และ Y เวลาอุบัติเหตุร้ายแรง การเนนแจกจ่าย และตัวแปรสุ่ม X และ Y เป็นอิสระ นั้นต่ำสุดของ X และ Y มีการแจก Makeham นี่คือตัวอย่างของการรุ่นช็อกที่อธิบายไว้ใน Bowers et al. (1997) ใช้เส้นโค้งของ Makehamเพื่อขยายเส้นโค้งการตายที่อายุมาก และเนื่องจากมันต้องการคุณสมบัติของอายุสม่ำเสมอนักคณิตศาสตร์ประกันภัยอังกฤษ Perks (1932) พัฒนารูปแบบที่ไม่ได้รับมากสนใจในอเมริกาเหนือเป็นสองรุ่นข้างต้น ในพระโลจิสติกรุ่น กองกำลังการตายที่อายุที่กำหนด โดยฟังก์ชันพารามิเตอร์ 4 xโดยสมมติว่าที่พารามิเตอร์ A = 0 ในตัวแบบโลจิสติก เครา (1963)รับแบบ 3 พารามิเตอร์Kannisto (1992), demographer ใช้แบบง่าย 2-พารามิเตอร์โลจิสติกชนิดตามรุ่นที่สาม (โลจิสติก เคราและ Kannisto)เส้นโค้งแรงตาย เช่น เป็น x เพิ่ม μx มีแนวโน้มถึง asymptoticallyค่าคง Asymptote นี้จะเท่ากับ 1 สำหรับรุ่นของ Kannisto และ B/Cเคราและรูปแบบโลจิสติก หมายเหตุที่ Gompertz (A = 0, C = 0),Makeham (C = 0), เครา (A = 0) และ Kannisto (A = 0, B = C) รุ่นเป็นกรณีพิเศษทั้งหมด ของรูปแบบโลจิสติก และหลักการของ parsimonyควรต้องถ้าเท่า ๆ กันพอดีเป็นรูปแบบของ Perks

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

รูปแบบที่นำเสนอในส่วนนี้ได้รับการตรวจสอบอย่างกว้างขวางใน Doray
(2002) หนึ่งในรุ่นแรกที่ใช้ในวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ประกันภัยสำหรับบังคับของ
การเสียชีวิตในวัยμx x สันนิษฐานว่ามันเป็นฟังก์ชั่นการชี้แจงของ
อายุบรรลุ Gompertz (1825) ที่ใช้ฟังก์ชั่นสองพารามิเตอร์คำนึงถึงพลังของการเสียชีวิตจากอุบัติเหตุ, Makeham (1860) เพิ่มพารามิเตอร์พิเศษสันนิษฐานว่าจะเป็นอิสระจากอายุกับรูปแบบ Gompertz ' และได้รับนี้เทียบเท่ากับการสมมติว่าถ้า X อายุการใช้งานของคนที่มีการกระจาย Gompertz และ Y, เวลาในการเกิดอุบัติเหตุร้ายแรงชี้แจงการจัดจำหน่ายและการสุ่มตัวแปร X และ Y มีความเป็นอิสระแล้วขั้นต่ำของ x และ y มีการกระจาย Makeham นี่คือตัวอย่างของรูปแบบช็อตที่อธิบายไว้ในโบเวอร์และคณะ (1997) โค้ง Makeham ถูกใช้ในการขยายโค้งตายที่อายุมากและยังเป็นเพราะมันมีทรัพย์สินของอาวุโสเครื่องแบบPerks อังกฤษคณิตศาสตร์ประกันภัย (1932) การพัฒนารูปแบบที่ไม่ได้รับความสนใจมากในทวีปอเมริกาเหนือเป็นสองรุ่นดังกล่าวข้างต้น โลจิสติกของเขาในรุ่นแรงของการตายในวัย x ถูกกำหนดโดยฟังก์ชั่นสี่พารามิเตอร์โดยสมมติว่าพารามิเตอร์ = 0 ในรูปแบบโลจิสติก, เครา (ปี 1963) ได้รับแบบสามพารามิเตอร์Kannisto (1992), ประชากรศาสตร์ ใช้รูปแบบ 2-พารามิเตอร์ง่ายทั้งสามรุ่น (โลจิสติก, เคราและ Kannisto) ตามโลจิสติกชนิดเส้นโค้งแรงของการตายคือเมื่อ x เพิ่มขึ้นμxมีแนวโน้มในเชิงเส้นที่จะคงที่ เส้นกำกับเส้นนี้จะเท่ากับ 1 สำหรับรูปแบบ Kannisto และ B / C สำหรับเคราและโมเดลโลจิสติก โปรดทราบว่า Gompertz (= 0, C = 0), Makeham (C = 0), เครา (= 0) และ Kannisto (= 0, B = C) รุ่นทุกกรณีพิเศษของรูปแบบการโลจิสติกและ หลักการของการประหยัดที่ควรเป็นที่ต้องการถ้าพวกเขาพอดีอย่างเท่าเทียมกันทั้งรูปแบบ Perks '

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

รุ่นที่แสดงในส่วนนี้ดูอย่างกว้างขวางใน doray
( 2002 ) หนึ่งในรุ่นแรกที่ใช้ในศาสตร์สำหรับแรง
ตายμ x อายุ x สันนิษฐานว่าเป็นฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลของ
บรรลุอายุ ๆ ( 1825 ) ใช้สองพารามิเตอร์ฟังก์ชัน


ต้องคำนึงถึงแรงตายเพราะอุบัติเหตุ makeham ( 1860 ) เพิ่ม
เป็นพารามิเตอร์พิเศษที่ถือว่าเป็นอิสระของอายุ จะๆแบบ

' และได้รับนี้ เทียบเท่ากับ สมมติว่า ถ้า x , ชีวิตของบุคคล มีการกระจายและๆ
, Y , เวลามีอุบัติเหตุ มีการแจกแจงแบบเลขชี้กำลัง
และสุ่มตัวแปร x และ y เป็นอิสระแล้ว
ขั้นต่ำของ X และ Y มี makeham แจกจ่าย นี้คือตัวอย่างของ
ตกใจแบบที่อธิบายไว้ใน Bowers et al . ( 1997 ) makeham เป็นเส้นโค้งใช้
ขยายเส้นโค้งที่ตายมากทุกเพศทุกวัยและยังเพราะมันครอบครองทรัพย์สินอาวุโสชุด


perks พุทธทศวรรษอังกฤษ ( 1932 ) ที่พัฒนารูปแบบที่ไม่ได้รับ
สนใจในทวีปอเมริกาเหนือเป็นข้างต้นสองรุ่น ในโมเดลโลจิสติก
ของเขาแรงของการตายในวัย X จะได้รับโดยสี่พารามิเตอร์ฟังก์ชัน

โดยสมมติว่าพารามิเตอร์ = 0 ในโมเดลโลจิสติกเครา ( 1963 )
ได้รับสามพารามิเตอร์โมเดล


kannisto ( 1992 ) , demographer ใช้

สองแบบง่ายสามรุ่น ( เคราโลจิสติก kannisto ) และตามเส้นโค้งชนิด
Logistic แรงของการตาย คือ เป็น x เพิ่มขึ้นμ asymptotically

x มีแนวโน้มคงที่ มูลฐานนี้เท่ากับ 1 ในรูปแบบของ kannisto และ B / C
สำหรับรุ่นเคราและโลจิสติก หมายเหตุว่า ๆ ( = 0 , c = 0 )
makeham ( C = 0 ) , เครา ( = 0 = ) และ kannisto ( = 0 , B = C ) รุ่น
เป็นกรณีพิเศษของโมเดลโลจิสติก และโดยหลักการของความตระหนี่
, ควรที่ต้องการหากพวกเขาพอดี เท่าเทียมกันดี เป็นแบบเอกสิทธิ์

'