Another early problem was determini

Another early problem was determining the arc length of an arch of the cycloid. This was
solved in 1658 by the famous British architect and mathematician, Sir Christopher Wren.
He showed that the arc length of one arch of the cycloid is exactly eight times the radius of
the generating circle. [For a solution to this problem using Formula (9), see Exercise 71.]
The cycloid is also important historically because it provides the solution to two famous
mathematical problems—the brachistochrone problem (from Greek words meaning
“shortest time”) and the tautochrone problem (from Greek words meaning “equal time”).
The brachistochrone problem is to determine the shape of a wire along which a bead might
P slide from a point P to another point Q, not directly below, in the shortest time. The tau-
Q
Figure 10.1.16
tochrone problem is to find the shape of a wire from P to Q such that two beads started at
any points on the wire between P and Q reach Q in the same amount of time. The solution
to both problems turns out to be an inverted cycloid (Figure 10.1.16).
In June of 1696, Johann Bernoulli posed the brachistochrone problem in the form of a
challenge to other mathematicians. At first, one might conjecture that the wire should form
a straight line, since that shape results in the shortest distance from P to Q. However, the
inverted cycloid allows the bead to fall more rapidly at first, building up sufficient speed
to reach Q in the shortest time, even though it travels a longer distance. The problem
was solved by Newton, Leibniz, and L’Hôpital, as well as by Johann Bernoulli and his
older brother Jakob; it was formulated and solved incorrectly years earlier by Galileo, who
thought the answer was a circular arc. In fact, Johann was so impressed with his brother
Jakob’s solution that he claimed it to be his own. (This was just one of many disputes about
the cycloid that eventually led to the curve being known as the “apple of discord.”) One
solution of the brachistochrone problem leads to the differential equation

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

อีกปัญหาคือการกำหนดก่อนโค้งความยาวของโค้งของเคมนิทซ์ . นี้คือ
แก้ไขใน 1658 โดยมีชื่อเสียงสถาปนิกและนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ เซอร์คริสโตเฟอร์ เร็น
เขาพบว่า ความยาวของส่วนโค้งของไซคลอยด์หนึ่งโค้งตรงแปดเท่ารัศมี
สร้างวงกลม [ สำหรับการแก้ไขปัญหานี้ ใช้สูตร ( 9 ) , ดูแบบฝึกหัด ]
71ในเคมนิทซ์ก็สำคัญในอดีตเพราะมีโซลูชั่นที่มีชื่อเสียง 2
คณิตศาสตร์ปัญหาปัญหา ( จากกรีกคำความหมายบราคิสโทโครน
" เวลาสั้น " ) และปัญหาเทาโทโครเนอ ( จากคำภาษากรีกหมายถึง " เวลา " เท่ากัน )
บราคิสโทโครนปัญหาคือการตรวจสอบรูปร่างของเส้นลวดที่เป็นลูกปัดอาจ
พร้อม p เลื่อนจากจุด P ไปยังอีกจุด Q ,ไม่ตรงด้านล่าง ในเวลาที่สั้นที่สุด ส่วนเตา -
q

รูป 10.1.16 tochrone ปัญหาคือการหารูปร่างของเส้นลวดจาก p ไป q เช่นสองเม็ดเริ่มที่จุดใด ๆ บนลวด
ระหว่าง P และ Q ถึง Q ในจำนวนเดียวกันของเวลา โซลูชั่น
ทั้งปัญหาจะออกมาเป็นแบบไซคลอยด์ ( รูป 10.1.16 )
1412 ในเดือนมิถุนายน ,โยฮันน์แบร์นูลลีจึงบราคิสโทโครนปัญหาในรูปแบบของ
ท้าทายนักคณิตศาสตร์อื่น ๆ ตอนแรกหนึ่งอาจคาดเดาว่าสายควรฟอร์ม
เส้นตรง เนื่องจากรูปร่างที่ผลลัพธ์ในระยะทางที่สั้นจาก P Q . อย่างไรก็ตาม ,
คว่ำเคมนิทซ์ให้ลูกแก้วตกอย่างรวดเร็วมากขึ้นในตอนแรก สร้างขึ้นเพียงพอความเร็ว
ถึงคิวในเวลาที่สั้นที่สุดแม้ว่าการเดินทางระยะทางยาว ปัญหา
ก็แก้ไขได้โดยไลบ์นิซ และนิวตัน l'h เป็นการ . . . พยาบาลเป็นอย่างดีโดยโยฮันน์แบร์นูลลีและ
พี่เจคอป ; มันเป็นยุทธศาสตร์ และการแก้ไข ] ปีก่อนหน้านี้ โดยกาลิเลโอที่
คิดว่าคำตอบ arc วงกลม ในความเป็นจริง , โยฮันน์ ประทับใจมากกับพี่ชาย
ของเขาเจคอปด้วยโซลูชั่นที่เขาอ้างว่ามันเป็นของตัวเอง( นี่เป็นเพียงหนึ่งในหลายข้อพิพาทเกี่ยวกับ
เคมนิทซ์ที่ในที่สุดนำไปสู่เส้นโค้งที่ถูกเรียกว่า " แอปเปิ้ลแห่งความขัดแย้ง " )
ทางออกของบราคิสโทโครนปัญหานำไปสู่สมการ