Definition 2.1. A collection F of su

Definition 2.1. A collection F of subsets of Ω is called a σ-field if (1) ∅∈F, (2) Ω∈F, (3) A ∈F implies Ac ∈F, and (4) A1,A2,... ∈F implies both ∪∞ i=1Ai ∈F and ∩∞ i=1Ai ∈F. Here Ac = {ω ∈ Ω : ω / ∈ A} denotes the complement of A. ∅ denotes the empty set, that is, the set with no elements. We will use without special comment the usual notations of ∪ (union), ∩ (intersection), ⊂ (contained in), ∈ (is an element of). Typically, in an elementary probability course, F will consist of all subsets of Ω, but we will later need to distinguish between various σ-fields. Here is an example. Suppose one tosses a coin two times and lets Ω denote all possible outcomes. So Ω = {HH,HT,TH,TT}. A typical σ-field F would be the collection of all subsets of Ω. In this case it is trivial to show that F is a σ-field, since every subset is in F. But if we let G = {∅,Ω,{HH,HT},{TH,TT}}, then G is also a σ-field. One has to check the definition, but to illustrate, the event {HH,HT} is in G, so we require the complement of that set to be in G as well. But the complement is {TH,TT} and that event is indeed in G. One point of view which we will explore much more fully later on is that the σ-field tells you what events you “know.” In this example, F is the σ-field where you “know” everything, whileG is the σ-field where you “know” only the result of the first toss but not the second. We won’t try to be precise here, but to try to add to the intuition, suppose one knows whether an event in F has happened or not for a particular outcome. We would then know which of the events {HH},{HT},{TH}, or {TT} has happened and so would know what the two tosses of the coin showed. On the other hand, if we know which events inG happened, we would only know whether the event{HH,HT}happened, which means we would know that the first toss was a heads, or we would know whether the event {TH,TT} happened, in which case we would know that the first toss was a tails. But there is no way to tell what happened on the second toss from knowing which events in G

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

De Fi nition 2.1 คอลเลกชันของ F ย่อยของΩจะเรียกว่า ELD Fi σ-ถ้า (1) ∅∈F (2) Ω∈F (3) ∈Fนัย Ac ∈Fและ (4) A1, A2, ... ∈Fหมายถึงทั้ง∪∞ i = 1Ai ∈Fและ∩∞ i = 1Ai ∈F นี่ Ac = {ω∈Ω: ω / ∈ A} หมายถึงส่วนประกอบของเอ∅หมายถึงเซตว่างที่เป็นชุดที่มีองค์ประกอบไม่ เราจะใช้โดยไม่ต้องแสดงความคิดเห็นพิเศษสัญลักษณ์ปกติของ∪ (สหภาพ) ∩ (สี่แยก) ⊂ (ที่มีอยู่ใน) ∈ (เป็นองค์ประกอบของ) โดยปกติแล้วในหลักสูตรน่าจะเป็นประถม F จะประกอบด้วยส่วนย่อยทั้งหมดของΩ แต่เราในภายหลังจะต้องแยกแยะระหว่าง elds Fi ต่างๆσ- นี่คือตัวอย่าง สมมติว่าหนึ่งโยนเหรียญสองครั้งและช่วยให้Ωแสดงผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด ดังนั้นΩ = {HH, HT, TH, TT} ทั่วไปσ- Fi ELD F จะเป็นคอลเลกชันของส่วนย่อยทั้งหมดของΩ ในกรณีนี้มันไม่ได้เป็นเรื่องที่จะแสดงให้เห็นว่า F เป็น ELD Fi σ-เนื่องจากทุกกลุ่มย่อยอยู่ในเอฟ แต่ถ้าเราปล่อยให้ g = {∅, Ω {HH, HT}, {TH, TT}} แล้ว G เป็น นอกจากนี้ยังมี ELD Fi σ- หนึ่งมีการตรวจสอบ nition เด Fi แต่แสดงให้เห็นถึงเหตุการณ์ {HH, HT} อยู่ใน G ดังนั้นเราจึงจำเป็นต้องมีส่วนประกอบของชุดว่าจะอยู่ใน G รวม แต่สมบูรณ์คือ {TH, TT} และเหตุการณ์ที่เป็นจริงในกรัมหนึ่งมุมมองที่เราจะสำรวจมากขึ้นอย่างเต็มที่ต่อมาก็คือว่า ELD Fi σ-บอกคุณว่ากิจกรรมที่คุณ "รู้ว่า." ในตัวอย่างนี้ F เป็น ELD Fi σ-ที่คุณ "รู้" ทุกอย่าง whileG เป็น ELD Fi σ-ที่คุณ "รู้" เพียงผลของสถ​​าบันการเงิน RST โยน แต่ไม่สอง เราจะไม่พยายามที่จะมีความแม่นยำที่นี่ แต่จะพยายามที่จะเพิ่มปรีชาสมมติว่าใครรู้ว่าเหตุการณ์ใน F ได้เกิดขึ้นหรือไม่สำหรับผลโดยเฉพาะอย่างยิ่ง จากนั้นเราก็จะทราบว่าเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น {HH}, {HT}, {TH} หรือ {} TT ได้เกิดขึ้นและเพื่อจะได้รู้ว่าสิ่งที่ทั้งสองโยนของเหรียญแสดงให้เห็นว่า ในทางกลับกันถ้าเราทราบว่าเหตุการณ์ไอเอ็นจีที่เกิดขึ้นเราจะรู้เพียงว่าไม่ว่าจะเป็นเหตุการณ์ {HH, HT} เกิดขึ้นซึ่งหมายความว่าเราจะรู้ว่าโยนแรกเป็นหัวหรือเราจะได้รู้ว่าไม่ว่าจะเป็นเหตุการณ์ {TH, TT} ที่เกิดขึ้นในกรณีที่เราจะรู้ว่าโยนแรกเป็นก้อย แต่มีวิธีที่จะบอกสิ่งที่เกิดขึ้นในการโยนที่สองจากการรู้ซึ่งเหตุการณ์ใน G ไม่มี

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เดอ จึง nition 2.1 . คอลเลกชัน f ของส่วนย่อยของΩเรียกว่าσ - จึงละมั่ง ถ้า∅∈ f ( 1 ) , ( 2 ) Ω∈ F ( 3 ) ∈ F บาง AC ∈ F และ ( 4 ) A1 , A2 , . . . ∈ F หมายถึงทั้ง∪∞ = 1ai ∈ F และ∩∞ = 1ai ∈ F ที่นี่ AC = { ω∈Ω : ω / ∈ } แสดงเป็นส่วนเติมเต็มของอ. ∅แสดงชุดว่าง นั่นคือ ชุด ที่มีองค์ประกอบ เราจะใช้ได้โดยไม่ต้องแสดงความคิดเห็นพิเศษสัญลักษณ์ปกติของ∪ ( Union ) ∩ ( จุดตัด ) ⊂ ( ที่มีอยู่ใน∈ ( ) เป็นองค์ประกอบของ ) โดยปกติในรายวิชาความน่าจะเป็นเบื้องต้น , F จะประกอบด้วยทั้งหมดของΩส่วนย่อย แต่ต่อมาจะต้องแยกแยะระหว่างต่าง ๆจึงσ - elds . นี่เป็นตัวอย่าง สมมติว่าหนึ่งโยนเหรียญลงไป 2 ครั้ง และให้Ωแสดงผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด ดังนั้นΩ = { HH , HT , th , TT } โดยทั่วไปจึงσ - ELD F จะเก็บข้อมูลทั้งหมดของΩ . ในกรณีนี้มันเป็นเรื่องไร้สาระที่จะแสดงให้เห็นว่า F เป็นσ - จึงละมั่ง เพราะทุกสับเซตใน เอฟ แต่ถ้าเราให้ g = ∅Ω { { , , HH , HT } { th TT } } , G เป็นσ - จึงละมั่ง . หนึ่งจะต้องตรวจสอบ เดอ จึง nition แต่เพื่อแสดงเหตุการณ์ { hH HT } เป็นกรัม ดังนั้นเราต้องเติมเต็มชุดที่อยู่ในกรัมเช่นกัน แต่กว่าจะ { th TT } และเหตุการณ์ที่ไม่แน่นอนในกรัมจุดหนึ่งของมุมมองที่เราจะสำรวจมากขึ้นอย่างเต็มที่ ภายหลังที่σ - จึงละมั่ง บอกสิ่งที่เหตุการณ์ที่คุณ " รู้ " ในตัวอย่างนี้ , F คือσ - จึงละมั่ง ที่คุณ " รู้ " ทุกอย่าง whileg เป็นσ - จึงละมั่ง ที่คุณ " รู้ " เท่านั้น ผลจึงตัดสินใจเดินทางไปโยนแต่ไม่ 2 เราก็จะไม่พยายามให้แม่นๆที่นี่ แต่ให้ลองเพิ่มปรีชา สมมติว่า ไม่มีใครรู้ว่าเหตุการณ์ใน F เกิดขึ้นหรือไม่ เพื่อผลที่เฉพาะเจาะจง เราก็รู้ซึ่งเหตุการณ์ HH } { { HT } { งาม } หรือ { TT } เกิดขึ้นแล้วจะรู้ว่าสองกลมๆของเหรียญ " ในทางกลับกัน ถ้าเรารู้ไอเอ็นจีซึ่งเหตุการณ์เกิดขึ้น เราก็รู้เพียงว่าเหตุการณ์ { hH HT } เกิดขึ้น ซึ่งหมายความว่า เราจะรู้ว่า จึงตัดสินใจเดินทางไปโยน คือ หัว หรือ เรา จะรู้ว่าเหตุการณ์ TT } { th , เกิดขึ้น , ซึ่งในกรณีนี้เราจึงจะรู้ว่า RST โยนเป็นหาง แต่ไม่มีทางที่จะบอกสิ่งที่เกิดขึ้นบนโยนที่สองจากการรู้ซึ่งเหตุการณ์ในกรัม