can we travel along the edges of a

can we travel along the edges of a graph starting at a vertex and returning to it by traversing each edge of the graph exactly once ? similarly , can we travel along the the edges of a graph starting at a vertex and returning
to it while visiting each vertex of the graph exactly once ?
although these questions seem to be the similar , the first question ,which asks whether a graph has an euler ciruit, can be easily answered simply by examining the degrees of the vertices of the graph , while the second question , which asks whether a graph has a Hamilton circuit , is quite difficult to solve for most graphs . in this section we will study these questions and discuss and discuss the difficulty of solving them. Although both questions have many practical applications in many different areas , both arose in old puzzles . we will learn about these old puzzles as well as modern practical applications.
Euler paths and circuits
The town of koningsberg, Prussia (now called Kaliningrad and part of the Russian republic) , was divided into four sections by the branches of the pregel river .
these four sections in-ciuded the two regions on the banks of the pregel, kneiphof island , and the region between the two brances of the pregel.
In the eighteenth century seven bridges connectese these regions .
figure 1 depicts these regions and bridges.
The townspeople took long walks through town on Sundays . they wondered whether it was possible to start at some location in the town , travel across all the bridges without crossing any bridge twice , and return to the starting point .
The Swiss mathematician Leonhard Euler solved this problem . his solution, published in 1736 , may be the first use of graph theory . Euler studied this problem using the multigraph obtained when the four regions are represented by vertices and the bridges by edges. This multigraph is shown in figure 2 .
The problem of traveling across every bridge without crossing any bridge more than once can be rephrased in terms of this model . the question becomes : Is there a simple circuit in this multigraph that contains every edge?

Definition 1
An Euler circuit in a graph G is a simple circuit containing every edge of G . An Euler path in G is a simple path containing every edge of G .
Examples 1 and 2 illustrate the concept of Euler circuits and paths.
Example 1 Which of the undirected graphs in Figure 3 have an Euler circuit? Of those that do not , which have an Euler path?

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เราสามารถเดินทางไปตามขอบของกราฟเริ่มต้นที่จุดสุดยอดและกลับไปโดยภายในขอบของกราฟแต่ละว่าครั้งเดียว ในทำนองเดียวกันเราสามารถเดินทางไปตามขอบของกราฟเริ่มต้นที่จุดสุดยอดและกลับมา
ไปขณะที่ไปที่จุดสุดยอดของกราฟแต่ละว่าครั้งเดียว
แม้ว่าคำถามเหล่านี้ดูเหมือนจะคล้ายกันคำถามแรกซึ่งถามว่ากราฟมี ciruit ออยเลอร์สามารถตอบได้อย่างง่ายดายเพียงโดยการตรวจสอบองศาของจุดของกราฟในขณะที่คำถามที่สองซึ่งถามว่ากราฟมีวงจรแฮมิลตันเป็นเรื่องยากมากที่จะแก้ปัญหาสำหรับกราฟมากที่สุด ในส่วนนี้เราจะศึกษาคำถามเหล่านี้และพูดคุยและหารือเกี่ยวกับความยากลำบากในการแก้พวกเขาแม้ว่าคำถามทั้งสองมีการใช้งานจริงจำนวนมากในพื้นที่ที่แตกต่างกันทั้งสองเกิดขึ้นในปริศนาเก่า เราจะได้เรียนรู้เกี่ยวกับปริศนาเก่าเหล่านี้เช่นเดียวกับการใช้งานจริงที่ทันสมัย​​.
เส้นทางที่ออยเลอร์และวงจร
เมือง koningsberg ปรัสเซีย (ปัจจุบันเรียกว่าคาลินินกราดและเป็นส่วนหนึ่งของสาธารณรัฐรัสเซีย) ถูกแบ่งออกเป็นสี่ส่วนโดยสาขาของแม่น้ำ pregel .
เหล่านี้สี่ส่วนใน ciuded สองภูมิภาคบนฝั่ง pregel, kneiphof เกาะและภูมิภาคระหว่างสอง brances ของ pregel
ในศตวรรษที่สิบแปดเจ็ดสะพาน connectese ภูมิภาคเหล่านี้
รูปที่ 1 แสดงให้เห็นว่าภูมิภาคนี้และสะพาน
. ชาวเมืองใช้เวลานานเดินผ่านเมืองในวันอาทิตย์ พวกเขาสงสัยว่ามันเป็นไปได้ที่จะเริ่มต้นในสถานที่ที่อยู่ในเมืองบางส่วนเดินทางข้ามสะพานโดยไม่ต้องข้ามสะพานใด ๆ สองครั้งและกลับไปที่จุดเริ่มต้น.
ออยเลอร์นักคณิตศาสตร์ Leonhard สวิสแก้ปัญหานี้ การแก้ปัญหาของเขาที่ตีพิมพ์ใน 1736 อาจจะใช้งานครั้งแรกของทฤษฎีกราฟ ออยเลอร์ได้ศึกษาปัญหานี้โดยใช้ multigraph ได้รับเมื่อสี่ภูมิภาคจะถูกแทนด้วยจุดและสะพานขอบmultigraph นี้จะแสดงในรูปที่ 2.
ปัญหาในการเดินทางทั่วทุกสะพานโดยไม่ต้องข้ามสะพานใดมากกว่าหนึ่งครั้งสามารถซักค้านในแง่ของรูปแบบนี้ คำถามจะกลายเป็น: มีวงจรไฟฟ้าอย่างง่ายใน multigraph นี้ที่มีทุกขอบ

1
นิยามวงจรออยเลอร์ในกราฟกรัมเป็นวงจรไฟฟ้าอย่างง่ายที่มีขอบของกรัมทุกเส้นทางที่ออยเลอร์ในกรัมเป็นเส้นทางง่ายที่มีขอบของกรัมทุก
ตัวอย่างที่ 1 และ 2 แสดงให้เห็นถึงแนวคิดของวงจรออยเลอร์และเส้นทาง
1 ตัวอย่างที่ของกราฟไม่มีทิศทางในรูปที่ 3 มีวงจรออยเลอร์? ของผู้ที่ไม่ได้มีเส้นทางที่ออยเลอร์?

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เราสามารถเดินตามขอบของกราฟราคาเริ่มต้นที่จุดยอด และความมัน โดยการข้ามสิ่งกีดขวางแต่ละขอบของกราฟว่าครั้ง ในทำนองเดียวกัน เราสามารถเดินไปขอบของกราฟราคาเริ่มต้นที่จุดยอด และความ
จะมาแต่ละจุดยอดของกราฟเหมือนกัน
ถึงแม้ว่าคำถามเหล่านี้ดูเหมือนจะคล้ายกัน คำถามแรกซึ่งถามว่า กราฟมีการ ciruit ออยเลอร์ สามารถได้ตอบเพียงแค่ โดยการตรวจสอบของจุดยอดของกราฟ ในขณะที่คำถามที่สอง ที่ถามว่า กราฟมีวงจรแฮมิลตัน ค่อนข้างยากที่จะหากราฟส่วนใหญ่ ในส่วนนี้ เราจะศึกษาคำถามเหล่านี้ และพูดคุย และหารือเกี่ยวกับความยากของการแก้ แม้ว่าคำถามทั้งมีการประยุกต์ใช้งานจริงมากในหลายพื้นที่แตกต่างกัน ทั้งสองเกิดในปริศนาเก่า เราจะได้เรียนรู้เกี่ยวกับเหล่านี้ปริศนาเก่าตลอดจนสะดวกปฏิบัติงาน
เส้นทางออยเลอร์และวงจร
koningsberg ปรัสเซีย (ตอนนี้เรียกว่าคาลินินกราดและส่วนหนึ่งของสาธารณรัฐในรัสเซีย), เมืองถูกแบ่งออกเป็นสี่ส่วนโดยสาขาของแม่น้ำ pregel
4 เหล่านี้ส่วนภูมิภาคสองใน ciuded บนฝั่งที่ pregel เกาะ kneiphof และภูมิภาคระหว่าง brances สองของ pregel ที่
ในศตวรรษ eighteenth เจ็ดสะพาน connectese ภูมิภาคเหล่านี้
เลข 1 มีภาพเหล่านี้ภาคกสะพาน
townspeople เอาเดินยาวถึงวันอาทิตย์ พวกเขาสงสัยว่า ว่า มันเป็นไปได้ที่จะเริ่มต้นในบางสถานที่ในเมือง เดินทางข้ามสะพานโดยไม่ต้องข้ามมีสะพานสอง และกลับสู่จุดเริ่มต้นการ
นักคณิตศาสตร์สวิส Leonhard ออยเลอร์แก้ปัญหานี้ โซลูชั่นของเขา ตีพิมพ์ในค.ศ. 1736 อาจใช้ครั้งแรกของทฤษฎีกราฟ ออยเลอร์ได้ศึกษาปัญหานี้ใช้ multigraph รับเมื่อทั้ง 4 จะแทน ด้วยจุดยอดและสะพานตามขอบ Multigraph นี้จะแสดงในรูปที่ 2.
ปัญหาเดินทางข้ามทุกสะพานไม่สามารถ rephrased ข้ามสะพานใด ๆ มากกว่าหนึ่งครั้งในรูปแบบนี้ กลายเป็นคำถาม: มีวงจรอย่างง่ายใน multigraph นี้ประกอบด้วยขอบทุก

คำนิยาม 1
ออยเลอร์อันวงจรในกราฟ G จะประกอบด้วยขอบของทุกวงจรง่าย การเส้นทางออยเลอร์ใน G จะประกอบด้วยขอบของทุกเส้นทางอย่าง
ตัวอย่าง 1 และ 2 แสดงให้เห็นถึงแนวคิดของวงจรออยเลอร์และเส้นทาง
อย่าง 1 undirected กราฟในรูปที่ 3 ซึ่งมีวงจรออยเลอร์ คนที่ไม่ได้ ซึ่งมีเส้นทางออยเลอร์การ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เราจะเดินทางไปตามแนวขอบของกราฟที่เริ่มต้นที่ลักษณะพิเศษ Vertex และเดินทางกลับสู่โรงแรมโดยผ่านขอบแต่ละครั้งของกราฟที่ตรงกับหนึ่งครั้ง ในทำนองเดียวกันเราจะเดินทางไปตามขอบของกราฟที่เริ่มต้นที่ลักษณะพิเศษ Vertex และเดินทางกลับสู่
ให้ในขณะที่เที่ยวชมลักษณะพิเศษ Vertex แต่ละครั้งของกราฟที่ตรงกับหนึ่งครั้ง
แม้ว่าคำถามนี้ดูเหมือนว่ามันจะเป็นความเหมือนที่คำถามแรกที่ที่จะถามว่ากราฟที่มีค่าคงที่ของออยเลอร์ ciruit ที่จะสามารถตอบได้อย่างง่ายดายโดยตรวจสอบองศาของยอดของกราฟที่ในขณะที่คำถามที่สองที่จะถามว่ากราฟที่มีวงจรแฮมิลตันที่เป็นเรื่องยากมากในการแก้ไขปัญหาสำหรับกราฟส่วนใหญ่ในส่วนนี้เราจะเรียนคำถามเหล่านี้และจะอธิบายถึงความยากง่ายและจะอธิบายถึงที่มาของการแก้ปัญหาแม้ว่าจะมีทั้งแอพพลิเคชันคำถามมากมายหลายแห่งในบริเวณที่แตกต่างกันไปจำนวนมากทั้งสองก็ลุกขึ้นในปริศนาเก่าเราจะได้เรียนรู้เกี่ยวกับปริศนาเก่าเหล่านี้เป็นอย่างดีเป็นที่ทันสมัย:แอปพลิเคชัน.พาธ
ค่าคงที่ของออยเลอร์และวงจร
เมือง koningsberg of Prussia (ในตอนนี้เรียกว่าคาลินินกราดและเป็นส่วนหนึ่งของสาธารณรัฐรัสเซียได้)ถูกแบ่งออกเป็น 4 ส่วนโดยสาขาของแม่น้ำ pregel ได้
รายละเอียดในส่วนเนื้อหาทั้งสี่เหล่านี้ใน - ciuded ทั้งสอง ภาค นี้อยู่บนฝั่งของเกาะ pregel kneiphof และเขตพื้นที่ระหว่างสอง brances ของ pregel ได้.
ในศตวรรษที่สิบแปดเจ็ดสะพาน connectese ภูมิภาค นี้ 1
รูปที่ถึงสะพานและเขตพื้นที่เหล่านี้.
ชาวเมืองที่มาเดินไกลผ่านเมืองในวันอาทิตย์เขายังสงสัยอยู่ว่ามันเป็นไปได้ที่จะเริ่มในที่ตั้งที่บางคนในเมืองได้เดินทางข้ามผ่านสะพานทั้งหมดโดยไม่ต้องเดินข้ามสะพานที่สองครั้งและกลับไปยังจุดเริ่มต้นที่ได้..
นักคณิตศาสตร์ชาวสวิส leonhard ค่าคงที่ของออยเลอร์แก้ปัญหานี้.โซลูชันของเขาที่ตีพิมพ์ใน 1736 อาจใช้งานครั้งแรกของทฤษฎีกราฟ ค่าคงที่ของออยเลอร์ศึกษาปัญหานี้โดยใช้ multigraph ที่ได้รับเมื่อสี่ ภาค นี้จะแทนด้วยยอดและสะพานได้โดยจับที่ขอบห้ามจับmultigraph นี้จะแสดงในรูปที่ 2 .
ปัญหาของการเดินทางข้ามผ่านสะพานทุกครั้งโดยไม่ต้องข้ามสะพานใดๆมากกว่าหนึ่งครั้งสามารถ rephrased ในเงื่อนไขของรุ่นนี้คำถามที่จะกลายเป็นมีวงจรที่เรียบง่ายใน multigraph แห่งนี้ที่มีลักษณะเป็นเส้นขอบที่ต่อกันทุกครั้ง

วงจรค่าคงที่ของออยเลอร์ High Definition 1
ใน G กราฟเป็นวงจรแบบเรียบง่ายที่มีลักษณะเป็นเส้นขอบที่ต่อกันทุกครั้งของ Gพาธค่าคงที่ของออยเลอร์ใน G เป็นพาธแบบเรียบง่ายที่มีลักษณะเป็นเส้นขอบที่ต่อกันทุกครั้งของ G
ตัวอย่าง 1 และ 2 แสดงให้เห็นถึงแนวความคิดของพาธและวงจรค่าคงที่ของออยเลอร์ ตัวอย่างเช่น
not 1 ซึ่งของกราฟ Darwin ในรูปที่ 3 มีวงจรค่าคงที่ของออยเลอร์หรือไม่? ของผู้ที่ไม่ได้ซึ่งมีพาธค่าคงที่ของออยเลอร์ได้หรือไม่