Hubs on a sphere Essential to the p

Hubs on a sphere Essential to the proof of uniqueness of a hub for points in Rn is
that the function to be minimized is strictly convex, a property that depends strongly on
the Euclidean structure of Rn . Interesting and challenging questions immediately arise
in other metric spaces such as the sphere. Given points x1, x2, . . . , xk on the sphere,
a hub is a point h minimizing the function f (x) =

i d(xi , x), where d(x, y) is the
great circle distance between x and y. Hubs exist because the function to be minimized
is continuous and the sphere is compact, but uniqueness may fail. An easy example is
the case of two antipodal points, say the north and south poles; in this case any point
on the equator is a hub.
A subset of the sphere is spherically convex if it contains the geodesics between
any two points in the subset, and the (spherical) convex hull of a subset is the smallest
convex set containing the subset. Aly, Kay, and Litwhiler [1] prove that if x1, . . . , xk lie
in an open hemisphere, then the hub (or hubs) must be in the convex hull of the points.
One might conjecture in that case that the hub is unique, but even for three points that
is not always true. For example, three points equally spaced on the same latitude just
above the equator have the property that the points themselves are minima and they
are the only minima. A complete description of the minima for three points was given
by Cockayne in 1972 [2]. It would be interesting to find reasonable assumptions that
guarantee unique hubs for k points, as well as to prove existence and uniqueness results
for more general probability measures on S2 and on higher dimensional spheres.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เป็นสำคัญเพื่อการพิสูจน์เอกลักษณ์ของฮับสำหรับจุดใน Rn ฮับบนทรงกลมว่า ฟังก์ชันจะย่อเป็นนูนอย่างเคร่งครัด คุณสมบัติที่พึ่งขอโครงสร้าง Euclidean ของ Rn คำถามที่ท้าทาย และน่าสนใจเกิดขึ้นทันทีในช่องอื่น ๆ วัดเช่นทรงกลม กำหนดจุด x 1, x 2,..., xk บนทรงกลมฮับเป็นแบบ h จุดลดฟังก์ชัน f (x) =ฉัน d (สิ x), d (x, y) อยู่ดีวงกลมระยะห่างระหว่าง x และ y. ฮับมีเนื่องจากฟังก์ชันถูกย่อให้เล็กสุดมีอย่างต่อเนื่อง และทรงกลมมีขนาดเล็ก แต่ไม่อาจล้มเหลว ตัวอย่างง่ายกล่าวว่า กรณีของ antipodal สองจุด เหนือและใต้เสา ในกรณีนี้ มีจุดบนเส้นศูนย์สูตรเป็นศูนย์กลางชุดย่อยของทรงกลมเป็นนูน spherically ถ้าประกอบด้วย geodesics ระหว่างมีสองจุดในชุดย่อย และฮัลล์นูน (ทรงกลม) ของชุดย่อยมีน้อยที่สุดชุดนูนประกอบด้วยชุดย่อย Aly เคย์ และ Litwhiler [1] พิสูจน์ว่าถ้า x 1,..., xk โกหกในซีกโลกเปิด แล้วฮับ (หรือฮับ) ต้องฮัลล์นูนของคะแนนการหนึ่งอาจคาดคะเนในกรณีที่ฮับเป็นเฉพาะ แต่แม้ในสามจุดที่ไม่จริงเสมอ ตัวอย่าง 3 คะแนนเท่า ๆ กัน ระยะบนละติจูดเดียวกันเพียงเหนือเส้นศูนย์สูตรมีคุณสมบัติคะแนนตัวเองกมินิมาและพวกเขามีกมินิมาเท่านั้น ได้รับคำอธิบายที่สมบูรณ์ของกมินิมาสำหรับ 3 จุดโดย Cockayne ในปี 1972 [2] มันจะน่าสนใจเพื่อค้นหาสมมติฐานที่เหมาะสมที่รับประกันเฉพาะฮับสำหรับ k จุด รวมทั้งเป็นพิสูจน์การมีอยู่และผลไม่สำหรับทั่วไปความน่าเป็นมาตรการ S2 และรัฐบาลท้องถิ่นมิติที่สูงกว่า

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ฮับบนทรงกลมที่สำคัญการพิสูจน์เอกลักษณ์ของศูนย์กลางในการให้คะแนนใน Rn คือ
ว่าการทำงานที่จะลดลงเป็นอย่างเคร่งครัดนูน, สถานที่ให้บริการที่ขึ้นอยู่อย่างมากใน
โครงสร้างแบบยุคลิดของ Rn คำถามที่น่าสนใจและท้าทายทันทีที่เกิดขึ้น
ในพื้นที่ตัวชี้วัดอื่น ๆ เช่นทรงกลม รับคะแนน x1, x2, . . , XK บนทรงกลม,
ฮับเป็นชั่วโมงจุดลดฟังก์ชัน f (x) =
?
id (XI, x) โดย d (x, y) เป็น
ระยะทางวงกลมใหญ่ระหว่าง x และ y ฮับอยู่เพราะฟังก์ชั่นที่จะลดลง
อย่างต่อเนื่องและเป็นทรงกลมมีขนาดเล็ก แต่เอกลักษณ์อาจล้มเหลว ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือ
กรณีของสองจุดตรงกันข้ามกับเท้าพูดเหนือและใต้เสา; ในกรณีนี้จุดใด ๆ
บนเส้นศูนย์สูตรเป็นศูนย์กลาง
ย่อยของทรงกลมเป็นทรงกลมนูนถ้ามี geodesics ระหว่าง
สองจุดใดในกลุ่มย่อยและ (กลม) เรือนูนของเซตเป็นที่เล็กที่สุด
ชุดนูนที่มี เซตย่อย อาลี, เคย์และ Litwhiler [1] พิสูจน์ว่าถ้า x1, . . นอน XK
ในซีกโลกเปิดแล้วฮับ (หรือฮับ) จะต้องอยู่ในเรือนูนของจุด
หนึ่งอาจคาดเดาในกรณีที่ฮับจะไม่ซ้ำกัน แต่แม้กระทั่งสำหรับสามจุดที่
ไม่เป็นความจริงเสมอ ตัวอย่างเช่นสามจุดมีระยะห่างเท่า ๆ กันในละติจูดเดียวกันเพียงแค่
เหนือเส้นศูนย์สูตรมีทรัพย์สินที่จุดที่ตัวเองมีน้อยและพวกเขา
มีน้อยเท่านั้น อธิบายที่สมบูรณ์ของน้อยสามจุดที่ได้รับ
โดย Cockayne ในปี 1972 [2] มันจะน่าสนใจที่จะหาข้อสมมติฐานที่เหมาะสมที่
รับประกันฮับไม่ซ้ำกันสำหรับจุด k, เช่นเดียวกับการที่จะพิสูจน์การดำรงอยู่และผลเอกลักษณ์
สำหรับมาตรการความน่าจะเป็นทั่วไปมากขึ้นใน S2 และทรงกลมมิติที่สูงขึ้น

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ฮับบนทรงกลมที่จำเป็นเพื่อพิสูจน์เอกลักษณ์ของฮับสำหรับจุดใน RN คือ
ที่ฟังก์ชันจะลดลงเป็นอย่างเคร่งครัด นูน คุณสมบัติที่ยังขึ้นอยู่กับคุณภาพของ Rn
โครงสร้าง . คำถามที่น่าสนใจและท้าทายทันทีเกิดขึ้น
ในเป็นวัดอื่น ๆ เช่น ทรงกลม ให้จุด x1 , x2 , . . . . . . . . XK บนทรงกลม ,
,ฮับเป็นจุด H ลดฟังก์ชัน f ( x ) =

d ( Xi , x ) , D ( X , Y )
วงกลมใหญ่ระยะทางระหว่าง x และ y ฮับอยู่เพราะหน้าที่จะลดลง
เป็นอย่างต่อเนื่องและทรงกลม มีขนาดกะทัดรัด แต่ไม่อาจจะล้มเหลว ตัวอย่างง่าย
กรณีของแอนติโพแดลสองจุดว่า ขั้วเหนือและใต้ ในคดีนี้มีจุดที่เส้นศูนย์สูตรเป็นฮับ
.
เป็นเซตย่อยของทรงกลมเป็น spherically นูนถ้ามันมีจีโอเดสิกระหว่างสองจุดใดใน
ย่อยและ ( ทรงกลม ) เรือนูนของย่อยมีขนาดเล็กที่สุด
เซตนูนที่มีเซตย่อย . โดย เค และ litwhiler [ 1 ] พิสูจน์ว่าถ้า x1 , . . . . . . . . XK โกหก
ในซีกโลก , เปิดแล้วฮับ ( หรือฮับ ) ต้องอยู่ในเปลือกนูน
ของจุดหนึ่งอาจคาดเดาว่า คดีที่ ฮับที่เป็นเอกลักษณ์ แต่สำหรับสามจุดที่
ก็ไม่ได้เป็นจริงเสมอไป ตัวอย่างเช่น สามแต้มกันเว้นระยะในละติจูดเดียวกันแค่
เหนือเส้นศูนย์สูตรมีคุณสมบัติที่จุดที่ตัวเองจะไม่นี่ ม๊าและพวกเขา
เป็นคำนามพหูพจน์ของ minimum เท่านั้น สมบูรณ์รายละเอียดของคำนามพหูพจน์ของ minimum 3 คะแนนที่ได้รับในปี พ.ศ. 2515 โดยค็อกเคน
[ 2 ]มันจะน่าสนใจเพื่อหาสมมติฐานที่สมเหตุสมผลว่า
รับประกันเฉพาะฮับสำหรับ k จุด รวมทั้งพิสูจน์ผลลัพธ์การดํารงอยู่และเอกลักษณ์
สำหรับทั่วไปมากกว่าความน่าจะเป็นมาตรการ S2 และสูงกว่ามิติทรงกลม