The important binomial theorem stat

The important binomial theorem states that

sum_(k=0)^n(n; k)r^k=(1+r)^n.
(1)
Consider sums of powers of binomial coefficients

a_n^((r)) = sum_(k=0)^(n)(n; k)^r
(2)
= _rF_(r-1)(-n,...,-n_()_(r);1,...,1_()_(r-1);(-1)^(r+1)),
(3)
where _pF_q(a_1,...,a_p;b_1,...,b_q;z) is a generalized hypergeometric function. When they exist, the recurrence equations that give solutions to these equations can be generated quickly using Zeilberger's algorithm.

For r=1, the closed-form solution is given by

a_n^((1))=2^n,
(4)
i.e., the powers of two. a_n^((1)) obeys the recurrence relation

a_(n+1)^((1))-2a_n^((1))=0.
(5)
For r=2, the closed-form solution is given by

a_n^((2))=(2n; n).
(6)
i.e., the central binomial coefficients. a_n^((2)) obeys the recurrence relation

(n+1)a_(n+1)^((2))-(4n+2)a_n^((2))=0.
(7)
Franel (1894, 1895) was the first to obtain recurrences for a_n^((3)),

(n+1)^2a_(n+1)^((3))-(7n^2+7n+2)a_n^((3))-8n^2a_(n-1)^((3))=0
(8)
(Riordan 1980, p. 193; Barrucand 1975; Cusick 1989; Jin and Dickinson 2000), so a_n^((3)) are sometimes called Franel numbers. The sequence for a_n^((3)) cannot be expressed as a fixed number of hypergeometric terms (Petkovšek et al. 1996, p. 160), and therefore has no closed-form hypergeometric expression.

Franel (1894, 1895) was also the first to obtain the recurrence for a_n^((4)),

(n+1)^3a_(n+1)^((4))-2(2n+1)(3n^2+3n+1)a_n^((4))
-4n(4n+1)(4n-1)a_(n-1)^((4))=0
(9)
(Riordan 1980, p. 193; Jin and Dickinson 2000).

Perlstadt (1987) found recurrences of length 4 for r=5 and 6.

32(n+1)^4(55n^2+253n+292)a_n^((5))+(19415n^6+205799n^5+900543n^4+2082073n^3+2682770n^2+1827064n+514048)a_(n+1)^((5))+(1155n^6+14553n^5+75498n^4+205949n^3+310827n^2+245586n+79320)a_(n+2)^((5))+(n+3)^4(55n^2+143n+94)a_(n+3)^((5))=0.
(10)
Schmidt and Yuan (1995) showed that the given recurrences for r=3, 4, 5, and 6 are minimal, are the minimal lengths for r>6 are at least 3. The following table summarizes the first few values of a_n^((r)) for small r.

r Sloane a_n^((r))
1 A000079 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ...
2 A000984 1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, ...
3 A000172 1, 2, 10, 56, 346, 2252, ...
4 A005260 1, 2, 18, 164, 1810, 21252, ...
5 A005261 1, 2, 34, 488, 9826, 206252, ...
The corresponding alternating series is

b_n^((r)) = sum_(k=0)^(n)(-1)^k(n; k)^r
(11)
= _rF_(r-1)(-n,...,-n_()_(r);1,...,1_()_(r-1);(-1)^(r+1)),
(12)
The first few values are

b_n^((1)) = 0
(13)
b_n^((2)) = (2^nsqrt(pi))/(Gamma(1/2-1/2n)Gamma(1+1/2n)),
(14)
= 2^nP_n(0)
(15)
= {0 for n=2k-1; (-1)^k(2k; k) for n=2k
(16)
b_n^((3)) = (2^nsqrt(pi)Gamma(1+3/2n))/(n!Gamma(1/2(1-n))Gamma(1+1/2n)^2)
(17)
= {0 for n=2k-1; ((-1)^k(3k)!)/((k!)^3) for n=2k,
(18)
where Gamma(z) is the gamma function, P_n(x) is a Legendre polynomial, and the odd terms of b_3(n) are given by de Bruijn's s(3,n) with alternating signs.

Zeilberger's algorithm can be used to find recurrence equations for the b_ns,

nb_n^((2))+4(n-1)a_(n-2)^((2))=0
n^2b_n^((3))+3(9n^2-18n+8)b_(n-2)^((3))=0
(n-1)n^3(12n^2-63n+83)b_n^((4))+4(408n^6-3774n^5+13760n^4-25203n^3+24465n^2-11970n+2340)b_(n-2)^((4))+16(n-2)(n-3)^3(12n^2-15n+5)b_(n-4)^((4))=0.
(19)
Sums of the form sum_(k=0)^(n)(n; k)k^r (Boros and Moll 2004, pp. 14-15) are given by

sum_(k=0)^(n)(n; k) = 2^n
(20)
sum_(k=0)^(n)k(n; k) = 2^(n-1)n
(21)
sum_(k=0)^(n)k^2(n; k) = 2^(n-2)n(n+1)
(22)
sum_(k=0)^(n)k^3(n; k) = 2^(n-3)n^2(n+3)
(23)
sum_(k=0)^(n)k^4(n; k) = 2^(n-4)n(n+1)(n^2+5n-2)
(24)
sum_(k=0)^(n)k^5(n; k) = 2^(n-5)n^2(n^3+10n^2+15n-10),
(25)
where the triangle of the coefficients of the right-hand polynomials (ignoring the even/odd terms n^2 and n(n+1)) are given by 1; 1, 3; 1, 5, -2; 1, 10, 15, -10; ... (OEIS A102573).

de Bruijn (1981) has considered the sum

s(m,n)=sum_(k=0)^(2n)(-1)^(k+n)(2n; k)^m
(26)
for m,n>=1. This sum has closed form for m=1, 2, and 3,

s(1,n)=0
(27)
s(2,n)=((2n)!)/((n!)^2),
(28)
the central binomial coefficient, giving 1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, ... (OEIS A000984), and

s(3,n)=((3n)!)/((n!)^3),
(29)
giving 1, 6, 90, 1680, 36450, 756756, ... (OEIS A006480; Aizenberg and Yuzhakov 1984). However, there is no similar formula for m>=4 (de Bruijn 1981). The first few terms of s(4,n) are 1, 14, 786, 61340, 5562130, ... (OEIS A050983), and for s(5,n) are 1, 30, 5730, 1696800, 613591650, ... (OEIS A050984).

An interesting generalization of b_1(n) is given by

sum_(k=0)^n(-1)^k(n; k)(x-k)^n=n!
(30)
for positive integer n and all x (Ruiz 1996). This identity is consequence of the fact the difference operator applied n times to a polynomial of degree n will result in n! times the leading coefficient of the polynomial. The above equation is just a special instance of this, with the general case obtained by replacing (x-k)^n by any polynomial P(x-k) of degree n with leading coefficient 1.

The infinite sum of inverse binomial coefficients has the analytic form

sum_(k=0)^(infty)1/((n; k)) = _2F_1(1,1;-n;-1)
(31)
= -(n+1)int_0^1(dx)/((1-x)^(n+2)(x+1)),
(32)
where _2F_1(a,b;c;x) is a hypergeometric function. In fact, in general,

sum_(k=0)^infty1/((n; k)^p)=_(p+1)F_p(1,...,1_()_(p+1);-n,...,-n_()_(p);(-1)^p)
(33)
and

sum_(k=0)^infty((-1)^k)/((n; k)^p)=_(p+1)F_p(1,...,1_()_(p+1);-n,...,-n_()_(p);(-1)^(p+1)).
(34)
Another interesting sum is

sum_(k=0)^(n)(n!)/(k!) = eGamma(n+1,1)
(35)
= |_n!e_|,
(36)
where Gamma(a,x) is an incomplete gamma function and |_x_| is the floor function. The first few terms for n=1, 2, ... are 2, 5, 16, 65, 326, ... (OEIS A000522).

A fascinating series of identities involving inverse central binomial coefficients times small powers are given by

sum_(n=1)^(infty)1/((2n; n)) = 1/(27)(2pisqrt(3)+9)
(37)
sum_(n=1)^(infty)1/(n(2n; n)) = 1/9pisqrt(3)
(38)
sum_(n=1)^(infty)1/(n^2(2n; n)) = 1/3zeta(2)=1/(18)pi^2
(39)
sum_(n=1)^(infty)1/(n^3(2n; n)) = 1/(18)pisqrt(3)[psi_1(1/3)-psi_1(2/3)]-4/3zeta(3)
(40)
sum_(n=1)^(infty)1/(n^4(2n; n)) = (17)/(36)zeta(4)=(17)/(3240)pi^4
(41)
sum_(n=1)^(infty)1/(n^5(2n; n)) = 1/(432)pisqrt(3)[psi_3(1/3)-psi_3(2/3)]-(19)/3zeta(5)+1/9zeta(3)pi^2
(42)
sum_(n=1)^(infty)1/(n^7(2n; n)) = (11)/(311040)pisqrt(3)[psi_5(1/3)-psi_5(2/3)]-(493)/(24)zeta(7)+1/3zeta(5)pi^2+(17)/(1620)zeta(3)pi^4,
(43)
(Comtet 1974, p. 89; Le Lionnais 1983, pp. 29, 30, 41, 36; Borwein et al. 1987, pp. 27-28), which follow from the beautiful formula

sum_(n=1)^infty1/(n^k(2n; n))=1/2_(k+1)F_k(1,...,1_()_(k+1);3/2,2,...,2_()_(k-1);1/4)
(44)
for k>=1, where _mF_n(a_1,...,a_m;b_1,...,b_n;x) is a generalized hypergeometric function and psi_n(x) is the polygamma function and zeta(x) is the Riemann zeta function (Plouffe 1998).

A nice sum due to B. Cloitre (pers. comm., Oct. 6, 2004) is given by

sum_(n=1)^infty((-1)^(n-1))/(n2^n(2n; n))=1/3ln2.
(45)
Additional classes of binomial sums that can be done in closed form include

sum_(n=1)^(infty)(18-9n)/((2n; n)) = (2pi)/(sqrt(3))
(46)
sum_(n=0)^(infty)(50n-6)/((3n; n)2^n) = pi
(47)
sum_(n=1)^(infty)(-150n^2+230n-36)/((3n; n)2^n) = pi
(48)
sum_(n=1)^(infty)(575n^2-965n+273)/((3n; n)2^n) = -6ln2
(49)
(Gosper 1974, Borwein and Borwein 1987; Borwein et al. 2004, pp. 20-25). Some of these follow from the general results

sum_(n=1)^(infty)(n^k)/((2n; n)) = 1/2(-1)^(k+1)sum_(j=1)^(k+1)((-1)^jj!S(k+1,j))/(3^j)(2j; j)×[(2pi)/(3sqrt(3))+sum_(i=0)^(j-1)(3^i)/((2i+1)(2i; i))]
(50)
= p_k+q_kpi/(sqrt(3)),
(51)
where S(k,j) is a Stirling number of the second kind and p_k, q_k are definite rational numbers (Borwein et al. 2004, pp. 23-25). The first few sums of the first form are

sum_(n=1)^(infty)1/((2n; n)) = 1/3+2/9pi/(sqrt(3))
(52)
sum_(n=1)^(infty)n/((2n; n)) = 2/3+2/9pi/(sqrt(3))
(53)
sum_(n=1)^(infty)(n^2)/((2n; n)) = 4/3+(10)/(27)pi/(sqrt(3)),
(54)
giving values of p_k as 2/3, 4/3, 10/3, 32/3, ..., and of q_k as 2/9, 10/27, 74/81, ....

Similarly, the first few sums of the second form are given by

sum_(n=1)^infty(n^k)/((3n; n)2^n)=r_k+s_kpi+t_kln2.
(55)
The first few of these are

sum_(n=1)^(infty)1/((3n; n)2^n) = 2/(25)-6/(125)ln2+(11)/(250)pi
(56)
sum_(n=1)^(infty)n/((3n; n)2^n) = (81)/(625)-(18)/(3125)ln2+(79)/(3125)pi
(57)
sum_(n=1)^(infty)(n^2)/((3n; n)2^n) = (561)/(3125)+(42)/(15625)ln2+(673)/(31250)pi,
(58)
giving values for r_k as 2/25, 81/625, 561/3125, ..., for s_k as -6/125, -18/3125, 42/15625, ..., and for t_k as 11/250, 79/3125, 673/31250, ....

Borwein (et al. 2004, pp. 27-28) conjecture closed-form solutions to sums of the form

sum_(n=1)^infty1/(n^3(3n; n)2^n)
(59)
in terms of multidimensional polylogarithms.

Sums of the form

sum_(n=1)^infty((-1)^(n+1))/(n^k(2n; n))=1/2_(k+1)F_k(1,...,1_()_(k+1);3/2,2,...,2_()_(k-1);-1/4)
(60)
can also be simplified (Plouffe 1998) to give the special cases

sum_(n=1)^(infty)((-1)^(n-1))/(n(2n; n)) = 2/5sqrt(5)csch^(-1)2=2/5sqrt(5)lnphi
(61)
sum_(n=1)^(infty)((-1)^(n-1))/(n^2(2n; n)) = 2(csch^(-1)2)^2=2(lnphi)^2
(62)
sum_(n=1)^(infty)((-1)^(n-1))/(n^3(2n; n)) = 2/5zeta(3).
(63)
Other general identities include

((a+b)^n)/a=sum_(k=0)^n(n; k)(a-kc)^(k-1)(b+kc)^(n-k)
(64)
(Prudnikov et al. 1986), which gives the binomial theorem as a special case with c=0, and

sum_(n=0)^(infty)(2n+s; n)x^n = _2F_1(1/2(s+1),1/2(s+2);s+1,4x)
(65)
= (2^s)/((sqrt(1-4x)+1)^ssqrt(1-4x)),
(66)
where _2F_1(a,b;c;z) is a hypergeometric function (Abramowitz and Stegun 1972, p. 555; Graham et al. 1994, p. 203).

For nonnegative integers n and r with rj)n_in_j=(n; 2),
(70)
where

n=sum_(i)n_i.
(71)
The latter is the umbral analog of the multinomial theorem for n^2

((a+b+c)^2)/2=(a^2)/2+(b^2)/2+(c^2)/2+ab+ac+bc
(72)
using the lower-factorial polynomial

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ทฤษฎีบททวินามสำคัญระบุว่า sum_(k=0) ^ r n (n, k) ^ k = (1 + r) ^ n (1)พิจารณาผลรวมของอำนาจของสัมประสิทธิ์ทวินามa_n^((r)) = sum_(k=0)^(n) (n, k) ^ r (2) = _rF_(r-1)(-n,...,-n_()_(r);1,...,1_()_(r-1);(-1)^(r+1)) (3)ที่ _pF_q(a_1,...,a_p;b_1,...,b_q;z) เป็นฟังก์ชันเมตริกเมจแบบทั่วไป เมื่อพวกเขามี สมการเกิดขึ้นที่ให้โซลูชั่นสมการเหล่านี้สามารถสร้างได้อย่างรวดเร็วโดยใช้อัลกอริทึมของ Zeilberger นั้นสำหรับ r = 1 โซลูชันฟอร์มปิดถูกกำหนดโดย a_n^((1)) = 2 ^ n (4)เช่น อำนาจของทั้งสอง a_n^((1)) ปฏิบัติตามความสัมพันธ์เวียนเกิด a_(n+1)^((1))-2a_n^((1)) = 0 (5)สำหรับ r = 2 โซลูชันฟอร์มปิดถูกกำหนดโดย a_n^((2)) =(2n; n) (6)เช่น เซ็นทรัลทวินามสัมประสิทธิ์การ a_n^((2)) ปฏิบัติตามความสัมพันธ์เวียนเกิด (n+1)a_(n+1)^((2))-(4n+2)a_n^((2)) = 0 (7)Franel (1894, 1895) เป็นคนแรกที่ได้รับเกิดสำหรับ a_n^((3)) (n+1)^2a_(n+1)^((3))-(7n^2+7n+2)a_n^((3))-8n^2a_(n-1)^((3)) = 0 (8)(Riordan 1980, p. 193 Barrucand 1975 Cusick 1989 จินและสัน 2000), เพื่อ a_n^((3)) บางครั้งเรียกว่าหมายเลข Franel ลำดับสำหรับ a_n^((3)) ไม่สามารถแสดงเป็นจำนวนเงื่อนไขเมตริก (Petkovšek et al. 1996, p. 160), และมีนิพจน์ไม่ฟอร์มปิดเมตริกFranel (1894, 1895) ยังเป็นคนแรกที่ได้รับการเกิดขึ้นประจำสำหรับ a_n^((4)) (n+1)^3a_(n+1)^((4))-2(2n+1)(3n^2+3n+1)a_n^((4)) -4n(4n+1)(4n-1)a_(n-1)^((4)) = 0 (9)(Riordan 1980, p. 193 จินและสัน 2000)Perlstadt (1987) พบเกิดความยาว 4 สำหรับ r = 5 และ 6 32(n+1)^4(55n^2+253n+292)a_n^((5))+(19415n^6+205799n^5+900543n^4+2082073n^3+2682770n^2+1827064n+514048)a_(n+1)^((5))+(1155n^6+14553n^5+75498n^4+205949n^3+310827n^2+245586n+79320)a_(n+2)^((5))+(n+3)^4(55n^2+143n+94)a_(n+3)^((5))=0. (10)ชมิดท์และหยวน (1995) พบว่าเกิดกำหนดสำหรับ r = 3, 4, 5 และ 6 มีน้อยที่สุด มีความยาวน้อยที่สุดสำหรับ r > 6 มีน้อย 3 ตารางต่อไปนี้สรุปค่า a_n^((r)) สำหรับ r เล็กน้อยแรกr a_n^((r)) สโลน1 A000079 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ...2 A000984 1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, ...3 A000172 1, 2, 10, 56, 346, 2252, ...4 A005260 1, 2, 18, 164, 1810, 21252, ...5 A005261 1, 2, 34, 488, 9826, 206252, ...สอดคล้องกับการสลับชุดเป็นb_n^((r)) = sum_(k=0)^(n)(-1) ^ k (n, k) ^ r (11) = _rF_(r-1)(-n,...,-n_()_(r);1,...,1_()_(r-1);(-1)^(r+1)) (12)มีหลายค่าแรกb_n^((1)) = 0 (13)b_n^((2)) = (2^nsqrt(pi))/(Gamma(1/2-1/2n)Gamma(1+1/2n)) (14) = 2^nP_n(0) (15) = { 0 สำหรับ n = 2k-1 (-1) ^ k (2 k; k) สำหรับ n = 2 k (16)b_n^((3)) = /(n! (2^nsqrt(pi)Gamma(1+3/2n)) Gamma(1/2(1-n))Gamma(1+1/2n)^2) (17) = { 0 สำหรับ n = 2k-1 ((-1)^k(3k)!) /((k!) ^ 3) สำหรับ n = 2 k (18)ที่ Gamma(z) ฟังก์ชันแกมมา P_n(x) คือ เลอฌ็องดร์ที่พหุนาม และข้อคี่ของ b_3(n) ได้ โดย s(3,n) de Bruijn มีสลับกันอัลกอริทึมของ Zeilberger สามารถใช้หาสมการเกิดขึ้นสำหรับ b_ns nb_n^((2))+4(n-1)a_(n-2)^((2)) = 0 n^2b_n^((3))+3(9n^2-18n+8)b_(n-2)^((3)) = 0 (n-1)n^3(12n^2-63n+83)b_n^((4))+4(408n^6-3774n^5+13760n^4-25203n^3+24465n^2-11970n+2340)b_(n-2)^((4))+16(n-2)(n-3)^3(12n^2-15n+5)b_(n-4)^((4)) = 0 (19)ผลรวมของ k sum_(k=0)^(n) (n, k) แบบฟอร์ม ^ r (Boros และ 2004 Moll นำ 14-15) ได้โดยsum_(k=0)^(n) (n, k) = 2 ^ n (20)sum_(k=0) ^ k (n) (n, k) = 2 ^(n-1) n (21)sum_(k=0) ^ (n) k ^ 2 (n, k) = 2^(n-2)n(n+1) (22)sum_(k=0) ^ (n) k ^ 3 (n, k) = 2^(n-3)n^2(n+3) (23)sum_(k=0) ^ (n) k ^ 4 (n, k) = 2^(n-4)n(n+1)(n^2+5n-2) (24)sum_(k=0) ^ (n) k ^ 5 (n, k) = 2^(n-5)n^2(n^3+10n^2+15n-10) (25)ที่สามเหลี่ยมของสัมประสิทธิ์ polynomials ขวา (ละเว้นเงื่อนไขแม้/คี่ n ^ 2 และ n(n+1)) จะได้รับ 1 1, 3 1, 5, -2 1, 10, 15, -10 ... (OEIS A102573)เดอ Bruijn (1981) ได้พิจารณาผลรวม s(m,n)=sum_(k=0)^(2n)(-1)^(k+n) (2n; k) ^ m (26)สำหรับ m, n > = 1 ผลรวมนี้มีปิดแบบฟอร์มสำหรับ m = 1, 2 และ 3 s (1, n) = 0 (27) s(2,n)=((2n)!) /((n!) ^ 2), (28)ค่ากลางทวินามสัมประสิทธิ์ ให้ 1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, ... (OEIS A000984), และ s(3,n)=((3n)!) /((n!) ^ 3), (29)ให้ 1, 6, 90 ค.ศ. 1680 ที่ นี่ 36450, 756756, ... (OEIS A006480 Aizenberg และ Yuzhakov 1984) อย่างไรก็ตาม มีสูตรไม่เหมือน m > = 4 (เด Bruijn 1981) บางเงื่อนไขแรกของ s(4,n) 1, 14, 786, 61340, 5562130, ... (OEIS A050983), และสำหรับ s(5,n) 1, 30, 5730, 1696800, 613591650, ... (OEIS A050984)Generalization ที่น่าสนใจของ b_1(n) ได้โดย sum_(k=0) ^ n (-1) ^ k (n; k)(x-k) ^ n = n (30)สำหรับจำนวนเต็มบวก n และ x (Ruiz 1996) ทั้งหมด ตัวนี้เป็นสัจจะของจริงที่จะมีผลเวลา n ตัวใช้ความแตกต่างกับพหุนามของปริญญา n n เวลาสัมประสิทธิ์นำของโพลิโนเมีย สมการข้างต้นเป็นเพียงการพิเศษอันนี้ กับกรณีทั่วไปได้ ด้วยการแทนที่ (x-k) ^ n โดย P(x-k) พหุนามใด ๆ ของ n องศากับสัมประสิทธิ์นำ 1ผลบวกอนันต์ของสัมประสิทธิ์ทวินามผกผันมีแบบโกดังsum_(k=0) ^ (infty) 1/((n; k)) = _2F_1(1,1;-n;-1) (31) =-(n+1)int_0^1(dx)/((1-x)^(n+2)(x+1)), (32)ที่ _2F_1(a,b;c;x) เป็นฟังก์ชันเมตริก ในความเป็นจริง ในทั่วไป sum_(k=0) ^ infty1/((n; k)^p)=_(p+1)F_p(1,...,1_()_(p+1);-n,...,-n_()_(p);(-1)^p) (33)และ sum_(k=0) ^ infty ((-1) ^ k) / ((n; k)^p)=_(p+1)F_p(1,...,1_()_(p+1);-n,...,-n_()_(p);(-1)^(p+1)) (34)ผลรวมที่น่าสนใจอีกsum_(k=0)^(n)(n!) /(k!) = eGamma(n+1,1) (35) = |_n!e_|, (36)ที่ Gamma(a,x) เป็นฟังก์ชันแกมมาไม่สมบูรณ์และ |_x_| ฟังก์ชันชั้น เงื่อนไขน้อยแรกสำหรับ n = 1, 2,... 2, 5, 16, 65, 326, ... (OEIS A000522)ชุดของข้อมูลที่เกี่ยวข้องกับอำนาจเล็กเวลาผกผันสัมประสิทธิ์ทวินามกลางน่าสนใจได้ด้วยsum_(n=1) ^ (infty) 1/((2n; n)) = 1/(27)(2pisqrt(3)+9) (37)sum_(n=1) ^ (infty) 1 / (n (2n; n)) = 1/9pisqrt(3) (38)sum_(n=1) ^ (infty) 1 / (n ^ 2 (2n; n)) = 1/3zeta (2) = 1 / (18) pi ^ 2 (39)sum_(n=1) ^ (infty) 1 / (n ^ 3 (2n; n)) = 1/(18)pisqrt(3)[psi_1(1/3)-psi_1(2/3)]-4/3zeta(3) (40)sum_(n=1) ^ (infty) 1 / (n ^ 4 (2n; n)) = (17) (36) / ซีตา (4) = (17) / ผี (3240) ^ 4 (41)sum_(n=1) ^ (infty) 1 / (n ^ 5 (2n; n)) = 1/(432)pisqrt(3)[psi_3(1/3)-psi_3(2/3)] - (19) / 3zeta (5) + 1/9zeta (3) pi ^ 2 (42)sum_(n=1) ^ (infty) 1 / (n ^ 7 (2n; n)) = (11)/(311040)pisqrt(3)[psi_5(1/3)-psi_5(2/3)] - (493) / (24) ซีตา (7) + 1/3zeta (5) pi ^ 2 + (17) / (1620) ปี่ซีตา (3) ^ 4 (43)(Comtet 1974, p. 89 เลอ Lionnais 1983 นำ 29, 30, 41, 36 Borwein et al. 1987 นำ 27-28), ซึ่งตามสูตรที่สวยงาม sum_(n=1) ^ infty1 / (n ^ k (2n; n))=1/2_(k+1)F_k(1,...,1_()_(k+1);3/2,2,...,2_()_(k-1);1/4) (44)สำหรับ k > = 1 ที่ _mF_n(a_1,...,a_m;b_1,...,b_n;x) คือ เมตริกเมจแบบทั่วไปฟังก์ชัน และ psi_n(x) ฟังก์ชัน polygamma และ zeta(x) เป็นฟังก์ชันซีตาของ Riemann (Plouffe 1998)ผลรวมดีเนื่องจาก B. Cloitre (อาทิสื่อ 6 ตุลาคม 2004) ถูกกำหนดโดย sum_(n=1)^infty((-1)^(n-1)) / (n2 ^ n (2n; n)) = 1/3ln2 (45)เรียนเพิ่มเติมของทวินามผลบวกที่สามารถทำได้ในแบบฟอร์มการปิดรวมsum_(n=1)^(infty)(18-9n)/((2n; n)) = (2pi)/(sqrt(3)) (46)sum_(n=0)^(infty)(50n-6) ((3n; n) 2 ^ n) = pi (47)sum_(n=1)^(infty)(-150n^2+230n-36) ((3n; n) 2 ^ n) = pi (48)sum_(n=1)^(infty)(575n^2-965n+273) ((3n; n) 2 ^ n) = - 6ln2 (49)(Gosper 1974, Borwein และ Borwein 1987 Borwein et al. 2004 นำ 20-25) เหล่านี้ตามผลทั่วไปsum_(n=1)^(infty)(n^k)/((2n; n)) = 1/2(-1)^(k+1)sum_(j=1)^(k+1) ((-1) ^ เจเจ S(k+1,j))/(3^j) (2j; j)×[(2pi)/(3sqrt(3))+sum_(i=0)^(j-1)(3^i)/((2i+1) (2i ฉัน))] (50) = p_k+q_kpi/(sqrt(3)) (51)หมายเลขสเตอร์ลิง p_k และชนิดที่สอง S(k,j) q_k ได้แน่นอนตรรก (Borwein et al. 2004 นำ 23-25) ผลบวกสามแรกของแบบแรกsum_(n=1) ^ (infty) 1/((2n; n)) = 1/3+2/9pi/(sqrt(3)) (52)sum_(n=1) ^ n/((2n; n) (infty)) = 2/3+2/9pi/(sqrt(3)) (53)sum_(n=1)^(infty)(n^2)/((2n; n)) = 4/3+(10)/(27)pi/(sqrt(3)) (54)ให้ค่า p_k เป็น 2/3, 4/3, 10/3, 32/3,..., และ q_k 2/9, 10/27, 74/81, ...ในทำนองเดียวกัน กำหนดผลรวมสามแรกของแบบฟอร์มที่สองโดย sum_(n=1) ^ infty(n^k) ((3n; n) 2 ^ n) = r_k + s_kpi + t_kln2 (55)ครั้งแรกไม่กี่เหล่านี้คือsum_(n=1) ^ (infty) 1/((3n; n) 2 ^ n) = 2 / (25) -6 / (125) ln2 + (11) / (250) ปี่ (56)sum_(n=1) ^ (infty) n/((3n; n) 2 ^ n) = (81) / (625) - (18) / (3125) ln2 + (79) / ผี (3125) (57)sum_(n=1)^(infty)(n^2) ((3n; n) 2 ^ n) = (561) / (3125) + (42) / (15625) ln2 + (673) / (31250) ปี่ (58)ให้ค่าสำหรับ r_k 2/25, 81/625, 561/3125,..., สำหรับ s_k เป็น-6/125, -18/3125, 42/15625,..., และ t_k เป็น 11/250, 79/3125, 673/31250, ...แก้ไขแบบฟอร์มปิดข้อความคาดการณ์ Borwein (et al. 2004 นำ 27-28) ผลรวมของแบบฟอร์ม sum_(n=1) ^ infty1 / (n ^ 3 (3 คืน n) 2 ^ n) (59)ใน polylogarithms หลายผลรวมของแบบฟอร์ม sum_(n=1)^infty((-1)^(n+1)) / (n ^ k (2n; n))=1/2_(k+1)F_k(1,...,1_()_(k+1);3/2,2,...,2_()_(k-1);-1/4) (60)ยังสามารถประยุกต์ (Plouffe 1998) ให้กรณีพิเศษsum_(n=1)^(infty)((-1)^(n-1)) / (n (2n; n)) = 2/5sqrt (5) csch ^(-1) 5sqrt 2 = 2 (5) lnphi (61)sum_(n=1)^(infty)((-1)^(n-1)) / (n ^ 2 (2n; n)) = 2 (csch ^(-1) 2) ^ 2 = 2 (lnphi) ^ 2 (62)sum_(n=1)^(infty)((-1)^(n-1)) / (n ^ 3 (2n; n)) = 2/5zeta(3) (63)ข้อมูลทั่วไปอื่น ๆ ได้แก่ ((a+b) ^ n) / ตัว = sum_(k=0) ^ n (n; k)(a-kc)^(k-1)(b+kc)^(n-k) (64)(Prudnikov et al. 1986), ซึ่งทำให้ทฤษฎีบททวินามเป็นกรณีพิเศษกับ c = 0 และsum_(n=0)^(infty) (2n + s; n) x ^ n = _2F_1(1/2(s+1),1/2(s+2);s+1,4x) (65) = (2^s)/((sqrt(1-4x)+1)^ssqrt(1-4x)) (66)ที่ _2F_1(a,b;c;z) เป็นฟังก์ชันเมตริก (Abramowitz และ Stegun 1972, p. 555 แกรแฮม et al. 1994, p. 203)Nonnegative จำนวนเต็ม n และ r กับ r < = n + 1 sum_(k=0)^n((-1)^k)/(k+1) (n; k)[sum_(j=0)^(r-1)(-1) ^ j (n; j)(r-j)^(n-k)+sum_(j=0)^(n-r)(-1) ^ j (n; j)(n+1-r-j)^(n-k)] = n ! (67)มี n = 2r-1 ให้ sum_(k=0)^n((-1)^k)/(k+1) (n; k)sum_(j=0)^(r-1) (n; j) (r-j) ^(n-k) = 1/2n ! (68)มีรหัสประจำตัวอื่น ๆ sum_(k=0) ^ n (n + k; k)[x^(n+1)(1-x) ^ k + (1-x) ^(n+1) x ^ k] = 1 (69)(Gosper 1972) และ sum_(i)(n_i; 2) + sum_(i>j) n_in_j = (n, 2), (70)ซึ่ง n = sum_ (i) n_i (71)หลังเป็นแบบแอนะล็อก umbral ของทฤษฎีบทก็ตามสำหรับ n ^ 2 ((+ b + c) ^ 2) / 2 =(a^2) / 2 + (b ^ 2) / 2 + (c ^ 2) / 2 + ab + ac + bc (72)ใช้พหุนามล่างแฟกทอเรียล

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

รัฐทฤษฎีบททวินามสำคัญที่sum_ (k = 0) ^ n (n; k). อา ^ k = (1 + R) ^ n (1) พิจารณาผลรวมของอำนาจของสัมประสิทธิ์ทวินามa_n ^ ((R)) = sum_ (k = 0) ^ (n) (n; k) ^ อาร์(2) = _rF_ (R-1) (- n, ... , n - _ () _ (R); 1, ... , 1_ () _ (R-1) (- 1) ^ (R + 1)) (3) ที่ _pF_q (a_1, ... , a_p; b_1, ... , b_q; ซี) เป็นฟังก์ชั่น hypergeometric ทั่วไป . เมื่อพวกเขาอยู่สมการการเกิดซ้ำที่ให้การแก้สมการเหล่านี้สามารถสร้างขึ้นได้อย่างรวดเร็วโดยใช้อัลกอริทึม Zeilberger ของ. สำหรับ r = 1, การแก้ปัญหาการปิดรูปแบบจะได้รับจากa_n ^ ((1)) = 2 ^ n, (4) คือ อำนาจของทั้งสอง a_n ^ ((1)) เชื่อฟังความสัมพันธ์เกิดขึ้นอีกa_ (n + 1) ^ ((1)) -. 2a_n ^ ((1)) = 0 (5) สำหรับ r = 2, การแก้ปัญหาการปิดรูปแบบจะได้รับจากa_n ^ ((2)) =. (2n; n) (6) คือค่าสัมประสิทธิ์ทวินามกลาง a_n ^ ((2)) เชื่อฟังความสัมพันธ์เกิดขึ้นอีก(n + 1) a_ (n + 1) ^ ((2)) -. (4n + 2) a_n ^ ((2)) = 0 (7) Franel (1894 1895) เป็นครั้งแรกที่จะได้รับซ้ำสำหรับ a_n ^ ((3)) (n + 1) ^ 2a_ (n + 1) ^ ((3)) - (7N ^ 2 + 7N + 2) a_n ^ (( 3)) - 8N ^ 2a_ (n-1) ^ ((3)) = 0 (8). (Riordan 1980, หน้า 193; Barrucand 1975; Cusick 1989; จินและดิกคินสัน 2000) ดังนั้น a_n ^ ((3) ) บางครั้งเรียกว่าตัวเลข Franel ลำดับสำหรับ a_n ^ ((3)) ไม่สามารถแสดงเป็นจำนวนคงที่ของคำ hypergeometric (Petkovšek et al. 1996, น. 160) และดังนั้นจึงยังไม่มีการปิดรูปแบบการแสดงออก hypergeometric. Franel (1894, 1895) ก็ยังเป็น เป็นครั้งแรกที่จะได้รับการเกิดขึ้นอีกสำหรับ a_n ^ ((4)) (n + 1) ^ 3a_ (n + 1) ^ ((4)) - 2 (2n + 1) (3n ^ 2 + 3n + 1) a_n ^ ((4)) -4n (4n + 1) (4 n-1) a_ (n-1) ^ ((4)) = 0 (9) (Riordan 1980, หน้า 193. จินและดิกคินสัน 2000). Perlstadt (1987) พบว่าการกลับเป็นซ้ำของความยาว 4 สำหรับ r = 5 และ และหยวน (1995) แสดงให้เห็นว่าการกลับเป็นซ้ำได้รับสำหรับ r = 3, 4, 5, 6 และน้อยมีความยาวน้อยที่สุดสำหรับอา> 6 อย่างน้อย 3 ตารางต่อไปนี้สรุปค่าแรก ๆ ของ a_n ^ (( R)) สำหรับอาเล็ก. r โลน a_n ^ ((R)) 1 A000079 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ... 2 A000984 1, 2, 6, 20, 70, 252, 924 ... 3 A000172 1, 2, 10, 56, 346, 2252, ... 4 A005260 1, 2, 18, ​​164, 1810, 21252, ... 5 A005261 1, 2, 34, 488, 9826, 206252 ... ชุดสลับสอดคล้องกันb_n ^ ((R)) = sum_ (k = 0) ^ (n) (- 1) ^ k (n; k) ^ อาร์(11) = _rF_ (R-1 ) (- n, ... , n - _ () _ (R); 1, ... , 1 _ () _ (R-1) (- 1) ^ (R + 1)) (12) ค่าแรกจะb_n ^ ((1)) = 0 (13) b_n ^ ((2)) = (2 ^ nsqrt (PI)) / (แกมมา (1 / 2-1 / 2n) แกมมา (1 + 1 / 2n)) (14) = 2 ^ nP_n (0) (15) = {0 สำหรับ n = 2k-1; (-1) ^ k (2k; k) สำหรับ n = 2k (16)! b_n ^ ((3)) = (2 ^ nsqrt (ปี่) แกมมา (1 + 3 / 2n)) / (n แกมมา (1 / 2 (1-n)) แกมมา (1 + 1 / 2n) ^ 2) (17) = {0 สำหรับ n = 2k-1; ((-1) ^ k (3k)!) / ((k) ^ 3) สำหรับ n = 2k, (18) ที่แกมมา (ซี) เป็นฟังก์ชั่นแกมมา p_n (x) เป็นพหุนาม Legendre และ แง่คี่ของ b_3 (n) จะได้รับโดย Bruijn ของ s (3, n) สลับกับสัญญาณ. ขั้นตอนวิธี Zeilberger สามารถใช้ในการหาสมการการเกิดขึ้นอีกสำหรับ รูปแบบ sum_ นี้ (k = 0) ^ (n) (n; k) k ^ อา (Boros และนางสาว 2004, หน้า 14-15.) จะได้รับจากsum_ (k = 0) ^ (n) (n; k ) = 2 ^ n (20) sum_ (k = 0) ^ (n) k (n; k) = 2 ^ (n-1) n (21) sum_ (k = 0) ^ (n) k ^ 2 ( n; k) = 2 ^ (n-2) n (n + 1) (22) sum_ (k = 0) ^ (n) k ^ 3 (n; k) = 2 ^ (n-3) n ^ 2 (n + 3) (23) sum_ (k = 0) ^ (n) k ^ 4 (n; k) = 2 ^ (n-4) n (n + 1) (n ^ 2 + 5n-2) ( 24) sum_ (k = 0) ^ (n) k ^ 5 (n; k) = 2 ^ (n-5) n ^ 2 (n ^ 3 + 10N ^ 2 + 15n-10) (25) ที่ สามเหลี่ยมของสัมประสิทธิ์ของพหุนามขวามือ (ไม่สนใจแม้กระทั่ง / คี่แง่ n ^ 2 และ n (n + 1)) จะได้รับจาก 1; 1, 3; 1, 5, -2; 1, 10, 15, -10; ... (OEIS A102573). เดอ Bruijn (1981) ได้มีการพิจารณารวมวินาที(m, n) = sum_ (k = 0) ^ (2n) (- 1) ^ (k + n) (2n; k) ^ ม. (26) สำหรับ m, n> = 1 ผลรวมนี้ได้ปิดให้บริการรูปแบบสำหรับ m = 1, 2, และ 3 s (1, n) = 0 (27) s (2, n) = ((2n)!) / ((n) ^ 2) ( 28) ค่าสัมประสิทธิ์ทวินามกลางให้ 1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, ... (OEIS A000984) และs (3, n) = ((3n)!) / ((n) ^ 3) (29) ให้ 1, 6, 90, 1680, 36450, 756756, ... (OEIS A006480; Aizenberg และ Yuzhakov 1984) แต่ไม่มีสูตรที่คล้ายกันสำหรับม> = 4 (เดอ Bruijn 1981) เงื่อนไขแรกไม่กี่วินาที (4, n) คือ 1, 14, 786, 61340, 5562130 ... (OEIS A050983) และสำหรับ s (5, n) คือ 1, 30, 5730, 1696800, 613591650, . .. (OEIS A050984) ทั่วไปที่น่าสนใจของ b_1 (n) จะได้รับจากsum_ (k = 0) ^ n (-1) ^ k (n; k) (XK) ^ n = n! (30) บวก จำนวนเต็ม n และ x (รุยซ์ 1996) ตัวตนนี้เป็นผลมาจากความจริงที่ผู้ประกอบการที่แตกต่างกันนำมาใช้ครั้ง n การพหุนามของ n องศาจะส่งผลให้ n! ครั้งค่าสัมประสิทธิ์ชั้นนำของพหุนาม สมการข้างต้นเป็นเพียงตัวอย่างพิเศษนี้กับกรณีทั่วไปที่ได้รับโดยการเปลี่ยน (XK) ^ n โดยพหุนาม P (XK) n ของการศึกษาระดับปริญญามีค่าสัมประสิทธิ์ชั้นนำ 1. ผลรวมที่ไม่มีที่สิ้นสุดของสัมประสิทธิ์ทวินามผกผันมีรูปแบบการวิเคราะห์sum_ (k = 0) ^ (infty) 1 / ((n; k)) = _2F_1 (1,1; -n; -1) (31) = - (n + 1) int_0 ^ 1 (DX) / (( 1-x) ^ (n + 2) (x + 1)) (32) ที่ _2F_1 (มี b ค; x) เป็นฟังก์ชัน hypergeometric ในความเป็นจริงโดยทั่วไปsum_ (k = 0) ^ infty1 / ((n; k) ^ P) = _ (P + 1) F_p (1, ... , 1 _ () _ (P + 1) - n, ... , n - _ () _ (P) (- 1) ^ P) (33) และsum_ (k = 0) ^ infty ((- 1) ^ k) / ((n; k) ^ P) = _ (P + 1) F_p (1, ... , 1 _ () _ (P + 1) - n, ... , n - _ () _ (P) (- 1) ^ (พี . 1)) (34) อีกหนึ่งที่น่าสนใจคือผลรวมsum_ (k = 0) ^ (n) (n) / (k) = eGamma (n + 1,1)! (35) = | _n e_ |! (36) ที่แกมมา (มี x) เป็นฟังก์ชั่นที่ไม่สมบูรณ์และแกมมา | _x_ | ฟังก์ชั่นชั้น เงื่อนไขไม่กี่ครั้งแรกสำหรับ n = 1, 2, ... กำลัง 2, 5, 16, 65, 326, ... (OEIS A000522.) ชุดที่น่าสนใจของตัวตนที่เกี่ยวข้องกับค่าสัมประสิทธิ์ทวินามผกผันกลางครั้งอำนาจขนาดเล็กจะได้รับจากsum_ (n = 1) ^ (infty) 1 / ((2n; n)) = 1 / (27) (2pisqrt (3) 9) (37) sum_ (n = 1) ^ (infty) 1 / (n ( 2n; n)) = 1 / 9pisqrt (3) (38) sum_ (n = 1) ^ (infty) 1 / (n ^ 2 (2n; n)) = 1 / 3zeta (2) = 1 / (18) ปี่ ^ 2 (39) sum_ (n = 1) ^ (infty) 1 / (n ^ 3 (2n; n)) = 1 / (18) pisqrt (3) [psi_1 (1/3) -psi_1 (2 / 3)] - 4 / 3zeta (3) (40) sum_ (n = 1) ^ (infty) 1 / (n ^ 4 (2n; n)) = (17) / (36) ซีตา (4) = (17 ) / (3240) ปี่ ^ 4 (41) sum_ (n = 1) ^ (infty) 1 / (n ^ 5 (2n; n)) = 1 / (432) pisqrt (3) [psi_3 (1/3) -psi_3 (2/3)] - (19) / 3zeta (5) + 1 / 9zeta (3) ปี่ ^ 2 (42) sum_ (n = 1) ^ (infty) 1 / (n ^ 7 (2n; n )) = 1974 พี 89; Le Lionnais 1983 หน้า 29, 30, 41, 36. Borwein et al, 1987, หน้า 27-28) ซึ่งตามมาจากสูตรที่สวยงาม. sum_ (n = 1) ^ infty1 / (n ^ k (2n; n)) = 1 / 2_ (k + 1) F_k (1, ... 1 _ () _ (k + 1) 3 / 2,2, ... , 2 _ () _ (k-1); 1/4) (44) สำหรับ k> = 1 ที่ _mF_n (a_1 ,. .. , Ã_m; b_1, ... , b_n; x) เป็นฟังก์ชัน hypergeometric ทั่วไปและ psi_n (x) เป็นฟังก์ชัน polygamma และซีตา (x) เป็นฟังก์ชันซีตา Riemann (Plouffe 1998). ผลรวมที่ดีเนื่องจากการ B . Cloitre (.. pers สื่อสาร, 6 ตุลาคม 2004) จะได้รับจากsum_ (n = 1) ^ infty ((- 1) ^ (n-1)) / (n 2 ^ n (2n; n)) = 1 . / 3ln2 (45) เรียนเพิ่มเติมเงินก้อนทวินามที่สามารถทำได้ในรูปแบบรวมถึงการปิดsum_ (n = 1) ^ (infty) (18-9n) / ((2n; n)) = (2pi) / (sqrt ( 3)) (46) sum_ (n = 0) ^ (infty) (50N-6) / ((3n; n) 2 ^ n) = pi (47) sum_ (n = 1) ^ (infty) (- 150N ^ 2 + 230n-36) / ((3n; n) 2 ^ n) = pi (48) sum_ (n = 1) ^ (infty) (575n ^ 2-965n + 273) / ((3n; n) 2 ^ n) = -6ln2 (49) (Gosper 1974 Borwein และ Borwein 1987.. Borwein et al, 2004, หน้า 20-25) บางเหล่านี้ตามมาจากผลทั่วไปsum_ (n = 1) ^ (infty) (n ^ k) / ((2n; n)) = 1/2 (-1) ^ (k + 1) sum_ (ญ = 1 ) ^ (k + 1) ((- 1) ^ jj S (k + 1, ญ)) / (3 ^ ญ) (2j; ญ) × [(2pi) / (3sqrt (3)) + sum_ ( i = 0) ^ (ญ-1) (3 ^ i) / ((2i + 1) (2i; i))] (50) = p_k + q_kpi / (sqrt (3)) (51) ที่ S ( k เจ) คือหมายเลขสเตอร์ลิงของชนิดที่สองและ p_k, q_k เป็นตัวเลขที่มีเหตุผลที่ชัดเจน (Borwein et al. 2004 ได้ pp. 23-25) จำนวนเงินไม่กี่ครั้งแรกของรูปแบบครั้งแรกที่มีการsum_ (n = 1) ^ (infty) 1 / ((2n; n)) = 1/3 + 2 / 9pi / (sqrt (3)) (52) sum_ (n = 1) ^ (infty) n / ((2n; n)) = 2/3 + 2 / 9pi / (sqrt (3)) (53) sum_ (n = 1) ^ (infty) (n ^ 2) / ( (2n; n)) = 3/4 + (10) / (27) ปี่ / (sqrt (3)) (54) การให้คุณค่าของ p_k เป็น 2/3, 4/3, 10/3, 32/3 ... และ q_k เป็น 09/02, 10/27, 74/81, .... ในทำนองเดียวกันเงินก้อนแรก ๆ ของรูปแบบที่สองจะได้รับโดยsum_ (n = 1) ^ infty (n ^ k ) / ((3n; n) 2 ^ n) = r_k + s_kpi + t_kln2. (55) เป็นครั้งแรกไม่กี่เหล่านี้จะsum_ (n = 1) ^ (infty) 1 / ((3n; n) 2 ^ n) = 2 / (25) -6 / (125) LN2 + (11) / (250) ปี่(56) sum_ (n = 1) ^ (infty) n / ((3n; n) n ^ 2) = (81) / (625) - (18) / (3125) LN2 + (79) / (3125) ปี่(57) sum_ (n = 1) ^ (infty) (n ^ 2) / ((3n; n) 2 ^ n) = (561) / (3125) + (42) / (15625) LN2 + (673) / (31250) ปี่, (58) ให้ค่า r_k เป็น 25/02, 81/625, 561/3125, ... , สำหรับ s_k เป็น -6/125, -18 / 3125, 42/15625 ... และสำหรับ t_k เป็น 11/250, 79/3125, 673/31250, .... Borwein (et al. 2004, pp ได้ 27-28) การคาดเดารูปแบบการแก้ปัญหาการปิดการผลรวมของรูปแบบsum_ (n = 1) ^ infty1 / (n ^ 3 (3n; n) 2 ^ n) (59) ในแง่ของการ polylogarithms หลายมิติ. ผลรวมของรูปแบบsum_ (n = 1) ^ infty ((- 1) ^ (n + 1)) / (n ^ k (2n; n)) = 1 / 2_ (k + 1) F_k (1, ... , 1 _ () _ (k + 1) 3 / 2,2, ... , 2 _ () _ (k-1); -1/4) (60) นอกจากนี้ยังสามารถประยุกต์ (Plouffe 1998) เพื่อให้เป็นกรณีพิเศษsum_ (n = 1) ^ (infty) ((- 1) ^ (n-1)) / (n (2n; n )) = 2 / 5sqrt (5) csch ^ (- 1) 2 = 2 / 5sqrt (5) lnphi (61) sum_ (n = 1) ^ (infty) ((- 1) ^ (n-1)) / (n ^ 2 (2n; n)) = 2 (csch ^ (- 1) 2) ^ 2 = 2 (lnphi) ^ 2 (62) sum_ (n = 1) ^ (infty) ((- 1) ^ ( n-1)) / (n ^ 3 (2n. n)) = 2 / 5zeta (3) (63) ตัวตนทั่วไปอื่น ๆ ได้แก่((A + B) ^ n) / a = sum_ (k = 0) ^ n (n; k) (a-kc) ^ (k-1) (ข + kc) ^ (NK) (64) (Prudnikov et al, 1986.) ซึ่งจะช่วยให้ทฤษฎีบททวินามเป็นกรณีพิเศษกับ c = 0 และsum_ (n = 0) ^ (infty) (2n + s; n) x ^ n = _2F_1 (1/2 (s + 1), 1/2 (s + 2); s + 1,4x) ( 65) = (2 ^ s) / ((sqrt (1-4x) 1) ^ ssqrt (1-4x)) (66) ที่ _2F_1 (มี b ค; ซี) เป็นฟังก์ชั่น hypergeometric (Abramowitz และ .... Stegun 1972, หน้า 555; เกรแฮม et al, 1994, หน้า 203) สำหรับจำนวนเต็ม nonnegative n และอาร์กับอาร์ <= n + 1, sum_ (k = 0) ^ n ((- 1) ^ k) / ( k + 1) (n; k) [sum_ (ญ = 0) ^ (R-1) (- 1) ^ เจ (n; ญ) (RJ) ^ (NK) + sum_ (ญ = 0) ^ (NR ) (- 1) ^ เจ (n; ญ) (1 + n-RJ) ^ (NK)] = n !. (67) การ n = 2r-1 ให้sum_ (k = 0) ^ n ((- 1 ) ^ k) / (k + 1) (n; k) sum_ (ญ = 0) ^ (R-1) (n; ญ) (RJ) ^ (NK) = 1 / 2n !. (68) ตัวตนอื่น ๆ จะsum_ (k = 0) ^ n (n + k; k) [x ^ (n + 1) (1-x) ^ k + (1-x) ^ (n + 1) x ^ k] = 1 (69) (Gosper 1972) และsum_ (i) (n_i 2 ) + sum_ (i> ญ) n_in_j = (n 2), (70) ที่n. = sum_ (i) n_i (71) หลังเป็นอนาล็อก umbral ทฤษฎีบทพหุนามสำหรับ n ^ 2 ((A + B + c) ^ 2) / 2 = (ก ^ 2) / 2 + (ข ^ 2) / 2 + (c ^ 2) / 2 + AB + C + BC (72) โดยใช้พหุนามที่ต่ำกว่าปัจจัย

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ที่สำคัญทฤษฎีบททวินามอเมริกา

sum_ ( k = 0 )
n ( n ; K ) r
k = 1 R )
.
( 1 )
พิจารณาผลรวมของพลังของสัมประสิทธิ์ทวินาม

a_n
( R ) ) = sum_ ( k = 0 )
( N ) N ; K )
r
2 )
= _rf_ ( r-1 ) ( - . . - n_() _ ( R ) ; 1 , . . . 1_() _ ( r-1 ) ( - 1 )
( R ( , 1 ) )
3
ที่ _pf_q ( a_1 , . . . , a_p ; b_1 , . . . , b_q ; Z ) นัย hypergeometric ฟังก์ชัน เมื่อพวกเขาอยู่การเกิดสมการที่ให้แก้สมการเหล่านี้สามารถสร้างขึ้นได้อย่างรวดเร็วโดยใช้ขั้นตอนวิธี zeilberger .

R = 1 , ปิดแบบฟอร์มแก้ไขให้

a_n
( ( 1 ) ) = 2
n

( 4 ) คือ พลังของทั้งสอง a_n
( ( 1 ) ) เชื่อฟังความสัมพันธ์เวียนเกิด a_ ( 1 )


( ( 1 ) ) - 2a_n
( ( 1 ) ) = 0 ( 5 )

R = 2 , ปิดแบบฟอร์มแก้ไขให้

a_n
( ( 2 ) ) = 2n ; n )

( 6 ) ได้แก่สัมประสิทธิ์ทวินามกลาง . a_n
( ( วิธี ) ) obeys the recurrence relation เก็บกวาดเก็บกวาด ( n 1 ) a_ ( n 1 )
( ( วิธี ) ) จะ ( 4n วิธี ) a_n
( ( วิธี ) ) = 0 .
7
franel ( 1894 1895 ) เป็นคนแรกที่ได้รับการเกิดขึ้นสำหรับ a_n
( ( 3 ) )

( 1 ) ( 1 ) 2a_

( ( 3 ) ) - ( 7n
2 7n a_n
( 2 ) ( 3 ) - 8n
2a_ ( N - 1 )
( ( 3 ) ) = 0 =
( 8 )
( Riordan 2523 , หน้า 193 ; barrucand 1975 ; คูซิก 1989 ; จินและต่ำกว่า 2000 ) ดังนั้น a_n
( ( 3 ) ) บางครั้งเรียกว่าตัวเลข franel .ลำดับสำหรับ a_n
( ( 3 ) ) ไม่สามารถแสดงเป็นจำนวนเงื่อนไข hypergeometric ( petkov š EK et al . 2539 , หน้า 160 ) และดังนั้นจึงไม่มีรูปแบบปิด hypergeometric สีหน้า

franel ( 1894 1895 ) ยังเป็นคนแรกที่ได้รับการเกิดขึ้นสำหรับ a_n
( ( 4 ) )

( 1 ) ( 1 ) 3a_

( ( 4 ) ) - 2 ( 2 2 ) ( 1 a_n 3N 3N
2 )
( ( 4 ) )
- 4N ( 4N 1 ) ( 4n-1 ) a_ ( N - 1 )
( ( 4 ) ) = 0 =
( 9 )
( Riordan 2523 , หน้า 193 ;จินและต่ำกว่า 2000 )

perlstadt ( 1987 ) พบการเกิดขึ้นของความยาว 4 r = 5 และ 6 .

32 ( 1 ) ( 55n
4
2 253n 292 ) a_n
( ( 5 ) ) ( 19415n
6
5
4 205799n 900543n 2082073n
3
2 1827064n 2682770n 514048 ) a_ ( 1 )
( ( 5 ) ) ( 1155n
6
5
4 14553n 75498n 205949n
3
2 310827n 245586n 79320 ) a_ ( 2 )
( ( 5 ) ) ( 3 ) ( 55n
4
2 143n 94 ) a_ ( n
( 3 ) 5 ) = 0

ชมิดท์ ( 10 ) และหยวน ( 2538 ) พบว่าได้รับการเกิดขึ้นสำหรับ r = 3 , 4 ,5 และ 6 เป็นน้อยที่สุด มีความยาวที่น้อยที่สุดสำหรับ r > 6 เป็นอย่างน้อย 3 . ตารางต่อไปนี้สรุปไม่กี่ค่าแรกของ a_n
( R ) ) เล็ก R .

r สโลน a_n
( R ) )
1 a000079 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 . . . . . . .
2 a000984 1 , 2 , 6 , 20 , 70 , 252 , 663 . . . . .
3 a000172 1 , 2 , 10 , 56 , 346 2252 , . . . . .
4 a005260 1 , 2 , 3 , 164 , 810 21252 , . . . . .
5 a005261 1 2 34 , 488 9826 206252
, , , . . .The corresponding alternating series is

b_n
((r)) = sum_(k=0)
(n)(-1)
k(n; k)
r
(11)
= _rF_(r-1)(-n,...,-n_()_(r);1,...,1_()_(r-1);(-1)
(r 1)),
(12)
The first few values are

b_n
((1)) = 0
(13)
b_n
((2)) = (2
nsqrt(pi))/(Gamma(1/2-1/2n)Gamma(1 1/2n)),
(14)
= 2
nP_n(0)
(15)
= {0 for n=2k-1; (-1)
k(2k; k) for n=2k
(16)
b_n
((3)) = (2
nsqrt(pi)Gamma(1 3/2n))/(n!