The names of Gödel and Tarski domin

The names of Gödel and Tarski dominate the 1930s,[125] a crucial period in the development of metamathematics – the study of mathematics using mathematical methods to produce metatheories, or mathematical theories about other mathematical theories. Early investigations into metamathematics had been driven by Hilbert's program. Work on metamathematics culminated in the work of Gödel, who in 1929 showed that a given first-order sentence is deducible if and only if it is logically valid – i.e. it is true in every structure for its language. This is known as Gödel's completeness theorem. A year later, he proved two important theorems, which showed Hibert's program to be unattainable in its original form. The first is that no consistent system of axioms whose theorems can be listed by an effective procedure such as an algorithm or computer program is capable of proving all facts about the natural numbers. For any such system, there will always be statements about the natural numbers that are true, but that are unprovable within the system. The second is that if such a system is also capable of proving certain basic facts about the natural numbers, then the system cannot prove the consistency of the system itself. These two results are known as Gödel's incompleteness theorems, or simply Gödel's Theorem. Later in the decade, Gödel developed the concept of set-theoretic constructibility, as part of his proof that the axiom of choice and the continuum hypothesis are consistent with Zermelo–Fraenkel set theory. In proof theory, Gerhard Gentzen developed natural deduction and the sequent calculus. The former attempts to model logical reasoning as it 'naturally' occurs in practice and is most easily applied to intuitionistic logic, while the latter was devised to clarify the derivation of logical proofs in any formal system. Since Gentzen's work, natural deduction and sequent calculi have been widely applied in the fields of proof theory, mathematical logic and computer science. Gentzen also proved normalization and cut-elimination theorems for intuitionistic and classical logic which could be used to reduce logical proofs to a normal form.[126][127]

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ชื่อ Gödel และ Tarski ครอง 1930, [125] ระยะเวลาสำคัญในการพัฒนาของ metamathematics – การศึกษาคณิตศาสตร์โดยใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์ในการผลิต metatheories หรือทฤษฎีทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับทฤษฎีทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ Metamathematics สอบสวนต้นได้ถูกขับ โดยโปรแกรมของฮิลแบร์ท ทำงานบน metamathematics culminated ในการทำงานของ Gödel, 1929 ที่แสดงให้เห็นว่า ประโยคแรกสั่งกำหนดเป็น deducible ถ้าและเดียวถ้าเหตุผลถูกต้อง – คือมันเป็นความจริงในทุกโครงสร้างของภาษา นี้เรียกว่าทฤษฎีบทความสมบูรณ์ของ ในปีต่อมา เขาพิสูจน์สองสำคัญ theorems ซึ่งแสดงให้เห็นของ Hibert โปรแกรมจะไม่สามารถบรรลุได้ในรูปแบบเดิม แรกคือไม่มีระบบที่สอดคล้องกันของสัจพจน์ theorems ซึ่งสามารถแสดง โดยกระบวนการที่มีประสิทธิภาพเช่นโปรแกรมคอมพิวเตอร์หรืออัลกอริทึมสามารถพิสูจน์ข้อเท็จจริงทั้งหมดเกี่ยวกับตัวเลขธรรมชาติ สำหรับระบบดังกล่าว จะมีรายงานเกี่ยวกับตัวเลขธรรมชาติที่เป็นจริง แต่ที่เป็น unprovable ภายในระบบเสมอ สองคือที่ว่าระบบดังกล่าวยังสามารถพิสูจน์ข้อเท็จจริงพื้นฐานบางอย่างเกี่ยวกับตัวเลขธรรมชาติ จาก นั้นระบบจะไม่สามารถพิสูจน์ความสอดคล้องของระบบของตัวเอง ผลลัพธ์เหล่านี้สองจะเป็นของ theorems ไม่ หรือเพียงแค่ทฤษฎีบทของ ในทศวรรษ Gödel พัฒนาแนวคิดของชุดสด constructibility เป็นส่วนหนึ่งของหลักฐานของเขาสอดคล้องกับทฤษฎี Zermelo – Fraenkel สัจพจน์ของการเลือกและสมมติฐานความต่อเนื่อง ในการพิสูจน์ทฤษฎี อัน Gentzen พัฒนาธรรมชาติหักและแคลคูลัส sequent ความพยายามที่อดีตจะแบบทางตรรกะเหตุผลเกิดขึ้นในทางปฏิบัติ 'ธรรมชาติ' และได้ง่ายที่สุดใช้กับตรรกะ intuitionistic ในขณะที่หลังถูกคิดค้นเพื่อชี้แจงที่มาของหลักฐานแบบลอจิคัลในระบบใด ๆ อย่างเป็นทางการ เนื่องจากการทำงานของ Gentzen ธรรมชาติหัก และ sequent calculi ได้ถูกประยุกต์ใช้อย่างกว้างขวางในการพิสูจน์ทฤษฎี คณิตตรรกศาสตร์ และวิทยาการคอมพิวเตอร์ นอกจากนี้ Gentzen ยังพิสูจน์ฟื้นฟูและตัดออกตัด theorems เหตุผลคลาสสิก และ intuitionistic ซึ่งสามารถใช้เพื่อลดหลักฐานตรรกะแบบปกติ [126] [127]

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ชื่อของGödelและ Tarski ครอง 1930 [125] ช่วงเวลาที่สำคัญในการพัฒนาของ metamathematics - การศึกษาคณิตศาสตร์โดยใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์ในการผลิต metatheories หรือทฤษฎีทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับทฤษฎีทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ การตรวจสอบก่อนเข้าสู่ metamathematics ได้รับแรงหนุนจากโปรแกรมฮิลแบร์ต การทำงานใน metamathematics culminated ในการทำงานของGödelที่ในปี 1929 แสดงให้เห็นว่าประโยคแรกที่ได้รับการสั่งซื้อเป็น deducible และถ้าหากมันถูกต้องเหตุ - คือมันเป็นความจริงในโครงสร้างของภาษาในทุก นี้เรียกว่าทฤษฎีบทครบถ้วนของGödel หนึ่งปีต่อมาเขาพิสูจน์ทฤษฎีบทสองที่สำคัญซึ่งแสดงให้เห็นว่าโปรแกรม Hibert จะไม่สามารถบรรลุได้ในรูปแบบเดิม ที่แรกก็คือว่าไม่มีระบบที่สอดคล้องกันของสัจพจน์ซึ่งทฤษฎีบทสามารถแสดงโดยขั้นตอนที่มีประสิทธิภาพเช่นขั้นตอนวิธีการหรือโปรแกรมคอมพิวเตอร์ที่มีความสามารถในการพิสูจน์ข้อเท็จจริงทั้งหมดเกี่ยวกับหมายเลขธรรมชาติ ระบบดังกล่าวมีจะเป็นงบที่เกี่ยวกับจำนวนธรรมชาติที่มีจริง แต่ที่พิสูจน์ภายในระบบ อย่างที่สองก็คือว่าถ้าระบบดังกล่าวยังมีความสามารถในการพิสูจน์ข้อเท็จจริงพื้นฐานบางอย่างเกี่ยวกับหมายเลขธรรมชาติแล้วระบบไม่สามารถพิสูจน์ความสอดคล้องของระบบเอง ทั้งสองมีผลเหล่านี้เป็นที่รู้จักกันของGödelทฤษฎีบทไม่สมบูรณ์หรือเพียงแค่ทฤษฏีของGödel ต่อมาในทศวรรษGödelพัฒนาแนวคิดในการตั้งทฤษฎี constructibility ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของการพิสูจน์ว่าจริงของการเลือกและสมมติฐานที่มีความสอดคล้องกับ Zermelo-Fraenkel ทฤษฎีเซต ในการพิสูจน์ทฤษฎีแกร์ฮาร์ด Gentz​​en พัฒนาหักธรรมชาติและแคลคูลัสลำดับ อดีตพยายามที่จะจำลองเหตุผลเชิงตรรกะที่มันเป็นธรรมชาติ 'ที่เกิดขึ้นในการปฏิบัติและถูกนำไปใช้อย่างง่ายดายที่สุดที่จะ intuitionistic ตรรกศาสตร์ในขณะที่หลังได้วางแผนที่จะชี้แจงที่มาของการพิสูจน์ตรรกะในระบบอย่างเป็นทางการใด ๆ เนื่องจากการทำงานของ Gentz​​en ธรรมชาติหักและลำดับนิ่วได้ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในด้านของการพิสูจน์ทฤษฎีตรรกะทางคณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ Gentz​​en ยังพิสูจน์การฟื้นฟูและตัดขจัดทฤษฎีบทสำหรับ intuitionistic ตรรกศาสตร์และคลาสสิกซึ่งสามารถนำมาใช้เพื่อลดการพิสูจน์ตรรกะที่จะเป็นรูปแบบปกติ. [126] [127]

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ชื่อของ G ö del แล้ว tarski ครอง 1930 [ 125 ] ช่วงเวลาสําคัญในการพัฒนาและการศึกษา metamathematics คณิตศาสตร์โดยใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์เพื่อผลิต metatheories หรือทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีเกี่ยวกับทฤษฎีทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ การตรวจสอบก่อนเข้าสู่ metamathematics ได้รับแรงหนุนจากฮิลเบิร์ตของโปรแกรม การทำงานกับ metamathematics culminated ในงาน G ö del ที่ 1929 พบว่าให้ประโยคแรกได้ข้อสรุปถ้าและเพียงถ้ามันเป็นตรรกะที่ถูกต้อง ( เช่นมันเป็นจริงในทุกโครงสร้างภาษาของ นี้เป็นที่รู้จักกันเป็น G ö del มันสมบูรณ์ทฤษฎีบท ปีต่อมาเขาพิสูจน์ทฤษฎีบทที่สำคัญสอง ซึ่งแสดงให้เห็นว่าโปรแกรม hibert จะไม่สามารถบรรลุได้ในแบบเดิม เป็นครั้งแรกที่ไม่สอดคล้องกันของระบบสัจพจน์ที่ทฤษฎีบทสามารถจดทะเบียนโดยกระบวนการที่มีประสิทธิภาพเช่นอัลกอริทึมหรือโปรแกรมคอมพิวเตอร์สามารถพิสูจน์ข้อเท็จจริงทั้งหมดเกี่ยวกับตัวเลขธรรมชาติ สำหรับระบบดังกล่าว จะมีข้อความเกี่ยวกับธรรมชาติ ตัวเลขที่เป็นจริง แต่ที่ unprovable ภายในระบบ สองคือ ว่า ถ้าระบบนี้ยังสามารถพิสูจน์ข้อเท็จจริงพื้นฐานบางอย่างเกี่ยวกับจำนวนธรรมชาติแล้วระบบไม่สามารถพิสูจน์ความสอดคล้องของระบบตัวเอง เหล่านี้สองผลจะเรียกว่าทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดลหรือเพียง G ö del ของทฤษฎีบท ต่อมาในทศวรรษ , G ö del พัฒนาแนวคิดของทฤษฎี constructibility เป็นส่วนหนึ่งของหลักฐานของเขาว่าสัจพจน์ของทางเลือกและสมมติฐานดังกล่าวมีความสอดคล้องกับทฤษฎีแฟรงเกลเซอร์เมโล–ชุด . ทฤษฎีในการพิสูจน์ เจอร์ราด gentzen พัฒนาการตามธรรมชาติ และ แคลคูลัส ตามลำดับ . ความพยายามในอดีตแบบตรรกเป็น " ธรรมชาติ " เกิดขึ้นในทางปฏิบัติและง่ายที่สุดใช้ตรรกวิทยาสหัชญาณนิยม ในขณะที่หลังได้วางแผนเพื่อชี้แจงที่มาของหลักฐานเชิงตรรกะในระบบใด ๆอย่างเป็นทางการ ตั้งแต่ gentzen งานหักตามธรรมชาติและต่อเนื่องกันนิ่วมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในด้านของทฤษฎีพิสูจน์ตรรกะทางคณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ และคอมพิวเตอร์ gentzen ยังพิสูจน์ทฤษฎีบทบรรทัดฐานและตัดตัดสำหรับ intuitionistic และคลาสสิกตรรกะซึ่งสามารถใช้เพื่อลดการพิสูจน์ตรรกะรูปแบบปกติ [ 126 ] [ 127 ]