of order 7 in C,(a). As JY& acts fa

of order 7 in C,(a). As JY& acts faithfully on Q n Qa/(a, a) and on
CJa)/Q n QU which are both of order 211, so by [7, (1) (iii)] ; Cono,,ca,aj(pr), =
1 Cc-o~a);ono,(~J = 4. Hence Co(p,) N 0,s. Let 0 be an element of order 23
in M. Then obviously C,(e) N D, and [Q, 01 N 0:‘. Let h be an element of
order 13 in M. As 3 i C’,(x). by the structure of .l, we ha-e Cd(x) = 1. Let t
be an element of order 11 in 111. Since Nv(8) is a Frobenius group of order
23 * 11, it follow-s that Co( 6) E Dsz and [Q, 51 N 0:‘. There exists an element
p of order 3 in A1 such that C’*(p) is the “triple cover of SZ” (Sz is the Suzuki’s
sporadic simple group of order 2 l8 . 37 . 5’ * 7 . 11 * 13). As an element of
order 13 of C&) acts fixed-point-free on $3, so Cd(p) = 1. Let ja be an
element of order 7 in C:v(i;), then either [Q, p;I N D,e or [Q, pa] = Q. As X
has exactly two conjugacy classes of elements of order 7, so p1 +a pa . Xow
we can assume that (pr , pa) is an S,-subgroup of M. Suppose that [Q, pa] N DBB.
So Co(~a) N Da6. Obviously C&r) n Co(~a) = (a>, otherwise Co(pr) C Co(,,)
which is not the case since 7 1 M : C.,,(a)!. It follows that Cob) N Ds3 for
every p E (pr , pa) - (pa) and so jj -:m A . Thus (pi , &) contains 42 conjugates
of p1 and 6 conjugates of Pa in Au. This implies that 7 1 : A~~((& , pa>)!

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

สั่ง 7 ใน C,(a) จรรยาและ faithfully ใน Q n Qa / (การ ความ) และในCJa) /Q n โต๊ะซึ่งมีทั้งสั่ง 211 ดังนั้นด้วย [7, (1) (iii)]; Cono,,ca,aj(pr), =1 cc โอ ~ การ); โอโนะ, (~ J = 4 ดังนั้น Co(p,) N 0,s ให้มีองค์ประกอบของลำดับ 23 0ในม. แล้วชัด C,(e) N D และ [Q, N 0 01:'. ให้ h เป็นองค์ประกอบของสั่ง 13 ใน M เป็น 3 ฉัน C',(x) โดยโครงสร้างของ.l เรา ha-e Cd(x) = 1 ให้ tมีองค์ประกอบของใบสั่งใน 11 111 Nv(8) เป็น กลุ่มโฟรเบนีอุสของใบสั่งได้ 23 * 11, s ตามที่ Dsz E Co (6) และ [Q, N 0 51:'. มีองค์ประกอบp ของสั่ง 3 A1 ให้ C'*(p) เป็น "ทริปกของ SZ" (Sz เป็นของซูซูกิกลุ่มอย่างมีของสั่ง 2 l8 37 5' * 7 11 * 13) เป็นองค์ประกอบของลำดับที่ 13 ของ C &) กระทำ fixed-point-ฟรี $3, Cd(p) ดังนั้น = 1 จะสามารถให้การองค์ประกอบของลำดับ 7 ใน C:v(i;) แล้วอย่างใดอย่างหนึ่ง [Q, p N D, e หรือ [Q, pa] = Q เป็น Xมีสองชั้น conjugacy ขององค์ประกอบของลำดับ 7 ดังนั้น p1 + ป่า Xowเราสามารถสมมติว่า (pr, pa) เป็น S, -กลุ่มย่อยของเมตรสมมติว่า [Q, pa] N DBBดังนั้น Co(~a) Da6 N แน่นอน C และ r) n Co(~a) = (การ >, Co(,,) C Co(pr) อื่น ๆซึ่งไม่ใช่กรณีตั้งแต่ 7 1 M: C.,,(a) เป็นไปตามที่ Cob) Ds3 N สำหรับทุกอีพี (pr, pa) - (pa) และเจ เจนั้น-: m A ดังนั้น (ปี่ และ) ประกอบด้วย 42 conjugatesp1 และ conjugates 6 ของป่าใน Au นี้หมายถึงที่ 7 1: A ~ ~ ((&, pa >)[Q, ~ การ] = Q และ C และป่า) = 1 1v กลุ่มมีเป็นกลุ่มย่อย A c A @ซึ่งประกอบด้วยที่ centralizers ในลำดับธรรมชาติของกลุ่มย่อย A, (2 G 11 d 9)ซิมี ใน tl = 2, 3,... 9 กลุ่มต่อไปนี้ ฉัน 3S2, G,(4), Ja, C และ 3), b(2)ได้,, 2S เป็นไปตามที่ป่าเป็น cj เป็นองค์ประกอบของใบสั่ง 5 ! v และCd(G) = 1 ตอนนี้ w e อยู่ในตำแหน่งเพื่อกำหนดวงโคจรของ involutions ที่M โกหกใน Q - (z) ประการแรก เราทราบที่ i(Q) - atI = 2A .3s * 5 .7 13 =196,560 ที่ i(Q) เป็นของ involutions noncentral ของ Q ให้ t เป็นการอาวัตนาการใน Q - s t vrith-v (a) 2 แล้ว * * 3 5 * 7 * 13 1 j M: C, l (t)นอกจากนี้ เรามี 11 1 'CM(t)', CAM f 1 หรือ 11 (และดังนั้น 23 + ค. + l (t) ฉันเป็น Xv < @คือกลุ่มโฟรเบนีอุสสั่ง 23 * 11 และ Co(e) D N โดยที่ B คือการองค์ประกอบของลำดับ 23, W, 2 ดังนั้น * การ 3 ~ 5 ~ 7lll3 ~ 23 ~, M:C, lbut (t)2 * * 3 5 * 7 11 * 13 23 > 196,560 ซึ่งไม่ใช่กรณี ในทางตรงข้ามเราสามารถสมมติที่ 23 ฉันเจ l C-W (t) ตั้งแต่ 1 23 อื่น ๆ: M: ซม. (t) 1 สำหรับทุกอาวัตนาการ t E Q - (ตัว} t +
เป็น 2 ดังนั้น * 3 5 7 13 น. 23: C.M(t)ดังนั้นฉัน M: l C.W (t) = 2a 3 5 7 13 23 = 125,580 ซึ่งเป็นความขัดแย้งh-อ่าว สมมติว่า มีการอาวัตนาการ x E Q - แล้ว clearly2' * 3 5 * 7 13 23 1 ผม 171: & l (t) และให้เจ M: C, 1 (x) =ฉัน xFyI ฉัน =2" 3 5 7 * 13 23 = 125,580 นี้หมายถึงการที่ Q - (z) มีวงโคจรที่สามของ involutions ภายใต้การดำเนินการของ M กับ representativ es a, a และต.เรามี M: C,w(t)' = 2 " * 3" 5”’ . ตำแหน่ง 7 * 13 k,, m เป็นจำนวนเต็มบวกและ k > 2 โดยการคำนวณอย่าง อียูเห็นว่า มีไม่มีโซลูชั่นสำหรับการสมการ 2" 3z m 5 * 7 13 + 125,580 = 196,560 นี้พิสูจน์ที่ Q - (z }มีสองชั้น conjugacy ของ involutions กับตัวแทน และ tและ ' 31: C และ, (t)' = 24 3s * 5 7 * 13 โดย [9, (3.1311 เราได้ + อ. r เรามีพิสูจน์

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

7 คำสั่งใน C () ในฐานะที่เป็น JY และทำหน้าที่อย่างซื่อสัตย์ใน Q n QA / (,) และ
CJA) / Q n QU ซึ่งมีทั้งการสั่งซื้อ 211 ดังนั้นโดย [7 (1) (iii)]; Cono ,, CA, aj (PR) =
1 CC-o ~). โอโน่ (~ J = 4 ดังนั้นร่วม (p,) ไม่มี 0, 0 s ให้เป็นองค์ประกอบของการสั่งซื้อ 23
ในเอ็มแล้ว เห็นได้ชัดว่าซี (จ) ND และ [Q ที่ 01 ยังไม่มี 0: 'ให้ชมเป็นองค์ประกอบของ.
(x) ​​โดยโครงสร้างของ .l เราฮ่า - เพื่อ 13 เมตรในขณะที่ 3 ฉัน C '. อีซีดี (x) = 1 ให้ที
เป็นองค์ประกอบของ 11 ในการสั่งซื้อสินค้าตั้งแต่ 111 Nv (8) เป็นกลุ่มของการสั่งซื้อ Frobenius
23 * 11 ก็ติดตามของที่ร่วม (6) E DSZ และ [Q 51 ไม่มี 0: '. มีอยู่องค์ประกอบ
พี 3 ลำดับ A1 เช่นที่ C '* (P) คือ "ฝาครอบสาม SZ" (ของแท้เป็นของซูซูกิ
กลุ่มที่เรียบง่ายเป็นระยะ ๆ ของการสั่งซื้อ 2 l8 37 5 * 7.. .. 11 * 13) ในฐานะที่เป็นองค์ประกอบของ
การสั่งซื้อ 13 ของ C &) ทำหน้าที่คงจุดฟรีบน $ 3, เพื่อ Cd (P) = 1 ให้ JA เป็น
องค์ประกอบของ 7 คำสั่งใน C: โวลต์ (i;) แล้ว ทั้ง [Q, p; IND, E หรือ [คิวต่อปี] = Q. ในฐานะที่เป็น X
ได้ว่าทั้งสองเรียน conjugacy ขององค์ประกอบของการสั่งซื้อ 7 ดังนั้น p1 + ต่อปี Xow
เราสามารถสมมติว่า (ราคาต่อปี) เป็น S, -subgroup เอ็มสมมติว่า [คิวต่อปี] ไม่มีข้อความ DBB.
ดังนั้น จำกัด (~) ไม่มี Da6 เห็นได้ชัดว่า C & R) n ร่วม (~) = (> มิฉะนั้นร่วม (PR) C ร่วม (,,)
ซึ่งไม่ใช่กรณีตั้งแต่ 7 1 เอ็ม. ซี ,, (ก) !. ตามที่มันซัง) ยังไม่มี DS3 สำหรับ
ทุกพีอี (ราคาต่อปี) - (ต่อปี) และอื่น ๆ jj -: ม. ดังนั้น (ปี่และ) มี 42 conjugates
ของ p1 และ 6 conjugates ป่าใน Au นี่ก็หมายความว่า 7 1: ~~ ((และต่อปี>)!
[Q ~] = Q และอื่น ๆ C & ต่อปี) = 1 1V กลุ่มมีกลุ่มย่อยค! @ ที่
มีลำดับตามธรรมชาติของกลุ่มย่อย (2 G 11 d 9) ซึ่งใน centralizers
Zi มีสำหรับ TL = 2, 3, ... , 9, กลุ่มต่อไปนี้ ผม 3S2, G, (4), จา C & 3), B (2)
, 2s มันตามที่ต่อปีรวมศูนย์ cj องค์ประกอบของการสั่งซื้อ 5 โวลต์และอื่น ๆ !
Cd (G) = 1 ตอนนี้เราอยู่ในตำแหน่งที่จะตรวจสอบวงโคจรของ involutions
เอ็มนอนอยู่ใน Q - (ซี) ก่อนอื่นเราทราบว่าฉัน (Q) - ATI = 2A .3s 0.7 * 5 13 =
196560 ที่ฉัน (Q) คือจำนวนของ involutions noncentral ของคิวให้ทีจะ
ร่วมใน Q - (ก) vrith ทีเอส, จากนั้น 2 * * * * * * * * 3 5 * 7 * 13 1 เจ M: C (t) ล.
นอกจากนี้เรามี 11 1 'CM (t)' มิฉะนั้น 11 ฉ 1 CAM (และอื่น ๆ 23 + ซี + L (t) ฉัน!
เป็น Xv < @ เป็นกลุ่ม Frobenius ของการสั่งซื้อ 23 * 11 และผู้ร่วม (จ) ND ที่ B เป็น
องค์ประกอบของการสั่งซื้อในวันที่ 23, W, จึง 2 * 3 ~ 5 ~ 7lll3 ~ 23 ~ เอ็ม. ซี (t) lbut
.... 2 * * * * * * * * * * * * 3 5 7 11 13 23> 196,560 ซึ่งเป็นกรณีที่ไม่ในทางกลับกัน
เราสามารถสมมติว่า 23 ฉันเจ CW (t) ลิตรตั้งแต่วันที่ 23 มิฉะนั้นที่ 1: M: CM (t) 1 ทุก
ร่วมด้วยเสื้อ EQ - (} กับเสื้อ + ราและอื่น ๆ 2 * 3 5 7 13 23 'M:..... CM (t)
. จึง IM: CW (t) = 2a ลิตร 3 ... 5 7 13 23 = 125,580 ซึ่งเป็นความขัดแย้ง.
H-OW คิดว่ามีอยู่ร่วมด้วย x EQ -จากนั้น clearly2 '* 3 5 * 7 13 23 1 171 ฉัน: & (t) ลิตรและเพื่อให้เจ M: C (x) = 1 ผม xFyI I =
2 " 3 5 7 * 13 23 = 125,580 นี่ก็หมายความว่า Q - (ซี) มีสามวงโคจร
ของ involutions ภายใต้การกระทำของ M กับ representativ-ES, และเสื้อ เรา
มี M: C w, (t) '= 2 "* 3' 5 " 7 * 13 ที่ k, I, ม. เป็นจำนวนเต็มบวก
และ k> 2 โดยการคำนวณง่าย UE เห็นว่ามีการแก้ปัญหาไม่มี
สมการ 2 " 3Z 5m * 7 13 + 125,580 = 196,560 นี้พิสูจน์ให้เห็นว่า Q - (Z}
ได้ว่าทั้งสองเรียน conjugacy ของ involutions กับตัวแทนและเสื้อ
และ '31: C &, (t) = 24 3s * 5 7 * 13 โดย [9 (3.1311 เราได้รับ.. ที่ T + r. เรา
ได้พิสูจน์แล้วว่า

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ลำดับ 7 ใน C ( A ) ตามที่คุณ&กระทำสัตย์ต่อ Q N QA / ( , ) และ
/ Q N คู cja ) ซึ่งมีทั้งของการสั่งซื้อ 211 โดย [ 7 ( 1 ) ( 3 ) ] ; โคโน , CA , AJ ( PR ) =
1 cc-o ~ ) ; โอโนะ ( ~ J = 4 ดังนั้น CO ( P ) N O , S . ให้ 0 เป็นองค์ประกอบของคำสั่ง 23
ในม. แล้วเห็นได้ชัดว่า C ( E ) N D และ Q , [ 0 : 01 n ' ให้ H เป็นองค์ประกอบของ
สั่ง 13 ในม. 3 ฉัน C ' ( x ) โดยโครงสร้างของ ผม เราฮา N - ผลิตซีดี ( X ) = 1 ให้ t
เป็นองค์ประกอบของคำสั่ง 11 111 . ตั้งแต่ NV ( 8 ) คือ กลุ่มของโฟรเบนีอุสสั่ง
23 * 11 , มัน follow-s ที่ CO ( 6 ) dsz Q และ E [ , 0 : 51 N ' มีองค์ประกอบ
P ลำดับ 3 ใน A1 เช่น C ' * ( P ) คือ " ครอบคลุมสามของ SZ " ( SZ เป็นกลุ่มง่ายประปรายที่ซูซูกิ
ของผัด 2 . 37 . 5 * 7 11 * 13 ) เป็นองค์ประกอบของ
สั่ง 13 C & ) ทำหน้าที่แก้ไขจุดฟรีใน 3 $ ดังนั้น CD ( p ) = 1 ให้จาเป็น
องค์ประกอบของลำดับ 7 ใน C : V ( I ; ) แล้วเหมือนกัน [ Q , p ; I N D , E หรือ Q [ PA ] = x
2 ถามได้ตรง conjugacy ชั้นเรียนขององค์ประกอบของคำสั่ง 7 ดังนั้น P1 เป็น PA xow
เราสามารถสมมติว่า ( PR , PA ) S - กลุ่มย่อยของ สมมติว่า [ PA ] Q , N DBB .
ดังนั้น CO ( ~ ) N da6 . เห็นได้ชัดว่า C & r ) N CO ( ~ ) = ( > มิฉะนั้น CO ( PR ) Co ( , c )
ซึ่งไม่ใช่กรณีตั้งแต่ 7 1 M : C . , , ( ) มันดังต่อไปนี้ว่าซังข้าวโพด ) n
DS3 สำหรับทุก P E ( PR , PA ) - ( PA ) แล้วเจเจ - : m . ดังนั้น ( พี & ) ประกอบด้วยสารประกอบ
P1 6 42 และสารประกอบของ PA ใน AU แสดงว่า 7 1 : ~ ~ ( ( & PA > )
< PL , PA ) ซึ่งมันไร้สาระตั้งแต่ชั้น 4 1 = 7z ซึ่งโต้แย้งพิสูจน์ว่า
[ Q , ~ ] = Q และ C & PA ) = 1 กลุ่ม 1V มีกลุ่มย่อยเป็น C @ ซึ่ง
ประกอบด้วยลำดับธรรมชาติของกลุ่มย่อยเป็น 2 G 11 D 9 ) ซึ่ง centralizers ใน
จืออยู่สำหรับ TL = 2 , 3 , . . . 9 กลุ่ม ดังนี้ ผม 3s2 , G ( 4 ) , จา , C & 3 ) , B ( 2 ) ,
, 2s , . มันเป็นไปตามที่ PA centralizes องค์ประกอบซีเจ สั่งซื้อ 5 ! V ดังนั้น
ซีดี ( g ) = 1 ตอนนี้ w-e อยู่ในฐานะที่จะตรวจสอบวงโคจรของ involutions
M นอน q - ( Z ) แรกของทั้งหมดที่เราทราบว่า I ( q ) - ( = 2A . 3s * 5 7 13 =
196560 ที่ ( Q ) คือ จำนวนของ involutions noncentral ของ Qให้หรอก
พัวพันใน Q - ( ) vrith T s-v อ. 2 แล้ว * * * * * 3 . 5 * 7 * 13 1 J M : C ( T ) L .
นอกจากนี้เรามี 11 1 ' cm ( T ) F ' มิฉะนั้น 11 1 กล้อง ( และดังนั้น 23 C . l ( t ) I
เป็นสิบห้า < @ กลุ่มโฟรเบนีอุสสั่ง 23 * 11 และ CO ( E ) N D ที่ B เป็นองค์ประกอบของคำสั่ง 23
, W , จึง ๒ * . 3 ~ 5 ~ 7lll3 ~ 23 ~ , m : C ( t ) lbut
2 * * 3 5 * 7 11 * 13 23 > 196560 ซึ่งไม่ใช่กรณี บน
มืออื่น ๆเราสามารถสมมติว่าผม c-w J ( T ) L เพราะมิฉะนั้น 23 1 : M : ซม. ( T ) 1
t e พัวพันทุก q - t ( } , R และ 2 * 3 . 5 . 7 . 13 . 23 ' M : ซม. ( T )
ดังนั้นฉัน : c.w ( T ) L = 2A . 3 . 5 . 7 . 13 . 23 = 125580 ซึ่งขัดแย้ง .
h-ow สมมติว่ามีการพัวพัน x E Q - < Z ) ที่เป็น . x , T .
แล้ว clearly2 ' * 3 5 * 7 13 . 23 1 ชั้น 171 : & ( T ) L และ M J : C( x ) = ฉัน xfyi =
2 " 3 . 5 . 7 * 13 23 = 125580 . แสดงว่า Q ( Z )
3 วงโคจรของ involutions ภายใต้การกระทำของ M กับ representativ ES , และ T . เรา
มี M : c , W ( t ) = 2 " * 3 " 5 " " 7 * 13 ที่ K , i , M เป็นจำนวนเต็มบวกและ K
> 2 โดยการคำนวณ u-e ดูง่ายไม่มีโซลูชั่นสำหรับ
สมการ 2 " 3z . ขนาด 5 * 7 13 125580 = 196560 .นี้พิสูจน์ให้เห็นว่า Q ( Z }
ได้ว่าสอง conjugacy ชั้นเรียนของ involutions กับตัวแทนและ T
&และ ' 31 : C ( t ) = 24 3s * 5 7 * 13 โดย [ 9 ( 3.1311 เราได้รับเรา
T R A ได้พิสูจน์แล้วว่า